Симметричное множество

Свойство групповых подмножеств (математика)

В математике непустое подмножество S группы G называется симметричным , если оно содержит обратные элементы всех своих элементов.

Определение

В системе обозначений множеств подмножество группы называется симметричным, если всякий раз, когда , то обратное к также принадлежит Так, если записано мультипликативно, то симметрично тогда и только тогда, когда , где Если записано аддитивно, то симметрично тогда и только тогда, когда , где ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=S^{-1}}$ ${\displaystyle S^{-1}:=\left\{s^{-1}:s\in S\right\}.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=-S}$ ${\displaystyle -S:=\{-s:s\in S\}.}$

Если является подмножеством векторного пространства , то называется симметричным множеством , если оно симметрично относительно аддитивной групповой структуры векторного пространства; то есть, если , что происходит тогда и только тогда, когда Симметричная оболочка подмножества является наименьшим симметричным множеством, содержащим и оно равно Наибольшее симметричное множество, содержащееся в , является ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=-S,}$ ${\displaystyle -S\subseteq S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S\cup -S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\cap -S.}$

Достаточные условия

Произвольные объединения и пересечения симметричных множеств симметричны.

Любое векторное подпространство в векторном пространстве является симметричным множеством.

Примеры

Примерами симметричных множеств являются интервалы типа с и множества и ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle (-k,k)}$ ${\displaystyle k>0,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (-1,1).}$

Если — любое подмножество группы, то и — симметричные множества. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\cup S^{-1}}$ ${\displaystyle S\cap S^{-1}}$

Любое сбалансированное подмножество действительного или комплексного векторного пространства симметрично.

Смотрите также

• Абсолютно выпуклое множество  – Выпуклое и сбалансированное множество
• Поглощающий набор  – набор, который можно «надуть», чтобы достичь любой точки.
• Сбалансированная функция  – Построение в функциональном анализеСтраницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Сбалансированный набор  – Построение в функциональном анализе
• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)  – Обобщение ограниченности
• Выпуклое множество  — в геометрии множество, пересечение которого с каждой прямой представляет собой один отрезок прямой.
• Функционал Минковского  – Функция, созданная из множества
• Звездная область  – Свойство точечных множеств в евклидовых пространствах

Ссылки

• Р. Кристеску, Топологические векторные пространства, Noordhoff International Publishing, 1977.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

В данной статье использованы материалы симметричного набора на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .