Симплектическая геометрия

Раздел дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии

Фазовый портрет осциллятора Ван дер Поля , одномерной системы. Фазовое пространство было первоначальным объектом изучения в симплектической геометрии.

Симплектическая геометрия — раздел дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии , изучающий симплектические многообразия , то есть дифференцируемые многообразия, снабженные замкнутой невырожденной 2 -формой . Симплектическая геометрия берет свое начало в гамильтоновой формулировке классической механики , где фазовое пространство некоторых классических систем принимает структуру симплектического многообразия. ^[1]

Термин «симплектический», введенный Германом Вейлем ^[2], является калькой слова «комплекс»; ранее «симплектическая группа» называлась «линейной комплексной группой». «Комплекс» происходит от латинского com-plexus , что означает «сплетенный вместе» (co- + plexus), в то время как «симплектический» происходит от соответствующего греческого sym-plektikos (συμπλεκτικός); в обоих случаях основа происходит от индоевропейского корня *pleḱ- Название отражает глубокие связи между комплексными и симплектическими структурами.

По теореме Дарбу симплектические многообразия локально изоморфны стандартному симплектическому векторному пространству , поэтому имеют только глобальные (топологические) инварианты. «Симплектическая топология», изучающая глобальные свойства симплектических многообразий, часто используется взаимозаменяемо с «симплектической геометрией».

Обзор

Название «комплексная группа», ранее отстаиваемое мной в намеке на линейные комплексы, поскольку они определяются исчезновением антисимметричных билинейных форм, становится все более и более смущающим из-за столкновения со словом «комплекс» в значении комплексного числа. Поэтому я предлагаю заменить его соответствующим греческим прилагательным «симплектический». Диксон назвал группу «абелевой линейной группой» в честь Абеля, который первым ее изучил.

Вейль (1939, стр. 165)

Симплектическая геометрия определяется на гладком четномерном пространстве, которое является дифференцируемым многообразием . На этом пространстве определяется геометрический объект, симплектическая 2-форма , которая позволяет измерять размеры двумерных объектов в пространстве . Симплектическая форма в симплектической геометрии играет роль, аналогичную роли метрического тензора в римановой геометрии . Там, где метрический тензор измеряет длины и углы, симплектическая форма измеряет ориентированные области. ^[3]

Симплектическая геометрия возникла из изучения классической механики , и примером симплектической структуры является движение объекта в одном измерении. Чтобы задать траекторию объекта, требуются как положение q, так и импульс p , которые образуют точку ( p , q ) на евклидовой плоскости . В этом случае симплектическая форма имеет вид ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \omega =dp\wedge dq}$

и представляет собой форму площади , которая измеряет площадь A области S на плоскости посредством интегрирования :

${\displaystyle A=\int _{S}\omega .}$

Эта область важна, поскольку при эволюции консервативных динамических систем во времени эта область остается инвариантной. ^[3]

Аналогично определяются более многомерные симплектические геометрии. 2 n -мерная симплектическая геометрия образована парами направлений

${\displaystyle ((x_{1},x_{2}),(x_{3},x_{4}),\ldots (x_{2n-1},x_{2n}))}$

в 2 n -мерном многообразии вместе с симплектической формой

${\displaystyle \omega =dx_{1}\wedge dx_{2}+dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.}$

Эта симплектическая форма определяет размер 2 n -мерной области V в пространстве как сумму площадей проекций V на каждую из плоскостей, образованных парами направлений ^[3]

${\displaystyle A=\int _{V}\omega =\int _{V}dx_{1}\wedge dx_{2}+\int _{V}dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +\int _{V}dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.}$

Сравнение с римановой геометрией

Симплектическая геометрия имеет ряд сходств и отличий от римановой геометрии , которая является изучением дифференцируемых многообразий, снабженных невырожденными симметричными 2-тензорами (называемыми метрическими тензорами ). В отличие от риманова случая, симплектические многообразия не имеют локальных инвариантов, таких как кривизна . Это является следствием теоремы Дарбу , которая утверждает, что окрестность любой точки 2 n -мерного симплектического многообразия изоморфна стандартной симплектической структуре на открытом множестве . Другое отличие от римановой геометрии состоит в том, что не каждое дифференцируемое многообразие должно допускать симплектическую форму; существуют определенные топологические ограничения. Например, каждое симплектическое многообразие является четномерным и ориентируемым . Кроме того, если M является замкнутым симплектическим многообразием, то 2-я группа когомологий де Рама H ² ( M ) нетривиальна; это подразумевает, например, что единственная n -сфера , допускающая симплектическую форму, — это 2-сфера . Параллель, которую можно провести между этими двумя предметами, — это аналогия между геодезическими в римановой геометрии и псевдоголоморфными кривыми в симплектической геометрии: геодезические — это кривые наименьшей длины (локально), тогда как псевдоголоморфные кривые — это поверхности минимальной площади. Оба понятия играют фундаментальную роль в своих дисциплинах. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

