В математике симметричный многочлен — это многочлен P ( X 1 , X 2 , ..., X n ) от n переменных, такой, что если поменять местами любые переменные, то получится тот же самый многочлен. Формально P является симметричным многочленом , если для любой перестановки σ индексов 1, 2, ..., n выполняется соотношение P ( X σ(1) , X σ(2) , ..., X σ( n ) ) = P ( X 1 , X 2 , ..., X n ) .
Симметричные многочлены естественным образом возникают при изучении связи между корнями многочлена от одной переменной и его коэффициентами , поскольку коэффициенты могут быть заданы полиномиальными выражениями в корнях, и все корни играют одинаковую роль в этой установке. С этой точки зрения элементарные симметричные многочлены являются наиболее фундаментальными симметричными многочленами. Действительно, теорема, называемая фундаментальной теоремой симметричных многочленов, утверждает, что любой симметричный многочлен может быть выражен через элементарные симметричные многочлены. Это подразумевает, что каждое симметричное полиномиальное выражение в корнях монического многочлена может быть альтернативно задано как полиномиальное выражение в коэффициентах многочлена.
Симметричные многочлены также образуют интересную структуру сами по себе, независимо от какой-либо связи с корнями многочлена. В этом контексте другие наборы определенных симметричных многочленов, такие как полные однородные , степенные суммы и многочлены Шура, играют важную роль наряду с элементарными. Получающиеся структуры, и в частности кольцо симметричных функций , имеют большое значение в комбинаторике и теории представлений .
Следующие многочлены от двух переменных X 1 и X 2 являются симметричными:
как и следующий многочлен от трех переменных X 1 , X 2 , X 3 :
Существует много способов создания определенных симметричных многочленов с любым количеством переменных (см. различные типы ниже). Примером несколько иного варианта является
где сначала строится многочлен, который меняет знак при каждой замене переменных, а возведение в квадрат делает его полностью симметричным (если переменные представляют собой корни монического многочлена, этот многочлен дает его дискриминант ).
С другой стороны, многочлен от двух переменных
не симметрично, так как если один обменивается и получает другой многочлен, . Аналогично в трех переменных
имеет только симметрию относительно циклических перестановок трех переменных, что недостаточно, чтобы быть симметричным многочленом. Однако следующее симметрично:
Один из контекстов, в котором встречаются симметричные полиномиальные функции, — это изучение монических одномерных полиномов степени n, имеющих n корней в заданном поле . Эти n корней определяют полином, и когда они рассматриваются как независимые переменные, коэффициенты полинома являются симметричными полиномиальными функциями корней. Более того, фундаментальная теорема о симметричных полиномах подразумевает, что полиномиальная функция f от n корней может быть выражена как (другая) полиномиальная функция коэффициентов полинома, определяемого корнями , тогда и только тогда, когда f задается симметричным полиномом.
Это дает подход к решению полиномиальных уравнений путем обращения этого отображения, «нарушая» симметрию – как можно восстановить корни, зная коэффициенты полинома ( элементарные симметричные полиномы в корнях)? Это приводит к изучению решений полиномов с использованием группы перестановок корней, первоначально в форме резольвент Лагранжа , позже развитых в теории Галуа .
Рассмотрим монический многочлен по t степени n
с коэффициентами a i в некотором поле K. Существует n корней x 1 ,..., x n уравнения P в некотором возможно большем поле (например, если K — поле действительных чисел , корни будут существовать в поле комплексных чисел ); некоторые из корней могут быть равны, но тот факт, что у одного есть все корни, выражается соотношением
Сравнивая коэффициенты, находим, что
На самом деле это всего лишь примеры формул Виета . Они показывают, что все коэффициенты многочлена задаются через корни симметричным полиномиальным выражением : хотя для заданного многочлена P могут быть качественные различия между корнями (например, лежать ли они в базовом поле K или нет, являются ли они простыми или кратными корнями), ничто из этого не влияет на то, как корни появляются в этих выражениях.
