Симметричная игра

Игра, выигрыши в которой зависят от стратегий, а не от игроков.

В теории игр симметричная игра — это игра, в которой выигрыши за игру в определенную стратегию зависят только от других используемых стратегий, а не от того, кто их играет. Если можно изменить личности игроков, не меняя выигрыши за стратегии, то игра симметрична. Симметрия может быть разных видов. Порядково симметричные игры — это игры, которые симметричны относительно порядковой структуры выигрышей. Игра количественно симметрична тогда и только тогда, когда она симметрична относительно точных выигрышей. Партнерская игра — это симметричная игра, в которой оба игрока получают одинаковые выигрыши за любой набор стратегий. То есть выигрыш за игру в стратегию a против стратегии b получает тот же выигрыш, что и выигрыш за игру в стратегию b против стратегии a .

Симметрия в играх 2x2

Только 12 из 144 порядково различных игр 2x2 симметричны. Однако многие из обычно изучаемых игр 2x2 по крайней мере порядково симметричны. Стандартные представления Chicken , the Prisoner's Dilemma и Stag Hunt являются симметричными играми. Формально, для того чтобы игра 2x2 была симметричной, ее платежная матрица должна соответствовать схеме, изображенной справа.

Требования к порядковой симметрии игры слабее: в этом случае достаточно, чтобы порядковый рейтинг выигрышей соответствовал схеме справа.

Симметрия и равновесие

Нэш (1951) показывает, что каждая конечная симметричная игра имеет симметричное равновесие Нэша со смешанной стратегией . Ченг и др. (2004) показывают, что каждая симметричная игра с двумя стратегиями имеет (не обязательно симметричное) равновесие Нэша с чистой стратегией . Эммонс и др. (2022) показывают, что в каждой игре с общим выигрышем (также известной как командная игра) (то есть в каждой игре, в которой все игроки получают одинаковый выигрыш), каждый оптимальный профиль стратегии также является равновесием Нэша.

Некоррелированные асимметрии: асимметрии, нейтральные по выплате

Симметрии здесь относятся к симметриям в выплатах. Биологи часто называют асимметрии в выплатах между игроками в игре коррелированными асимметриями . Они противопоставляются некоррелированным асимметриям , которые являются чисто информационными и не оказывают никакого влияния на выплаты (например, см. игру Ястреб-голубь ).

Общий случай

Игра с выигрышем для игрока , где — набор стратегий игрока и , считается симметричной, если для любой перестановки , ${\displaystyle U_{i}\colon A_{1}\times A_{2}\times \cdots \times A_{n}\longrightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A_{1}=A_{2}=\ldots =A_{N}}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle U_{\pi (i)}(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{N})=U_{i}(a_{\pi (1)},\ldots ,a_{\pi (i)},\ldots ,a_{\pi (N)}).}$^[1]

Партха Дасгупта и Эрик Маскин дают следующее определение, которое с тех пор неоднократно повторялось в экономической литературе:

${\displaystyle U_{i}(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{N})=U_{\pi (i)}(a_{\pi (1)},\ldots ,a_{\pi (i)},\ldots ,a_{\pi (N)}).}$

Однако это более сильное условие, которое подразумевает, что игра не только симметрична в указанном выше смысле, но и является игрой с общими интересами в том смысле, что выигрыши всех игроков одинаковы. ^[1]

Ссылки

1. Ham, Nicholas (18 ноября 2013 г.). «Понятия анонимности, справедливости и симметрии для игр конечной стратегической формы». arXiv : 1311.4766 [math.CO].

• Ши-Фен Ченг, Дэниел М. Ривз, Евгений Воробейчик и Майкл П. Уэллман. Заметки о равновесии в симметричных играх, Международная совместная конференция по автономным агентам и многоагентным системам, 6-й семинар по теории игр и принятию решений, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, август 2004 г. [1]
• Симметричная игра на Gametheory.net
• Дасгупта, Парта ; Маскин, Эрик (1986). «Существование равновесия в прерывистых экономических играх, I: Теория». Обзор экономических исследований . 53 (1): 1–26. doi :10.2307/2297588. JSTOR  2297588.
• Нэш, Джон (сентябрь 1951 г.). «Некооперативные игры». Annals of Mathematics . 2-я серия 54 (2): 286–295. doi :10.2307/1969529. JSTOR  1969529.
• Эммонс, Скотт; Остерхельд, Каспар; Крич, Эндрю; Конитцер, Винсент; Рассел, Стюарт (2022). «Симметрия, равновесие и надежность в играх с общими выплатами» (PDF) . Труды Международной конференции по машинному обучению (ICML) . PMLR 162 . Получено 21 апреля 2024 г. .

Дальнейшее чтение

• Дэвид Робинсон; Дэвид Гофорт (2005). Топология игр 2x2: новая периодическая таблица . Routledge. ISBN 978-0-415-33609-3.
• Заметки о равновесии в симметричных играх