Сингулярность BKL

General relativity model near the beginning of the universe

Сферическое тело, подвергающееся хаотической динамике BKL (Mixmaster) близкой к сингулярности в соответствии с правилами ур. 35. Моделирование было выполнено в Mathematica с начальным . ^{[примечание 1]} ${\displaystyle u={\sqrt {13}}}$

Сингулярность Белинского –Халатникова–Лифшица (БКЛ) — это модель динамической эволюции Вселенной вблизи начальной гравитационной сингулярности , описываемая анизотропным хаотическим решением уравнения гравитации Эйнштейна . ^{[2] Согласно этой модели, Вселенная} хаотически колеблется вокруг гравитационной сингулярности, в которой время и пространство становятся равными нулю или, что эквивалентно, кривизна пространства-времени становится бесконечно большой. Эта сингулярность физически реальна в том смысле, что она является необходимым свойством решения и будет появляться также в точном решении этих уравнений. Сингулярность не создается искусственно предположениями и упрощениями, сделанными другими специальными решениями, такими как решения Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера , квазиизотропные и решения Каснера .

Модель названа в честь ее авторов Владимира Белинского , Исаака Халатникова и Евгения Лифшица , работавших в то время в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау .

Картина, разработанная BKL, имеет несколько важных элементов. Это:

• Вблизи сингулярности эволюция геометрии в различных пространственных точках расцепляется, так что решения уравнений с частными производными могут быть аппроксимированы решениями обыкновенных дифференциальных уравнений относительно времени для соответствующим образом определенных пространственных масштабных факторов. Это называется гипотезой БКЛ .
• Для большинства типов материи влияние полей материи на динамику геометрии становится пренебрежимо малым вблизи сингулярности. Или, по словам Джона Уиллера , «материя не имеет значения» вблизи сингулярности. Первоначальная работа BKL предполагала пренебрежимо малое влияние для всей материи, но позже они выдвинули теорию, что «жесткая материя» (уравнение состояния p = ε), эквивалентная безмассовому скалярному полю, может оказывать модифицирующее влияние на динамику вблизи сингулярности.
• Обыкновенные дифференциальные уравнения, описывающие асимптотику, происходят из класса пространственно однородных решений, которые составляют динамику Миксмастера : сложную колебательную и хаотическую модель, которая демонстрирует свойства, аналогичные тем, которые обсуждались БКЛ.

Изучение динамики Вселенной в окрестности космологической сингулярности стало быстро развивающейся областью современной теоретической и математической физики. Обобщение модели БКЛ на космологическую сингулярность в многомерных ( типа Калуцы–Клейна ) космологических моделях имеет хаотический характер в пространствах-временах, размерность которых не превышает десяти, тогда как в пространствах-временах более высоких размерностей Вселенная, претерпев конечное число колебаний, входит в монотонный режим сжатия типа Казнера. ^{[3] [4] [5]}

Развитие космологических исследований, основанных на моделях суперструн, выявило некоторые новые аспекты динамики в окрестности сингулярности. ^{[6] [7] [8]} В этих моделях механизмы смены эпох Казнера провоцируются не гравитационными взаимодействиями, а влиянием других присутствующих полей. Было доказано, что космологические модели, основанные на шести основных моделях суперструн и одиннадцатимерной модели супергравитации, демонстрируют хаотическую динамику BKL по направлению к сингулярности. Была обнаружена связь между осцилляционными космологическими моделями типа BKL и особым подклассом бесконечномерных алгебр Ли – так называемыми гиперболическими алгебрами Каца–Муди . ^{[9] [10] [11]}

Введение

Основой современной космологии являются специальные решения уравнений поля Эйнштейна, найденные Александром Фридманом в 1922–1924 годах. Вселенная предполагается однородной (пространство имеет одинаковые метрические свойства (меры) во всех точках) и изотропной (пространство имеет одинаковые меры во всех направлениях). Решения Фридмана допускают две возможные геометрии для пространства: закрытую модель с шарообразным, выгнутым наружу пространством ( положительная кривизна ) и открытую модель с седлообразным, выгнутым внутрь пространством ( отрицательная кривизна ). В обеих моделях Вселенная не стоит на месте, она постоянно либо расширяется (становится больше), либо сжимается (становится меньше). Это подтвердил Эдвин Хаббл, установивший красное смещение Хаббла разбегающихся галактик. В настоящее время существует консенсус в том, что изотропная модель , в целом, дает адекватное описание современного состояния Вселенной; Однако изотропность современной Вселенной сама по себе не является основанием ожидать, что она адекватна для описания ранних стадий эволюции Вселенной . В то же время очевидно, что в реальном мире однородность является, в лучшем случае, лишь приближением. Даже если можно говорить об однородном распределении плотности материи на расстояниях, больших по сравнению с межгалактическим пространством, эта однородность исчезает на меньших масштабах. С другой стороны, предположение об однородности заходит очень далеко в математическом плане: оно делает решение высокосимметричным, что может придавать ему специфические свойства, которые исчезают при рассмотрении более общего случая.

Другим важным свойством изотропной модели является неизбежное существование временной сингулярности : течение времени не является непрерывным, а останавливается или обращается вспять после того, как время достигает некоторого очень большого или очень малого значения. Между сингулярностями время течет в одном направлении: от сингулярности ( стрела времени ). В открытой модели есть одна временная сингулярность, поэтому время ограничено на одном конце, но неограниченно на другом, в то время как в закрытой модели есть две сингулярности, которые ограничивают время на обоих концах ( Большой взрыв и Большое сжатие ).