Теперь можно изменить точку зрения, взяв корни вместо коэффициентов в качестве основных параметров для описания P и рассматривая их как неопределенные, а не как константы в соответствующем поле; тогда коэффициенты a i становятся просто конкретными симметричными многочленами, заданными приведенными выше уравнениями. Эти многочлены без знака известны как элементарные симметричные многочлены от x 1 , ..., x n . Основной факт, известный как фундаментальная теорема о симметричных многочленах , гласит, что любой симметричный многочлен от n переменных может быть задан полиномиальным выражением в терминах этих элементарных симметричных многочленов. Из этого следует, что любое симметричное полиномиальное выражение в корнях монического многочлена может быть выражено как полином от коэффициентов многочлена , и в частности, что его значение лежит в базовом поле K , содержащем эти коэффициенты. Таким образом, при работе только с такими симметричными полиномиальными выражениями в корнях нет необходимости знать что-либо конкретное об этих корнях или производить вычисления в каком-либо большем поле, чем K, в котором могут находиться эти корни. Фактически, значения самих корней становятся довольно несущественными, и необходимые соотношения между коэффициентами и симметричными полиномиальными выражениями могут быть найдены путем вычислений только в терминах симметричных полиномов. Примером таких соотношений являются тождества Ньютона , которые выражают сумму любой фиксированной степени корней в терминах элементарных симметричных полиномов.
Существует несколько типов симметричных многочленов от переменных X 1 , X 2 , ..., X n , которые являются фундаментальными.
Для каждого неотрицательного целого числа k элементарный симметрический многочлен e k ( X 1 , ..., X n ) является суммой всех различных произведений k различных переменных. (Некоторые авторы обозначают его как σ k вместо этого.) Для k = 0 существует только пустое произведение , поэтому e 0 ( X 1 , ..., X n ) = 1, в то время как для k > n вообще не может быть образовано никаких произведений, поэтому e k ( X 1 , X 2 , ..., X n ) = 0 в этих случаях. Оставшиеся n элементарных симметрических многочленов являются строительными блоками для всех симметрических многочленов от этих переменных: как упоминалось выше, любой симметрический многочлен от рассматриваемых переменных может быть получен из этих элементарных симметрических многочленов с использованием только умножений и сложений. Фактически имеются следующие более подробные факты:
Например, для n = 2 соответствующие элементарные симметричные многочлены — это e 1 ( X 1 , X 2 ) = X 1 + X 2 и e 2 ( X 1 , X 2 ) = X 1 X 2 . Первый многочлен в списке примеров выше можно записать как
(доказательство того , что это всегда возможно, см. в основной теореме о симметрических многочленах ).
Степени и произведения элементарных симметричных многочленов вырабатываются в довольно сложные выражения. Если кто-то ищет базовые аддитивные строительные блоки для симметричных многочленов, более естественным выбором будет взять те симметричные многочлены, которые содержат только один тип монома , с только теми копиями, которые требуются для получения симметрии. Любой одночлен в X 1 , ..., X n можно записать как X 1 α 1 ... X n α n , где показатели α i являются натуральными числами (возможно, нулевыми); записывая α = (α 1 ,...,α n ), это можно сократить до X α . Одночленный симметричный многочлен m α ( X 1 , ..., X n ) определяется как сумма всех одночленов x β , где β пробегает все различные перестановки (α 1 ,...,α n ). Например, можно иметь
Очевидно, что m α = m β, когда β является перестановкой α, поэтому обычно рассматриваются только те m α, для которых α 1 ≥ α 2 ≥ ... ≥ α n , другими словами, для которых α является разбиением целого числа . Эти одночленные симметричные многочлены образуют базис векторного пространства : каждый симметричный многочлен P может быть записан как линейная комбинация одночленных симметричных многочленов. Для этого достаточно разделить различные типы одночленов, встречающихся в P . В частности, если P имеет целые коэффициенты, то и линейная комбинация будет такой же.