Примеры и структуры

Каждое кэлерово многообразие также является симплектическим многообразием. Вплоть до 1970-х годов эксперты по симплектике не были уверены, существуют ли какие-либо компактные некэлеровы симплектические многообразия, но с тех пор было построено много примеров (первый был придуман Уильямом Терстоном ); в частности, Роберт Гомпф показал, что каждая конечно представленная группа возникает как фундаментальная группа некоторого симплектического 4-многообразия, в резком контрасте со случаем кэлера.

Большинство симплектических многообразий, можно сказать, не являются кэлеровыми; и поэтому не имеют интегрируемой комплексной структуры, совместимой с симплектической формой. Михаил Громов , однако, сделал важное наблюдение, что симплектические многообразия допускают обилие совместимых почти комплексных структур , так что они удовлетворяют всем аксиомам для кэлерова многообразия, за исключением требования, чтобы отображения перехода были голоморфными .

Громов использовал существование почти комплексных структур на симплектических многообразиях для разработки теории псевдоголоморфных кривых , ^[4] что привело к ряду достижений в симплектической топологии, включая класс симплектических инвариантов, теперь известных как инварианты Громова–Виттена . Позже, используя технику псевдоголоморфных кривых, Андреас Флоер изобрел еще один важный инструмент в симплектической геометрии, известный как гомологии Флоера . ^[5]

Смотрите также

• Геометрия контакта
• Геометрическая механика
• Карта моментов
• геометрия Пуассона
• Симплектическое интегрирование
• Симплектическое векторное пространство

Примечания

1. Хартнетт, Кевин (9 февраля 2017 г.). «Борьба за исправление основ геометрии». Журнал Quanta .
2. Вейль, Герман (1939). Классические группы. Их инварианты и представления. Перепечатано Princeton University Press (1997). ISBN 0-691-05756-7. MR0000255
3. McDuff, Dusa (2010), «Что такое симплектическая геометрия?», в Hobbs, Catherine; Paycha, Sylvie (ред.), European Women in Mathematics – Proceedings of the 13th General Meeting , World Scientific, стр. 33–51, CiteSeerX 10.1.1.433.1953 , ISBN  9789814277686
4. Громов, Михаил. «Псевдоголоморфные кривые в симплектических многообразиях». Inventiones mathematicae 82.2 (1985): 307–347.
5. Флоер, Андреас. «Теория Морса для лагранжевых пересечений». Журнал дифференциальной геометрии 28.3 (1988): 513–547.

Ссылки

• Абрахам, Ральф ; Марсден, Джерролд Э. (1978). Основы механики . Лондон: Benjamin-Cummings. ISBN 978-0-8053-0102-1.
• Арнольд, VI (1986). «Первые шаги симплектической топологии». Успехи математических наук . 41 (6(252)): 3–18. doi : 10.1070/RM1986v041n06ABEH004221. ISSN  0036-0279. S2CID  250908036 - через Русские математические обзоры , 1986, 41:6, 1–21.
• Макдафф, Дьюса ; Саламон, Д. (1998). Введение в симплектическую топологию . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850451-1.
• Фоменко, AT (1995). Симплектическая геометрия (2-е изд.). Гордон и Брич. ISBN 978-2-88124-901-3. (Введение на уровне бакалавриата.)
• де Госсон, Морис А. (2006). Симплектическая геометрия и квантовая механика . Базель: Birkhäuser Verlag. ISBN 978-3-7643-7574-4.
• Вайнштейн, Алан (1981). "Симплектическая геометрия" (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 5 (1): 1–13. doi : 10.1090/s0273-0979-1981-14911-9 .
• Вейль, Герман (1939). Классические группы. Их инварианты и представления .Перепечатано Princeton University Press (1997). ISBN 0-691-05756-7 . MR 0000255. 

Внешние ссылки

• Медиафайлы по теме Симплектическая геометрия на Wikimedia Commons
• «Симплектическая структура», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]