Единственными физически интересными свойствами пространства-времени (такими как сингулярности) являются те, которые являются стабильными , т. е. те свойства, которые все еще сохраняются, когда начальные данные слегка возмущены. Сингулярность может быть стабильной и при этом не представлять физического интереса: стабильность является необходимым, но не достаточным условием для физической релевантности. Например, сингулярность может быть стабильной только в окрестности начальных наборов данных, соответствующих сильно анизотропным вселенным. Поскольку фактическая вселенная теперь, по-видимому, почти изотропна, такая сингулярность не может возникнуть в нашей вселенной. Достаточным условием для того, чтобы стабильная сингулярность представляла физический интерес, является требование, чтобы сингулярность была общей (или общей). Грубо говоря, стабильная сингулярность является общей, если она возникает вблизи каждого набора начальных условий, а негравитационные поля ограничены некоторым заданным образом "физически реалистичными" полями, так что уравнения Эйнштейна, различные уравнения состояния и т. д., как предполагается, сохраняются в эволюционировавшем пространстве-времени. Может случиться, что сингулярность окажется устойчивой при небольших изменениях истинных гравитационных степеней свободы , и все же она не будет универсальной, поскольку сингулярность каким-то образом зависит от системы координат или, скорее, от выбора начальной гиперповерхности , из которой эволюционирует пространство-время.

Для системы нелинейных дифференциальных уравнений , таких как уравнения Эйнштейна , общее решение не определено однозначно. В принципе, может быть несколько общих интегралов , и каждый из них может содержать только конечное подмножество всех возможных начальных условий . Каждый из этих интегралов может содержать все требуемые независимые функции , которые, однако, могут подчиняться некоторым условиям (например, некоторым неравенствам ). Существование общего решения с особенностью, таким образом, не исключает существование других дополнительных общих решений, которые не содержат особенность. Например, нет причин сомневаться в существовании общего решения без особенности, которое описывает изолированное тело с относительно малой массой.

Невозможно найти общий интеграл для всего пространства и для всего времени. Однако это не является необходимым для решения проблемы: достаточно изучить решение вблизи сингулярности. Это также решило бы другой аспект проблемы: характеристики эволюции метрики пространства-времени в общем решении, когда оно достигает физической сингулярности, понимаемой как точка, в которой плотность материи и инварианты тензора кривизны Римана становятся бесконечными.

Существование сингулярности физического времени

Одной из основных проблем, изучаемых группой Ландау (к которой принадлежит BKL), было то, обязательно ли релятивистские космологические модели содержат временную сингулярность или же временная сингулярность является артефактом предположений, используемых для упрощения этих моделей. Независимость сингулярности от предположений симметрии будет означать, что временные сингулярности существуют не только в специальных, но и в общих решениях уравнений Эйнштейна. Разумно предположить, что если сингулярность присутствует в общем решении, должны быть некоторые указания, которые основаны только на самых общих свойствах уравнений Эйнштейна, хотя эти указания сами по себе могут быть недостаточными для характеристики сингулярности.

Критерием общности решений является число независимых пространственных координатных функций, которые они содержат. К ним относятся только «физически независимые» функции, число которых не может быть уменьшено никаким выбором системы отсчета . В общем решении число таких функций должно быть достаточным для полного определения начальных условий (распределение и движение материи, распределение гравитационного поля ) в некоторый момент времени, выбранный в качестве начального. Это число равно четырем для пустого (вакуумного) пространства и восьми для пространства, заполненного материей и/или излучением. ^{[12] [13]}

Предыдущие работы группы Ландау; ^{[14] [15] [16]} рассмотренные в ^[12] ) привели к выводу, что общее решение не содержит физической сингулярности. Этот поиск более широкого класса решений с сингулярностью был выполнен, по сути, методом проб и ошибок, поскольку системный подход к изучению уравнений Эйнштейна отсутствовал. Отрицательный результат, полученный таким образом, сам по себе не убедителен; решение с необходимой степенью общности сделало бы его недействительным, и в то же время подтвердило бы любые положительные результаты, связанные с конкретным решением.

В то время единственное известное указание на существование физической сингулярности в общем решении было связано с формой уравнений Эйнштейна, записанных в синхронной системе отсчета , то есть в системе отсчета, в которой собственное время x ⁰ = t синхронизировано во всем пространстве; в этой системе отсчета элемент пространственного расстояния dl отделен от временного интервала dt . ^{[примечание 2]} Уравнение Эйнштейна

записанный в синхронной системе отсчета, дает результат, в котором метрический определитель g неизбежно становится равным нулю за конечное время независимо от каких-либо предположений о распределении материи. ^{[12] [13]}

Однако попытки найти общую физическую сингулярность были прекращены после того, как стало ясно, что упомянутая выше сингулярность связана с определенным геометрическим свойством синхронной системы отсчета: пересечением координат временной линии. Это пересечение происходит на некоторых охватывающих гиперповерхностях , которые являются четырехмерными аналогами каустических поверхностей в геометрической оптике ; g становится равным нулю именно в этом пересечении. ^[16] Следовательно, хотя эта сингулярность и является общей, она фиктивная, а не физическая; она исчезает при смене системы отсчета. Это, по-видимому, отговорило исследователей от дальнейших исследований в этом направлении.

Прошло несколько лет, прежде чем интерес к этой проблеме снова возрос, когда Пенроуз  (1965) опубликовал свои теоремы, связывающие существование сингулярности неизвестного характера с некоторыми весьма общими предположениями, не имеющими ничего общего с выбором системы отсчета. Другие похожие теоремы были найдены позднее Хокингом ^{[17] [18]} и Герохом ^[19] (см. теоремы Пенроуза–Хокинга о сингулярности ). Это возродило интерес к поиску сингулярных решений.

Обобщенное однородное решение

В пространстве, которое является как однородным, так и изотропным, метрика определяется полностью, оставляя свободным только знак кривизны. Предположение только однородности пространства без дополнительной симметрии, такой как изотропия, оставляет значительно больше свободы в выборе метрики. Следующее относится к пространственной части метрики в заданный момент времени t, предполагая синхронную систему отсчета, так что t является тем же синхронизированным временем для всего пространства.

Гипотеза БКЛ

В своей работе 1970 года ^[2] БКЛ заявили, что по мере приближения к сингулярности члены, содержащие производные по времени в уравнениях Эйнштейна, доминируют над членами, содержащими пространственные производные . С тех пор это известно как гипотеза БКЛ и подразумевает, что уравнения в частных производных (PDE) Эйнштейна хорошо аппроксимируются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ODE), откуда динамика общей теории относительности фактически становится локальной и колебательной. Временная эволюция полей в каждой пространственной точке хорошо аппроксимируется однородными космологиями в классификации Бианки.

