Симплектическая геометрия

Раздел дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии

Фазовый портрет осциллятора Ван дер Поля , одномерной системы. Фазовое пространство было первоначальным объектом изучения симплектической геометрии.

Симплектическая геометрия — раздел дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии , изучающий симплектические многообразия ; то есть дифференцируемые многообразия, снабженные замкнутой невырожденной 2 - формой . Симплектическая геометрия берет свое начало в гамильтоновой формулировке классической механики , где фазовое пространство некоторых классических систем принимает структуру симплектического многообразия. ^[1]

Термин «симплектический», введенный Вейлем ^[2] , является калькой слова «комплекс»; ранее «симплектическая группа» называлась «комплексной группой прямых». «Комплекс» происходит от латинского complexus , что означает «сплетенный вместе» (co- + plexus), тогда как симплектический происходит от соответствующего греческого sym-plektikos (συμπλεκτικός); в обоих случаях основа происходит от индоевропейского корня *pleḱ. Название отражает глубокие связи между сложными и симплектическими структурами.

По теореме Дарбу симплектические многообразия локально изоморфны стандартному симплектическому векторному пространству и, следовательно, имеют только глобальные (топологические) инварианты. «Симплектическая топология», изучающая глобальные свойства симплектических многообразий, часто используется как синоним «симплектической геометрии».

Название «комплексная группа», которое я раньше защищал в отношении линейных комплексов, поскольку они определяются исчезновением антисимметричных билинейных форм, становится все более и более смущающим из-за столкновения со словом «комплекс» в значении комплексного числа. Поэтому я предлагаю заменить его соответствующим греческим прилагательным «симплектический». Диксон назвал эту группу «абелевой линейной группой» в честь Абеля, который первым ее изучил.

Вейль (1939, стр. 165)

Введение

Симплектическая геометрия определяется на гладком четномерном пространстве, которое является дифференцируемым многообразием . В этом пространстве определен геометрический объект, симплектическая 2-форма , которая позволяет измерять размеры двумерных объектов в пространстве . Симплектическая форма в симплектической геометрии играет роль, аналогичную роли метрического тензора в римановой геометрии . Если метрический тензор измеряет длины и углы, то симплектическая форма измеряет ориентированные площади. ^[3]

Симплектическая геометрия возникла в результате изучения классической механики , и примером симплектической структуры является движение объекта в одном измерении. Чтобы указать траекторию объекта, нужны как позиция q , так и импульс p , которые образуют точку ( p , q ) на евклидовой плоскости ℝ ² . В этом случае симплектическая форма имеет вид

${\displaystyle \omega =dp\wedge dq}$

и представляет собой форму площади , которая измеряет площадь A области S на плоскости посредством интегрирования :

${\displaystyle A=\int _{S}\omega .}$

Эта область важна, поскольку по мере развития консервативных динамических систем во времени эта область остается инвариантной. ^[3]

Аналогично определяются многомерные симплектические геометрии. 2 n -мерная симплектическая геометрия формируется из пар направлений

${\displaystyle ((x_{1},x_{2}),(x_{3},x_{4}),\ldots (x_{2n-1},x_{2n}))}$

в 2 n -мерном многообразии вместе с симплектической формой

${\displaystyle \omega =dx_{1}\wedge dx_{2}+dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.}$

Эта симплектическая форма дает размер 2 n -мерной области V в пространстве как сумму площадей проекций V на каждую из плоскостей, образованных парами направлений ^[3]

${\displaystyle A=\int _{V}\omega =\int _{V}dx_{1}\wedge dx_{2}+\int _{V}dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +\int _{V}dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.}$

Сравнение с римановой геометрией

Симплектическая геометрия имеет ряд сходств и отличий от римановой геометрии , которая изучает дифференцируемые многообразия , снабженные невырожденными симметричными 2-тензорами (называемыми метрическими тензорами ). В отличие от риманова случая, симплектические многообразия не имеют локальных инвариантов, таких как кривизна . Это следствие теоремы Дарбу, которая утверждает, что окрестность любой точки 2 n -мерного симплектического многообразия изоморфна стандартной симплектической структуре на открытом множестве ℝ ^{2 n} . Еще одно отличие от римановой геометрии состоит в том, что не каждое дифференцируемое многообразие обязательно должно иметь симплектическую форму; существуют определенные топологические ограничения. Например, каждое симплектическое многообразие четномерно и ориентируемо . Кроме того, если M — замкнутое симплектическое многообразие, то 2-я группа когомологий де Рама H ² ( M ) нетривиальна; это означает, например, что единственная n -сфера , допускающая симплектическую форму, — это 2-сфера . Между этими двумя предметами можно провести аналогию между геодезическими в римановой геометрии и псевдоголоморфными кривыми в симплектической геометрии: геодезические — это кривые кратчайшей длины (локально), а псевдоголоморфные кривые — это поверхности минимальной площади. Обе концепции играют фундаментальную роль в своих соответствующих дисциплинах.

