Симплектоморфизм

Изоморфизм симплектических многообразий

В математике симплектоморфизм или симплектическое отображение — это изоморфизм в категории симплектических многообразий . В классической механике симплектоморфизм представляет собой преобразование фазового пространства , сохраняющее объём и симплектическую структуру фазового пространства, и называется каноническим преобразованием .

Формальное определение

Диффеоморфизм между двумя симплектическими многообразиями называется симплектоморфизмом , если ${\displaystyle f:(M,\omega )\rightarrow (N,\omega ')}$

${\displaystyle f^{*}\omega '=\omega ,}$

где — обратный образ . Симплектические диффеоморфизмы из в являются (псевдо-)группой, называемой группой симплектоморфизмов (см. ниже). ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Инфинитезимальная версия симплектоморфизмов дает симплектические векторные поля. Векторные поля называются симплектическими, если ${\displaystyle X\in \Gamma ^{\infty }(TM)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =0.}$

Также, является симплектическим , если поток является симплектоморфизмом для любого . Эти векторные поля образуют подалгебру Ли . Здесь — множество гладких векторных полей на , а — производная Ли вдоль векторного поля ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi _{t}:M\rightarrow M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(TM)}$ ${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(TM)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ ${\displaystyle X.}$

Примерами симплектоморфизмов являются канонические преобразования классической механики и теоретической физики , поток, связанный с любой функцией Гамильтона, отображение на кокасательных расслоениях, индуцированное любым диффеоморфизмом многообразий, и коприсоединённое действие элемента группы Ли на коприсоединённой орбите .

Потоки

Любая гладкая функция на симплектическом многообразии порождает, по определению, гамильтоново векторное поле , а множество всех таких векторных полей образует подалгебру алгебры Ли симплектических векторных полей . Интеграция потока симплектического векторного поля является симплектоморфизмом. Поскольку симплектоморфизмы сохраняют симплектическую 2-форму и, следовательно, симплектическую форму объема , отсюда следует теорема Лиувилля в гамильтоновой механике . Симплектоморфизмы, возникающие из гамильтоновых векторных полей, известны как гамильтоновы симплектоморфизмы.

Поскольку { H , H } = X _H ( H ) = 0, поток гамильтонова векторного поля также сохраняет H. В физике это интерпретируется как закон сохранения энергии .

Если первое число Бетти связного симплектического многообразия равно нулю, то симплектические и гамильтоновы векторные поля совпадают, поэтому понятия гамильтоновой изотопии и симплектической изотопии симплектоморфизмов совпадают.

Можно показать, что уравнения геодезической могут быть сформулированы как гамильтонов поток, см. Геодезические как гамильтоновы потоки .

Группа (гамильтоновых) симплектоморфизмов

Симплектоморфизмы из многообразия обратно на себя образуют бесконечномерную псевдогруппу . Соответствующая алгебра Ли состоит из симплектических векторных полей. Гамильтоновы симплектоморфизмы образуют подгруппу, алгебра Ли которой задается гамильтоновыми векторными полями. Последняя изоморфна алгебре Ли гладких функций на многообразии относительно скобки Пуассона , по модулю констант.

Группа гамильтоновых симплектоморфизмов обычно обозначается как . ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle \operatorname {Ham} (M,\omega )}$

Группы гамильтоновых диффеоморфизмов являются простыми , согласно теореме Баняги . ^[1] Они имеют естественную геометрию, заданную нормой Хофера. Гомотопический тип группы симплектоморфизмов для некоторых простых симплектических четырехмерных многообразий , таких как произведение сфер , может быть вычислен с помощью теории Громова псевдоголоморфных кривых .

Сравнение с римановой геометрией

В отличие от римановых многообразий , симплектические многообразия не очень жесткие: теорема Дарбу показывает, что все симплектические многообразия одинаковой размерности локально изоморфны. Напротив, изометрии в римановой геометрии должны сохранять тензор кривизны Римана , который, таким образом, является локальным инвариантом риманова многообразия. Более того, каждая функция H на симплектическом многообразии определяет гамильтоново векторное поле X _H , которое экспоненциально возводится в однопараметрическую группу гамильтоновых диффеоморфизмов. Из этого следует, что группа симплектоморфизмов всегда очень велика и, в частности, бесконечномерна. С другой стороны, группа изометрий риманова многообразия всегда является (конечномерной) группой Ли . Более того, римановы многообразия с большими группами симметрии являются весьма специальными, а общее риманово многообразие не имеет нетривиальных симметрий.

Квантования

Представления конечномерных подгрупп группы симплектоморфизмов (после ħ-деформаций, в общем случае) на гильбертовых пространствах называются квантованиями . Когда группа Ли определяется гамильтонианом, это называется «квантованием по энергии». Соответствующий оператор из алгебры Ли в алгебру Ли непрерывных линейных операторов также иногда называется квантованием ; это более распространенный способ рассмотрения в физике.

гипотеза Арнольда

Знаменитая гипотеза Владимира Арнольда связывает минимальное число неподвижных точек для гамильтонова симплектоморфизма , в случае, если является компактным симплектическим многообразием , с теорией Морса (см. ^[2] ). Точнее, гипотеза утверждает, что имеет по крайней мере столько же неподвижных точек, сколько должно иметь гладкая функция на . Была доказана некоторая более слабая версия этой гипотезы: когда является «невырожденным», число неподвижных точек ограничено снизу суммой чисел Бетти (см., ^{[3] [4]} ). Наиболее важным событием в симплектической геометрии, вызванным этой знаменитой гипотезой, является рождение гомологии Флоера (см. ^[5] ), названной в честь Андреаса Флоера . ${\displaystyle \varphi :M\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle M}$

В популярной культуре

«Симплектоморфизм» — слово в кроссворде в 1-м эпизоде ​​аниме «Шпион × Семья» . ^[6]

Смотрите также

• Математический портал

Ссылки

1. Макдафф и Саламон 1998, Теорема 10.25.
2. Арнольд, Владимир (1978). Математические методы классической механики. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 60. New York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4757-1693-1. ISBN 978-1-4757-1693-1.
3. Фукая, Кэндзи; Оно, Каору (сентябрь 1999 г.). «Гипотеза Арнольда и инварианты Громова-Виттена». Топология . 38 (5): 933–1048. doi : 10.1016/S0040-9383(98)00042-1 .
4. Лю, Ган; Тянь, Ган (1998). «Гомологии Флоера и гипотеза Арнольда». Журнал дифференциальной геометрии . 49 (1): 1–74. doi : 10.4310/jdg/1214460936 .
5. Флоер, Андреас (1989). «Симплектические неподвижные точки и голоморфные сферы». Сообщения по математической физике . 120 (4): 575–611. doi :10.1007/BF01260388. S2CID  123345003.
6. Аня усыновлена. Коллекция Crunchyroll.

Общий

• Макдафф, Дьюса и Саламон, Д. (1998), Введение в симплектическую топологию , Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.
• Абрахам, Ральф и Марсден, Джерролд Э. (1978), Основы механики , Лондон: Benjamin-Cummings, ISBN 0-8053-0102-X. См. раздел 3.2 .

Группы симплектоморфизмов

• Громов, М. (1985), "Псевдоголоморфные кривые в симплектических многообразиях", Inventiones Mathematicae , 82 (2): 307–347, Bibcode : 1985InMat..82..307G, doi : 10.1007/BF01388806, S2CID  4983969.
• Полтерович, Леонид (2001), Геометрия группы симплектических диффеоморфизмов , Базель; Бостон: Birkhauser Verlag, ISBN 3-7643-6432-7.