Разделив производные по времени и пространству в уравнениях Эйнштейна, например, способом, используемым для классификации однородных пространств , а затем установив члены, содержащие производные по пространству, равными нулю, можно определить так называемую усеченную теорию системы (усеченные уравнения). ^[20] Затем гипотезу БКЛ можно конкретизировать:

Слабая гипотеза : По мере приближения к сингулярности члены, содержащие пространственные производные в уравнениях Эйнштейна, пренебрежимо малы по сравнению с членами, содержащими производные по времени. Таким образом, по мере приближения к сингулярности уравнения Эйнштейна приближаются к тем, которые найдены путем установки производных членов в ноль. Таким образом, слабая гипотеза гласит, что уравнения Эйнштейна могут быть хорошо аппроксимированы усеченными уравнениями вблизи сингулярности. Обратите внимание, что это не означает, что решения полных уравнений движения будут приближаться к решениям усеченных уравнений по мере приближения к сингулярности. Это дополнительное условие зафиксировано в сильной версии следующим образом.

Сильная гипотеза : По мере приближения к сингулярности уравнения Эйнштейна приближаются к уравнениям усеченной теории, и, кроме того, решения полных уравнений хорошо аппроксимируются решениями усеченных уравнений.

В начале гипотеза BKL казалась зависящей от координат и довольно неправдоподобной. Например, Барроу и Типлер ^{[21] [22]} среди десяти критических замечаний к исследованиям BKL включают неподходящий (по их мнению) выбор синхронной системы отсчета в качестве средства разделения производных по времени и пространству. Гипотеза BKL иногда перефразировалась в литературе как утверждение, что вблизи сингулярности важны только производные по времени. Такое утверждение, взятое на веру, неверно или в лучшем случае вводит в заблуждение, поскольку, как показано в самом анализе BKL, пространственно-подобные градиенты метрического тензора не могут быть проигнорированы для общих решений чистой гравитации Эйнштейна в четырех пространственно-временных измерениях и фактически играют решающую роль в появлении колебательного режима. Однако существуют переформулировки теории Эйнштейна в терминах новых переменных, включающих соответствующие градиенты, например, в переменных типа Аштекара, для которых утверждение о доминирующей роли производных по времени является верным. ^[20] Верно, что в каждой пространственной точке можно получить эффективное описание сингулярности в терминах конечномерной динамической системы, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями относительно времени, но пространственные градиенты входят в эти уравнения нетривиальным образом.

Последующий анализ большого числа авторов показал, что гипотезу БКЛ можно сделать точной, и к настоящему времени имеется впечатляющий объем численных и аналитических доказательств в ее поддержку. ^[23] Справедливо будет сказать, что мы все еще довольно далеки от доказательства сильной гипотезы. Но был достигнут выдающийся прогресс в более простых моделях. В частности, Бергер, Гарфинкель, Монкриф, Айзенберг, Уивер и другие показали, что в классе моделей по мере приближения к сингулярности решения полных уравнений поля Эйнштейна приближаются к «доминируемым членом скорости» (усеченным), полученным путем пренебрежения пространственными производными. ^{[23] [24] [25] [26] [27]} Андерссон и Рендалл ^[28] показали, что для гравитации, связанной с безмассовым скалярным полем или жесткой жидкостью, для каждого решения усеченных уравнений существует решение полных уравнений поля, которое сходится к усеченному решению по мере приближения к сингулярности, даже при отсутствии симметрии. Эти результаты были обобщены, чтобы также включить калибровочные поля p-формы . ^[29] В этих усеченных моделях динамика проще, что позволяет точно сформулировать гипотезу, которая может быть доказана. В общем случае самые сильные доказательства на сегодняшний день исходят из численных эволюций. Бергер и Монкриф ^[30] начали программу для анализа общих космологических сингулярностей. В то время как первоначальная работа была сосредоточена на случаях с пониженной симметрией, ^[31] совсем недавно Гарфинкль ^[32] выполнил численную эволюцию пространства-времени без симметрии, в которой, опять же, очевидно поведение миксмастера. Наконец, дополнительное подтверждение гипотезы пришло из численного исследования поведения тестовых полей вблизи сингулярности черной дыры Шварцшильда. ^[33]

Решение Каснера

Динамика метрики Каснера ур. 2 в сферических координатах по направлению к сингулярности. Параметр Лифшица-Халатникова равен u =2 (1/ u =0,5), а координата r равна 2 p _α (1/ u )τ, где τ — логарифмическое время: τ = ln t . ^{[примечание 3]} Сжатие по осям линейно и анизотропно (нет хаотичности).

Подход БКЛ к анизотропным (в отличие от изотропных) однородным пространствам начинается с обобщения точного частного решения, полученного Каснером ^[34] для поля в вакууме, в котором пространство однородно и имеет евклидову метрику , зависящую от времени согласно метрике Каснера

( dl — элемент линии ; dx , dy , dz — бесконечно малые смещения в трех пространственных измерениях , а t — период времени, прошедший с некоторого начального момента t ₀ = 0). Здесь p ₁ , p ₂ , p ₃ — любые три числа, удовлетворяющие следующим условиям Каснера:

Из-за этих отношений только одно из трех чисел является независимым (два уравнения с тремя неизвестными ). Все три числа никогда не бывают одинаковыми; два числа одинаковы только в наборах значений и (0, 0, 1). ^{[примечание 4]} Во всех остальных случаях числа различны, одно число отрицательное, а два других — положительные. Это частично доказывается путем возведения в квадрат обеих сторон первого условия ур. 3 и разложения квадрата: ${\textstyle (-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {2}{3}})}$

${\displaystyle \left(p_{1}+p_{2}+p_{3}\right)^{2}=\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)+\left(2p_{1}p_{2}+2p_{2}p_{3}+2p_{1}p_{3}\right)=1}$

Член равен 1 в силу второго условия ур. 3 , и поэтому член со смешанными произведениями должен быть равен нулю. Это возможно, если хотя бы один из p ₁ , p ₂ , p ₃ отрицателен. ${\displaystyle \left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)}$

Если числа расположены в порядке возрастания, p ₁ < p ₂ < p ₃ , то они изменяются в интервалах (рис. 4)

График p ₁ , p ₂ , p ₃ с аргументом 1/ u . Числа p ₁ ( u ) и p ₃ ( u ) монотонно возрастают, в то время как p ₂ ( u ) является монотонно убывающей функцией u .