Примеры и структуры

Каждое кэлерово многообразие также является симплектическим многообразием. Еще в 1970-е годы эксперты по симплектикам не были уверены в существовании каких-либо компактных некелеровых симплектических многообразий, но с тех пор было построено множество примеров (первый принадлежал Уильяму Терстону ); в частности, Роберт Гомпф показал, что каждая конечно представленная группа встречается как фундаментальная группа некоторого симплектического 4-многообразия, что резко контрастирует со случаем Кэлера.

Можно сказать, что большинство симплектических многообразий не являются кэлеровыми; и поэтому не имеют интегрируемой комплексной структуры , совместимой с симплектической формой. Михаил Громов , однако, сделал важное наблюдение, что симплектические многообразия допускают множество совместимых почти комплексных структур , так что они удовлетворяют всем аксиомам кэлерова многообразия, за исключением требования, чтобы отображения перехода были голоморфными .

Громов использовал существование почти комплексных структур на симплектических многообразиях для разработки теории псевдоголоморфных кривых , ^[4] которая привела к ряду достижений в симплектической топологии, включая класс симплектических инвариантов, теперь известных как инварианты Громова – Виттена . Позже, используя технику псевдоголоморфных кривых, Андреас Флоер изобрел еще один важный инструмент симплектической геометрии, известный как гомологии Флоера . ^[5]

Смотрите также

• Контактная геометрия
• Геометрическая механика
• Карта моментов
• Пуассоновая геометрия
• Симплектическое интегрирование
• Симплектическое векторное пространство

Примечания

1. Хартнетт, Кевин (9 февраля 2017 г.). «Борьба за исправление основ геометрии». Журнал Кванта .
2. Вейль, Герман (1939). Классические группы. Их инварианты и представления. Перепечатано издательством Princeton University Press (1997). ISBN 0-691-05756-7. MR0000255
3. Макдафф, Дуса (2010), «Что такое симплектическая геометрия?», Хоббс, Кэтрин; Пайча, Сильви (ред.), Европейские женщины в математике – материалы 13-го общего собрания , World Scientific, стр. 33–51, CiteSeerX 10.1.1.433.1953 , ISBN  9789814277686
4. Громов, Михаил. «Псевдоголоморфные кривые в симплектических многообразиях». Inventiones mathematicae 82.2 (1985): 307–347.
5. Флоер, Андреас. «Теория Морса для лагранжевых пересечений». Журнал дифференциальной геометрии 28.3 (1988): 513–547.

Рекомендации

• Авраам, Ральф ; Марсден, Джеррольд Э. (1978). Основы механики . Лондон: Бенджамин-Каммингс. ISBN 978-0-8053-0102-1.
• Арнольд, VI (1986). «Первые шаги симплектической топологии». Успехи математических наук . 41 (6(252)): 3–18. doi : 10.1070/RM1986v041n06ABEH004221. ISSN  0036-0279. S2CID  250908036 - через Русские математические обзоры , 1986, 41:6, 1–21.
• Макдафф, Дуса ; Саламон, Д. (1998). Введение в симплектическую топологию . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-850451-1.
• Фоменко А.Т. (1995). Симплектическая геометрия (2-е изд.). Гордон и Брич. ISBN 978-2-88124-901-3. (Введение на уровень бакалавриата.)
• де Госсон, Морис А. (2006). Симплектическая геометрия и квантовая механика . Базель: Birkhäuser Verlag. ISBN 978-3-7643-7574-4.
• Вайнштейн, Алан (1981). «Симплектическая геометрия» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 5 (1): 1–13. дои : 10.1090/s0273-0979-1981-14911-9 .
• Вейль, Герман (1939). Классические группы. Их инварианты и представления .Перепечатано издательством Princeton University Press (1997). ISBN 0-691-05756-7 . МР 0000255. 

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с симплектической геометрией, на Викискладе?
• «Симплектическая структура», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]