Элементарные симметрические многочлены являются частными случаями мономиальных симметрических многочленов: для 0 ≤ k ≤ n имеем
Для каждого целого числа k ≥ 1 особый интерес представляет мономиальный симметрический многочлен m ( k ,0,...,0) ( X 1 , ..., X n ). Это симметрический многочлен степенной суммы, определяемый как
Все симметричные многочлены могут быть получены из суммы симметричных многочленов первой степени n путем сложения и умножения, возможно, с использованием рациональных коэффициентов. Точнее,
В частности, оставшиеся степенные суммы полиномов p k ( X 1 , ..., X n ) для k > n могут быть выражены таким образом через первые n степенных сумм полиномов; например
В отличие от ситуации для элементарных и полных однородных многочленов, симметричный многочлен от n переменных с целыми коэффициентами не обязательно должен быть полиномиальной функцией с целыми коэффициентами симметричных многочленов степенной суммы. Например, для n = 2 симметричный многочлен
имеет выражение
Используя три переменные, получаем другое выражение
Соответствующее выражение было справедливо и для двух переменных (достаточно приравнять X 3 к нулю), но поскольку оно включает p 3 , его нельзя было использовать для иллюстрации утверждения для n = 2. Пример показывает, что то, содержит ли выражение для заданного одночлена симметрического многочлена в терминах первых n степенных суммарных многочленов, рациональные коэффициенты могут зависеть от n . Но рациональные коэффициенты всегда необходимы для выражения элементарных симметрических многочленов (за исключением постоянных и e 1 , который совпадает с первой степенной суммой) в терминах степенных суммарных многочленов. Тождества Ньютона предоставляют явный метод для этого; он включает деление на целые числа до n , что объясняет рациональные коэффициенты. Из-за этих делений упомянутое утверждение в общем случае не выполняется, когда коэффициенты берутся в поле конечной характеристики ; однако оно справедливо с коэффициентами в любом кольце, содержащем рациональные числа.
Для каждого неотрицательного целого числа k полный однородный симметрический многочлен h k ( X 1 , ..., X n ) представляет собой сумму всех различных одночленов степени k от переменных X 1 , ..., X n . Например ,
Многочлен h k ( X 1 , ..., X n ) также является суммой всех различных мономиальных симметрических многочленов степени k от X 1 , ..., X n , например, для данного примера
Все симметрические многочлены от этих переменных могут быть построены из полных однородных: любой симметрический многочлен от X 1 , ..., X n может быть получен из полных однородных симметрических многочленов h 1 ( X 1 , ..., X n ), ..., h n ( X 1 , ..., X n ) с помощью умножений и сложений. Точнее:
Например, для n = 2 соответствующие полные однородные симметричные многочлены имеют вид h 1 ( X 1 , X 2 ) = X 1 + X 2 и h 2 ( X 1 , X 2 ) = X 1 2 + X 1 X 2 + X 2 2 . Первый многочлен в списке примеров выше можно записать как
Как и в случае степенных сумм, данное утверждение применимо, в частности, к полным однородным симметричным многочленам за пределами h n ( X 1 , ..., X n ), что позволяет выразить их через те, что были до этой точки; снова полученные тождества становятся недействительными при увеличении числа переменных.
Важным аспектом полных однородных симметрических многочленов является их связь с элементарными симметрическими многочленами, которая может быть выражена в виде тождеств
Поскольку e 0 ( X 1 , ..., X n ) и h 0 ( X 1 , ..., X n ) оба равны 1, можно выделить либо первый, либо последний член этих сумм; первый дает набор уравнений, который позволяет рекурсивно выразить последовательные полные однородные симметрические многочлены через элементарные симметрические многочлены, а второй дает набор уравнений, который позволяет сделать обратное. Это неявно показывает, что любой симметрический многочлен может быть выражен через h k ( X 1 , ..., X n ) с 1 ≤ k ≤ n : сначала симметрический многочлен выражается через элементарные симметрические многочлены, а затем выражается через упомянутые полные однородные.
Другой класс симметричных многочленов — это многочлены Шура, которые имеют фундаментальное значение в приложениях симметричных многочленов к теории представлений . Однако их не так легко описать, как другие виды специальных симметричных многочленов; подробности см. в основной статье.
Симметричные многочлены важны для линейной алгебры , теории представлений и теории Галуа . Они также важны в комбинаторике , где они в основном изучаются через кольцо симметричных функций , что позволяет избежать необходимости постоянно иметь при себе фиксированное число переменных.
Аналогом симметричных многочленов являются знакопеременные многочлены : многочлены, которые не остаются инвариантными относительно перестановки элементов, а изменяются в зависимости от знака перестановки .
Все они являются произведениями многочлена Вандермонда и симметричного многочлена и образуют квадратичное расширение кольца симметричных многочленов: многочлен Вандермонда является квадратным корнем дискриминанта.