Метрика Казнера ур. 2 соответствует плоскому однородному, но анизотропному пространству, в котором все объемы увеличиваются со временем таким образом, что линейные расстояния по двум осям y и z увеличиваются, а расстояние по оси x уменьшается. Момент t = 0 вызывает сингулярность в решении; сингулярность в метрике при t = 0 не может быть устранена никаким преобразованием системы отсчета. В сингулярности инварианты четырехмерного тензора кривизны стремятся к бесконечности. Исключением является случай p ₁ = р ₂ = 0, р ₃ = 1; эти значения соответствуют плоскому пространству-времени: преобразование t sh z = ζ, t ch z = τ превращает метрику Казнера ( ур. 2 ) в галилееву .

БКЛ параметризует числа p ₁ , p ₂ , p ₃ в терминах одного независимого (действительного) параметра u (параметр Лифшица-Халатникова ^[35] ) следующим образом:

Параметризация индекса Каснера кажется загадочной, пока не подумаешь о двух ограничениях на индексы eq. 3 . Оба ограничения фиксируют общую шкалу индексов, так что могут меняться только их отношения . Естественно выбрать одно из этих отношений в качестве нового параметра, что можно сделать шестью различными способами. Выбрав u = u ₃₂ = p ₃ / p ₂ , например, тривиально выразить все шесть возможных отношений через него. Исключив сначала p ₃ = up ₂ , а затем используя линейное ограничение для исключения p ₁ = 1 − p ₂ − up ₂ = 1 − (1 + u ) p ₂ , квадратичное ограничение сводится к квадратному уравнению относительно p ₂

с корнями p ₂ = 0 (очевидно) и p ₂ = (1 + u ) / (1 + u + u ² ), из которых p ₁ и p ₃ затем получаются обратной подстановкой . Можно определить шесть таких параметров u _ab = p _a / p _b , для которых p _c ≤ p _b ≤ p _{a ,} когда ( c , b , a ) является циклической перестановкой (1, 2, 3). ^[36]

Все различные значения p ₁ , p ₂ , p _{3 ,} упорядоченные выше, получены при u , работающем в диапазоне u ≥ 1. Значения u < 1 приводятся в этот диапазон в соответствии с

В обобщенном решении форма, соответствующая ур. 2, применима только к асимптотической метрике (метрике, близкой к сингулярности t = 0), соответственно, к старшим членам ее разложения в ряд по степеням t . В синхронной системе отсчета она записывается в виде ур. 1 с элементом пространственного расстояния

где

Трехмерные векторы l , m , n определяют направления, в которых пространственное расстояние изменяется со временем по степенным законам ур. 8 . Эти векторы, а также числа p _l , p _m , p _{n ,} которые, как и прежде, связаны ур. 3 , являются функциями пространственных координат. Степени p _l , p _m , p _n не расположены в порядке возрастания, резервируя символы p ₁ , p ₂ , p ₃ для чисел в ур. 5 , которые остаются расположенными в порядке возрастания. Определитель метрики ур. 7 равен

где v = l [ mn ]. Удобно ввести следующие величины ^{[примечание 5]}

Метрика пространства в ур. 7 анизотропна, поскольку степени t в ур. 8 не могут иметь одинаковые значения. При приближении к сингулярности при t = 0 линейные расстояния в каждом элементе пространства уменьшаются в двух направлениях и увеличиваются в третьем направлении. Объем элемента уменьшается пропорционально t .

Метрика Каснера вводится в уравнения Эйнштейна путем подстановки соответствующего метрического тензора γ _αβ из ур. 7 без определения априори зависимости a , b , c от t : ^{[примечание 2]}

${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\beta }={\frac {2{\dot {a}}}{a}}l_{\alpha }l^{\beta }+{\frac {2{\dot {b}}}{b}}m_{\alpha }m^{\beta }+{\frac {2{\dot {c}}}{c}}n_{\alpha }n^{\beta }}$

где точка над символом обозначает дифференциацию по времени. Уравнение Эйнштейна ур. 11 принимает вид

Все его члены имеют второй порядок для большой (при t → 0) величины 1/ t . В уравнениях Эйнштейна ур. 12 члены такого порядка появляются только из членов, дифференцируемых по времени. Если компоненты P _αβ не включают члены порядка выше второго, то

где индексы l , m , n обозначают компоненты тензора в направлениях l , m , n . ^[12] Эти уравнения вместе с уравнением 14 дают выражения уравнение 8 со степенями, которые удовлетворяют уравнению 3 .

Однако наличие одной отрицательной степени среди 3 степеней p _l , p _m , p _n приводит к появлению членов из P _αβ с порядком больше t ⁻² . Если отрицательная степень равна p _l ( p _l = p ₁ < 0), то P _αβ содержит координатную функцию λ и ур. 12 становится

Здесь вторые члены имеют порядок t ^{−2( p _m + p _n − p _l )} , ​​причем p _m + p _n − p _l = 1 + 2 | p _l | > 1. ^{[примечание 6]} Чтобы удалить эти члены и восстановить метрическое уравнение 7 , необходимо наложить на координатные функции условие λ = 0.

