В геометрии точка Лемуана , точка Гребе или точка симедиан — это пересечение трех симедиан ( медиан, отраженных от соответствующих биссектрис ) треугольника.
Росс Хонсбергер назвал его существование «одной из жемчужин современной геометрии» [1] .
В Энциклопедии центров треугольников точка симедианы указана как шестая точка, X(6). [2] Для неравностороннего треугольника она лежит в открытом ортоцентроидальном диске , проколотом в его собственном центре, и может быть любой его точкой. [3]
Точка симедианы треугольника со сторонами a , b и c имеет однородные трилинейные координаты [ a : b : c ] . [2]
Алгебраический способ найти симедианную точку — выразить треугольник тремя линейными уравнениями с двумя неизвестными, заданными нормальными формами Гессе соответствующих линий. Решение этой переопределенной системы, найденное методом наименьших квадратов, дает координаты точки. Оно также решает задачу оптимизации, чтобы найти точку с минимальной суммой квадратов расстояний от сторон. Точка Жергонна треугольника совпадает с симедианной точкой контактного треугольника треугольника . [4]
Точку симедианы треугольника ABC можно построить следующим образом: пусть касательные линии описанной окружности треугольника ABC, проходящие через B и C, пересекаются в точке A' , и аналогично определяются B' и C' ; тогда A'B'C' является касательным треугольником треугольника ABC , а линии AA' , BB' и CC' пересекаются в точке симедианы треугольника ABC . [a] Можно показать, что эти три линии пересекаются в одной точке, используя теорему Брианшона . Линия AA' является симедианой, как можно увидеть, проведя окружность с центром A' через B и C. [ требуется ссылка ]
Французский математик Эмиль Лемуан доказал существование симедианной точки в 1873 году, а Эрнст Вильгельм Гребе опубликовал статью об этом в 1847 году. Симон Антуан Жан Люилье также отметил эту точку в 1809 году. [1]
Для расширения до неправильного тетраэдра см. симедиану .