Синглтон (математика)

Набор, состоящий ровно из одного элемента

В математике синглтон (также известный как единичный набор ^[1] или одноточечный набор ) — это набор , содержащий ровно один элемент . Например, набор — это синглтон, единственным элементом которого является . ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle 0}$

Характеристики

В рамках теории множеств Цермело–Френкеля аксиома регулярности гарантирует, что ни одно множество не является элементом самого себя. Это подразумевает, что синглтон обязательно отличен от содержащегося в нем элемента, ^[1] таким образом, 1 и не являются одним и тем же, а пустое множество отличается от множества, содержащего только пустое множество. Такое множество является синглтоном, поскольку содержит единственный элемент (который сам по себе является множеством, но не синглтоном). ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle \{\{1,2,3\}\}}$

Множество является синглетоном тогда и только тогда, когда его мощность равна 1. В теоретико-множественной конструкции фон Неймана натуральных чисел число 1 определяется как синглетон ${\displaystyle \{0\}.}$

В аксиоматической теории множеств существование синглетонов является следствием аксиомы спаривания : для любого множества A аксиома, примененная к A и A, утверждает существование которого совпадает с существованием синглета (поскольку он содержит A и никакой другой набор в качестве элемента). ${\displaystyle \{A,A\},}$ ${\displaystyle \{A\}}$

Если A — это любое множество, а S — это любой синглтон, то существует ровно одна функция из A в S , функция, отправляющая каждый элемент A в единственный элемент S. Таким образом, каждый синглтон является конечным объектом в категории множеств .

Синглтон обладает свойством, что каждая функция из него в любое произвольное множество является инъективной. Единственное множество, не являющееся синглтоном, с этим свойством — это пустое множество .

Каждое одноэлементное множество является ультрафильтром . Если является множеством и тогда восходящее к , в котором находится множество, является главным ультрафильтром на . Более того, каждый главный ультрафильтр на обязательно имеет эту форму. ^[2] Лемма об ультрафильтрах подразумевает, что неглавные ультрафильтры существуют на каждом бесконечном множестве (они называются свободными ультрафильтрами ). Каждая сеть, оцененная в одноэлементном подмножестве , является ультрасетью на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{S\subseteq X:x\in S\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Последовательность целых чисел Белла подсчитывает количество разделов набора ( OEIS : A000110 ), если исключить одиночные элементы, то числа будут меньше ( OEIS : A000296 ).

В теории категорий

Структуры, построенные на синглтонах, часто служат конечными объектами или нулевыми объектами различных категорий :

• Вышеприведенное утверждение показывает, что одноэлементные множества являются именно конечными объектами в категории Множество множеств . Никакие другие множества не являются конечными.
• Любой синглтон допускает уникальную топологическую структуру пространства (оба подмножества открыты). Эти синглтонные топологические пространства являются терминальными объектами в категории топологических пространств и непрерывных функций . Никакие другие пространства не являются терминальными в этой категории.
• Любой синглтон допускает уникальную групповую структуру (уникальный элемент, служащий элементом идентичности ). Эти группы синглтонов являются нулевыми объектами в категории групп и групповых гомоморфизмов . Никакие другие группы не являются терминальными в этой категории.

Определение по индикаторным функциям

Пусть S — класс , определяемый индикаторной функцией. Тогда S называется синглтоном тогда и только тогда, когда существует такой класс , что для всех $${\displaystyle b:X\to \{0,1\}.}$$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle b(x)=(x=y).}$$

Определение вPrincipia Mathematica

Следующее определение было введено Уайтхедом и Расселом ^[3]

${\displaystyle \iota }$« Дф. ${\displaystyle x={\hat {y}}(y=x)}$

Символ ' обозначает синглтон и обозначает класс объектов, идентичных aka . Это встречается как определение во введении, которое местами упрощает аргумент в основном тексте, где оно встречается как предложение 51.01 (стр. 357 там же). Предложение впоследствии используется для определения кардинального числа 1 как ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle {\hat {y}}(y=x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{y:y=x\}}$

${\displaystyle 1={\hat {\alpha }}((\exists x)\alpha =\iota }$« Дф. ${\displaystyle x)}$

То есть, 1 — это класс синглтонов. Это определение 52.01 (стр. 363 там же).

Смотрите также

• Класс (теория множеств)  – совокупность множеств в математике, которые можно определить на основе свойств их членов.
• Изолированная точка  – точка подмножества S, вокруг которой нет других точек S.
• Квантификация уникальности  – Логическое свойство быть единственным объектом, удовлетворяющим условию.
• Urelement  – ​​Понятие в теории множеств

Ссылки

1. Stoll, Robert (1961). Множества, логика и аксиоматические теории . WH Freeman and Company. стр. 5–6.
2. Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Convergence Foundations of Topology . Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific Publishing. стр. 27–54. doi :10.1142/9012. ISBN 978-981-4571-52-4. МР  3497013.
3. Уайтхед, Альфред Норт; Бертран Рассел (1910). Principia Mathematica . Т. I. С. 37.