Оставшиеся три уравнения Эйнштейна ур. 13 содержат только производные по времени первого порядка метрического тензора. Они дают три не зависящих от времени соотношения, которые должны быть наложены в качестве необходимых условий на координатные функции в ур. 7. Это, вместе с условием λ = 0, дает четыре условия. Эти условия связывают десять различных координатных функций: три компонента каждого из векторов l , m , n и одну функцию в степенях t (любую из функций p _l , p _m , p _n , которые связаны условиями ур. 3 ). При вычислении количества физически произвольных функций необходимо учитывать, что используемая здесь синхронная система допускает не зависящие от времени произвольные преобразования трех пространственных координат. Поэтому окончательное решение содержит всего 10 − 4 − 3 = 3 физически произвольных функций, что на единицу меньше, чем требуется для общего решения в вакууме.

Степень общности, достигнутая в этой точке, не уменьшается введением материи; материя записывается в метрическое уравнение 7 и вносит четыре новые функции координат, необходимые для описания начального распределения ее плотности и трех компонентов ее скорости. Это позволяет определить эволюцию материи просто из законов ее движения в априори заданном гравитационном поле, которые являются гидродинамическими уравнениями

где u ⁱ - 4-мерная скорость, ε и σ - плотности энергии и энтропии материи (ср. ^[37] и; ^[38] также; ^[39] для получения подробной информации см. ^[40] ). Для ультрарелятивистского уравнения состояния p = ε/3 энтропия σ ~ ε ^1/4 . Главные члены в ур. 17 и ур. 18 - это те, которые содержат производные по времени . Из ур. 17 и пространственных компонент ур. 18 имеем

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\sqrt {-g}}u_{0}\varepsilon ^{\frac {3}{4}}\right)=0,\ 4\varepsilon \cdot {\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial t}}+u_{\alpha }\cdot {\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=0,}$

в результате чего

где 'const' — независимые от времени величины. Кроме того, из тождества u _i u ⁱ = 1 следует (поскольку все ковариантные компоненты u _α имеют один и тот же порядок)

${\displaystyle u_{0}^{2}\approx u_{n}u^{n}={\frac {u_{n}^{2}}{c^{2}}},}$

где u _n — составляющая скорости вдоль направления n , связанная с наивысшей (положительной) степенью t (предполагая, что p _n = p ₃ ). Из приведенных выше соотношений следует, что

или

Приведенные выше уравнения можно использовать для подтверждения того, что компоненты тензора импульса-энергии-импульса материи , стоящие в правой части уравнений

${\displaystyle R_{0}^{0}=T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T,\ R_{\alpha }^{\beta }=T_{\alpha }^{\beta }-{\frac {1}{2}}\delta _{\alpha }^{\beta }T,}$

действительно, на порядок ниже на 1/ t , чем главные члены в их левых частях. В уравнениях наличие материи приводит только к изменению соотношений, налагаемых на их составляющие координатные функции. ^[12] ${\displaystyle R_{\alpha }^{0}=T_{\alpha }^{0}}$

Тот факт, что ε становится бесконечным по закону ур. 21, подтверждает, что в решении ур. 7 мы имеем дело с физической сингулярностью при любых значениях степеней p ₁ , p ₂ , p ₃ за исключением только (0, 0, 1). Для этих последних значений сингулярность нефизическая и может быть устранена сменой системы отсчета.

Фиктивная особенность, соответствующая степеням (0, 0, 1), возникает в результате пересечения координат временной линии над некоторой 2-мерной « фокальной поверхностью ». Как указано в ^[12] , синхронная система отсчета всегда может быть выбрана таким образом, что это неизбежное пересечение временной линии произойдет именно на такой поверхности (вместо 3-мерной каустической поверхности). Поэтому решение с такой одновременной для всего пространства фиктивной особенностью должно существовать с полным набором произвольных функций, необходимых для общего решения. Вблизи точки t = 0 оно допускает регулярное расширение по целым степеням t . Для анализа этого случая см. ^[41].

Колебательный режим в направлении сингулярности

Общее решение по определению полностью устойчиво; в противном случае Вселенная не существовала бы. Любое возмущение эквивалентно изменению начальных условий в некоторый момент времени; поскольку общее решение допускает произвольные начальные условия, возмущение не способно изменить свой характер. Рассматриваемые под таким углом зрения, четыре условия, налагаемые на координатные функции в решении ур. 7, имеют разные типы: три условия, которые возникают из уравнений = 0, являются «естественными»; они являются следствием структуры уравнений Эйнштейна. Однако дополнительное условие λ = 0, которое приводит к потере одной производной функции, имеет совершенно другой тип: неустойчивость, вызванная возмущениями, может нарушить это условие. Действие такого возмущения должно привести модель к другому, более общему режиму. Возмущение нельзя считать малым: переход к новому режиму превышает диапазон очень малых возмущений. ${\displaystyle R_{\alpha }^{0}}$

Анализ поведения модели под воздействием возмущений, выполненный БКЛ, выявляет сложный колебательный режим при приближении к сингулярности. ^{[2] [42] [43] [44]} Они не смогли дать все детали этого режима в широких рамках общего случая. Однако БКЛ объяснил наиболее важные свойства и характер решения на конкретных моделях, которые допускают далеко идущее аналитическое исследование.

Эти модели основаны на однородной пространственной метрике определенного типа. Предположение об однородности пространства без какой-либо дополнительной симметрии оставляет большую свободу в выборе метрики. Все возможные однородные (но анизотропные) пространства классифицируются, согласно Бьянки , в несколько типов Бьянки (типы I–IX) . ^[45] (см. также Обобщенное однородное решение) BKL исследуют только пространства типов Бьянки VIII и IX.

Если метрика имеет вид ур. 7 , то для каждого типа однородных пространств существует некоторая функциональная связь между опорными векторами l , m , n и пространственными координатами. Конкретный вид этой связи не важен. Важным фактом является то, что для пространств типа VIII и IX величины λ, μ, ν ур. 10 являются константами, в то время как все «смешанные» произведения l rot m , l rot n , m rot l и т. д . являются нулями. Для пространств типа IX величины λ, μ, ν имеют одинаковый знак и можно записать λ = μ = ν = 1 (одновременная смена знака 3 констант ничего не меняет). Для пространств типа VIII 2 константы имеют знак, противоположный знаку третьей константы; можно записать, например, λ = − 1, μ = ν = 1. ^{[примечание 7]}

Изучение влияния возмущения на «режим Каснера» таким образом ограничивается изучением влияния членов, содержащих λ, в уравнениях Эйнштейна. Пространства типа VIII и IX являются наиболее подходящими моделями для такого изучения. Поскольку все 3 величины λ, μ, ν в этих типах Бианки отличны от нуля, условие λ = 0 не выполняется независимо от того, какое направление l , m , n имеет отрицательную степенную зависимость от времени.

Уравнения Эйнштейна для моделей пространства типа VIII и типа IX следующие ^{[46] [примечание 2]}

(остальные компоненты , , , , , тождественно равны нулю). Эти уравнения содержат только функции времени; это условие должно выполняться во всех однородных пространствах. Здесь ур. 22 и ур. 23 точны, и их справедливость не зависит от того, насколько близко мы находимся к сингулярности при t = 0. ^{[примечание 8]} ${\displaystyle R_{l}^{0}}$ ${\displaystyle R_{m}^{0}}$ ${\displaystyle R_{n}^{0}}$ ${\displaystyle R_{l}^{m}}$ ${\displaystyle R_{l}^{n}}$ ${\displaystyle R_{m}^{n}}$

Производные по времени в ур. 22 и ур. 23 принимают более простой вид, если а , b , с заменить их логарифмами α, β, γ:

заменив переменную t на τ согласно:

Тогда (индексы обозначают дифференцирование по τ):

Сложив уравнения ур. 26 и подставив в левую часть сумму (α + β + γ) _{τ τ} согласно ур. 27 , получим уравнение, содержащее только первые производные, которое является первым интегралом системы ур. 26 :

Это уравнение играет роль условия связывания, налагаемого на начальное состояние ур. 26. Мода Каснера ур. 8 является решением ур. 26 при игнорировании всех членов в правых частях. Но такая ситуация не может продолжаться (при t → 0) бесконечно, поскольку среди этих членов всегда есть некоторые, которые растут. Таким образом, если отрицательная степень находится в функции a ( t ) ( p _l = p ₁ ), то возмущение моды Каснера возникнет из-за членов λ ² a ⁴ ; остальные члены будут уменьшаться с уменьшением t . Если в правых частях ур. 26 оставить только растущие члены , то получим систему:

(сравните ур. 16 ; ниже подставлено λ ² = 1). Решение этих уравнений должно описывать эволюцию метрики из начального состояния, в котором она описывается ур. 8 с заданным набором степеней (при p _l < 0); пусть p _l = р ₁ , p _m = р ₂ , p _n = р ₃ так, что

Затем

где Λ — константа. Начальные условия для ур. 29 переопределяются как

Уравнения ур. 29 легко интегрируются; решение, удовлетворяющее условию ур. 32, имеет вид

где b ₀ и c ₀ — еще две константы.

Легко видеть, что асимптотика функций ур. 33 при t → 0 есть ур. 30. Асимптотические выражения этих функций и функции t (τ) при τ → −∞ есть ^{[примечание 9]}

${\displaystyle a\sim e^{-\Lambda p_{1}\tau },\ b\sim e^{\Lambda (p_{2}+2p_{1})\tau },\ c\sim e^{\Lambda (p_{3}+2p_{1})\tau },\ t\sim e^{\Lambda (1+2p_{1})\tau }.}$

Выражая a , b , c как функции t , имеем

где

Затем

Вышеизложенное показывает, что возмущение действует таким образом, что оно меняет одну моду Каснера на другую моду Каснера, и в этом процессе отрицательная степень t переворачивается с направления l на направление m : если раньше было p _l < 0, то теперь p' _m < 0. Во время этого изменения функция a ( t ) проходит через максимум, а b ( t ) проходит через минимум; b , которая раньше убывала, теперь увеличивается: a из увеличивающейся становится убывающей; а убывающая c ( t ) уменьшается еще больше. Само возмущение (λ ² a ^4α в ур. 29 ), которое раньше увеличивалось, теперь начинает уменьшаться и затухать. Дальнейшая эволюция аналогичным образом вызывает увеличение возмущения от членов с μ ² (вместо λ ² ) в ур. 26 , следующее изменение моды Каснера и так далее.

Правило подстановки мощности ур. 35 удобно записать с помощью параметризационного ур. 5 :

Большая из двух положительных степеней остается положительной.

БКЛ называет этот переворот отрицательной мощности между направлениями эпохой Каснера . Ключом к пониманию характера метрической эволюции при приближении к сингулярности является именно этот процесс чередования эпох Казнера с переворотом мощностей p _l , p _m , p _n по правилу ур. 37 .

Последовательные чередования ур. 37 с переворотом отрицательной степени p ₁ между направлениями l и m (эпохи Каснера) продолжаются путем истощения всей части исходного u до момента, в который u < 1. Значение u < 1 трансформируется в u > 1 согласно ур. 6 ; в этот момент отрицательная степень равна p _l или p _m, в то время как p _n становится меньшим из двух положительных чисел ( p _n = p ₂ ). Следующая серия эпох Каснера затем переворачивает отрицательную степень между направлениями n и l или между n и m . При произвольном ( иррациональном ) начальном значении u этот процесс чередования продолжается неограниченно. ^{[примечание 10]}

При точном решении уравнений Эйнштейна степени p _l , p _m , p _n теряют свой первоначальный точный смысл. Это обстоятельство вносит некоторую «размытость» в определение этих чисел (а вместе с ними и параметра u ), которая, хотя и мала, делает бессмысленным анализ каких-либо определенных (например, рациональных ) значений u . Поэтому конкретный смысл имеют только те законы, которые касаются произвольных иррациональных значений u .

Более крупные периоды, в течение которых масштабы пространственных расстояний по двум осям колеблются, а расстояния по третьей оси монотонно уменьшаются, называются эрами ; объемы уменьшаются по закону, близкому к ~ t . При переходе от одной эры к другой направление, в котором расстояния монотонно уменьшаются , меняется с одной оси на другую. Порядок этих переходов приобретает асимптотический характер случайного процесса . Такой же случайный порядок характерен и для чередования длин последовательных эр (под длиной эры БКЛ понимает число эпох Казнера, содержащихся в эре, а не временной интервал).

Каждой эпохе ( s -й эпохе) соответствует ряд значений параметра u , начиная с наибольшего , и через значения − 1, − 2, ..., доходя до наименьшего, < 1. Тогда ${\displaystyle u_{\max }^{(s)}}$ ${\displaystyle u_{\max }^{(s)}}$ ${\displaystyle u_{\max }^{(s)}}$ ${\displaystyle u_{\min }^{(s)}}$

то есть, k ^{( s )} = [ ], где скобки означают целую часть значения. Число k ^{( s )} — это длина эры, измеряемая числом эпох Каснера, которые содержит эра. Для следующей эры ${\displaystyle u_{\max }^{(s)}}$

В безграничном ряду чисел u , составленном по этим правилам, существуют бесконечно малые (но никогда не равные нулю) значения x ^{( s )} и соответственно бесконечно большие длины k ^{( s )} .

Ряд эр становится более плотным по мере приближения к t = 0. Однако естественной переменной для описания хода этой эволюции является не мировое время t , а его логарифм ln t , с помощью которого весь процесс достижения сингулярности расширяется до −∞.

Согласно ур. 33 , одна из функций a , b , c , которая проходит через максимум при переходе между эпохами Казнера, на пике своего максимума равна

где предполагается, что a _max велико по сравнению с b ₀ и c ₀ ; в ур. 38 u — значение параметра в эпоху Каснера до перехода. Отсюда видно, что пики последовательных максимумов в течение каждой эпохи постепенно понижаются. Действительно, в следующую эпоху Каснера этот параметр имеет значение u' = u − 1, а Λ заменяется согласно ур. 36 на Λ' = Λ(1 − 2| p ₁ ( u )|). Следовательно, отношение 2 последовательных максимумов равно

${\displaystyle {\frac {a'_{\max }}{a_{\max }}}=\left[{\frac {p_{1}(u-1)}{p_{1}(u)}}\left(1-2|p_{1}(u)|\right)\right]^{\frac {1}{2}};}$

и наконец

Вышеизложенное является решениями уравнений Эйнштейна в вакууме. Что касается чистой моды Каснера, материя не меняет качественных свойств этого решения и может быть записана в него без учета ее реакции на поле. Однако, если сделать это для обсуждаемой модели, понимаемой как точное решение уравнений Эйнштейна, то полученная картина эволюции материи не будет иметь общего характера и будет специфична для высокой симметрии, присущей настоящей модели. Математически эта специфика связана с тем, что для однородной геометрии пространства, обсуждаемой здесь, компоненты тензора Риччи тождественно равны нулю, и, следовательно, уравнения Эйнштейна не допускают движения материи (что дает ненулевые компоненты тензора энергии-импульса напряжения ). Другими словами, синхронная система отсчета также должна быть сопутствующей по отношению к материи. Если подставить в уравнение 19 u _α = 0, u ⁰ = 1, то становится ε ~ ( abc ) ^−4/3 ~ t ^−4/3 . ${\displaystyle R_{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle T_{\alpha }^{0}}$

Эта трудность избегается, если включить в модель только главные члены предельной (при t → 0) метрики и записать в нее материю с произвольным начальным распределением плотностей и скоростей. Тогда ход эволюции материи определяется ее общими законами движения ур. 17 и ур. 18 , которые приводят к ур. 21. В течение каждой эпохи Казнера плотность увеличивается по закону

где p ₃ , как и выше, наибольшее из чисел p ₁ , p ₂ , p ₃ . Плотность материи монотонно увеличивается в течение всей эволюции к сингулярности.

Эволюция метрики

Очень большие значения u соответствуют степеням Каснера

которые близки к значениям (0, 0, 1). Два значения, близкие к нулю, также близки друг к другу, и поэтому изменения двух из трех типов «возмущений» (члены с λ, μ и ν в правых частях ур. 26 ) также очень похожи. Если в начале такой большой эры эти члены очень близки по абсолютным значениям в момент перехода между двумя эпохами Казнера (или сделаны таковыми искусственно, задавая начальные условия), то они останутся близкими в течение большей части длины всей эры. В этом случае (БКЛ называют это случаем малых колебаний ) анализ, основанный на действии одного типа возмущений, становится некорректным; необходимо учитывать одновременное воздействие двух типов возмущений.

Два возмущения

Рассмотрим длинную эпоху, в течение которой две из функций a , b , c (пусть это будут a и b ) претерпевают небольшие колебания, в то время как третья функция ( c ) монотонно уменьшается. Последняя функция быстро становится малой; рассмотрим решение как раз в области, где можно игнорировать c по сравнению с a и b . Сначала вычисления проводятся для модели пространства типа IX путем подстановки соответственно λ = μ = ν = 1. ^[43]

После игнорирования функции c первые 2 уравнения ур. 26 дают

и ур. 28 можно использовать как третье уравнение, которое принимает вид

Решение ур. 44 записывается в виде

${\displaystyle \alpha +\beta ={\frac {2a_{0}^{2}}{\xi _{0}}}\left(\tau -\tau _{0}\right)+2\ln a_{0},}$

где α ₀ , ξ ₀ — положительные константы, а τ ₀ — верхняя граница эры для переменной τ. Удобно ввести далее новую переменную (вместо τ)

Затем

Уравнения ур. 45 и ур. 46 преобразуются путем введения переменной χ = α − β:

Уменьшение τ от τ ₀ до −∞ соответствует уменьшению ξ от ξ ₀ до 0. Длинная эра с близкими a и b (то есть с малым χ), рассматриваемая здесь, получается, если ξ ₀ — очень большая величина. Действительно, при больших ξ решение ур. 49 в первом приближении по 1/ξ равно

где A — константа; множитель делает χ малой величиной, поэтому ее можно заменить в уравнении 49 на sh 2χ ≈ 2χ. ^{[примечание 11]} ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {\xi }}}}$

Из ур. 50 получаем

${\displaystyle \gamma _{\xi }={\frac {1}{4}}\xi \left(2\chi _{\xi }^{2}+\chi ^{2}\right)=A^{2},\ \gamma =A^{2}\left(\xi -\xi _{0}\right)+\mathrm {const} .}$

После определения α и β из ур. 48 и ур. 51 и разложения e ^α и e ^β в ряд в соответствии с приведенным выше приближением, окончательно получаем: ^{[примечание 12]}

Связь между переменной ξ и временем t получается путем интегрирования определения dt = abc d τ, что дает

Константа c ₀ (значение с при ξ = ξ ₀ ) теперь должна быть c ₀ α ₀ · ${\displaystyle \ll }$

Пространство типа Bianchi VIII (открытое), подвергающееся хаотической динамике BKL (Mixmaster), близкой к сингулярности, согласно правилам ур. 35 с начальным . Сингулярность находится в центральном выступе поверхности гиперболоида. ${\displaystyle u={\sqrt {13}}}$

Рассмотрим теперь область ξ 1. Здесь основными членами решения уравнения 49 являются: ${\displaystyle \ll }$

${\displaystyle \chi =\alpha -\beta =k\ln \xi +\mathrm {const} ,\,}$

где k — константа в диапазоне − 1 < k < 1; это условие гарантирует, что последний член в уравнении 49 мал (sh 2χ содержит ξ ^{2 k} и ξ ^{−2 k} ). Затем, после определения α, β и t , получаем

Это снова мода Каснера с отрицательной степенью t, присутствующей в функции c ( t ). ^{[примечание 13]}

Эти результаты рисуют картину эволюции, качественно схожую с описанной выше. В течение длительного периода времени, соответствующего большому убыванию значения ξ, две функции a и b колеблются, оставаясь близкими по величине ; в то же время обе функции a и b медленно ( ) убывают. Период колебаний постоянен по переменной ξ : Δξ = 2π (или, что то же самое, с постоянным периодом по логарифмическому времени: Δ ln t = 2π Α ² ). Третья функция, c , монотонно убывает по закону, близкому к c = c ₀ t / t ₀ . ${\displaystyle {\tfrac {a-b}{a}}\sim {\tfrac {1}{\sqrt {\xi }}}}$ ${\displaystyle \sim {\sqrt {\xi }}}$

Эта эволюция продолжается до тех пор, пока ξ ≈1 и формулы ур. 52 и ур. 53 больше не применимы. Ее продолжительность соответствует изменению t от t ₀ до значения t ₁ , связанного с ξ ₀ согласно

Связь между ξ и t за это время можно представить в виде

После этого, как видно из ур. 55 , убывающая функция c начинает возрастать, а функции a и b начинают убывать. Эта эпоха Казнера продолжается до тех пор, пока члены c ² / a ² b ² в ур. 22 не станут ~ t ² и не начнется следующая серия колебаний.

Закон изменения плотности в течение обсуждаемой длительной эпохи получается путем подстановки ур. 52 в ур. 20 :

При изменении ξ от ξ ₀ до ξ ≈1 плотность увеличивается в раз. ${\displaystyle \xi _{0}^{2}}$

Следует подчеркнуть, что хотя функция c ( t ) изменяется по закону, близкому к c ~ t , метрическое уравнение 52 не соответствует метрике Каснера со степенями (0, 0, 1). Последнее соответствует точному решению, найденному Таубом [ ^47] , которое допускается уравнениями 26–27 и в котором

где p , δ ₁ , δ ₂ — константы. В асимптотической области τ → −∞ отсюда можно получить a = b = const, c = const. t после подстановки е ^рτ = t . В этой метрике особенность при t = 0 нефизична.

Опишем теперь аналогичное исследование модели типа VIII, подставив в уравнения 26' –' 28 λ = −1, μ = ν = 1. ^[44]

Если в течение долгой эпохи монотонно убывающая функция есть a , то в предыдущем анализе ничего не меняется: игнорируя a ² в правой части уравнений 26 и 28 , возвращаемся к тем же уравнениям 49 и 50 (с измененной записью). Однако некоторые изменения происходят, если монотонно убывающая функция есть b или c ; пусть это будет c .

Как и прежде, имеем уравнение 49 с теми же символами, и, следовательно, прежние выражения ур. 52 для функций a (ξ) и b (ξ), но уравнение 50 заменяется на

Главный член при больших ξ теперь становится

${\displaystyle \gamma _{\xi }\approx {\frac {1}{8}}\xi \cdot 2,\quad \gamma \approx {\frac {1}{8}}\left(\xi ^{2}-\xi _{0}^{2}\right),}$

так что

Значение c как функции времени t снова c = c ₀ t / t _{0 ,} но зависимость ξ от времени меняется. Длина долгой эры зависит от ξ ₀ согласно

С другой стороны, величина ξ ₀ определяет число колебаний функций a и b в течение эры (равное ξ ₀ /2π). При заданной длине эры в логарифмическом времени (т.е. при заданном отношении t ₀ / t ₁ ) число колебаний для типа VIII будет, вообще говоря, меньше, чем для типа IX. Для периода колебаний теперь получается Δ ln t = πξ/2; в отличие от типа IX, период не постоянен в течение долгой эры, а медленно уменьшается вместе с ξ.

Малый домен времени

Длительные эры нарушают «регулярный» ход эволюции, что затрудняет изучение эволюции временных интервалов, охватывающих несколько эр. Однако можно показать, что такие «ненормальные» случаи возникают при спонтанной эволюции модели к особой точке за асимптотически малые времена t на достаточно больших расстояниях от начальной точки с произвольными начальными условиями. Даже в длительных эрах обе колебательные функции при переходах между эпохами Казнера остаются настолько различными, что переход происходит под влиянием всего лишь одного возмущения. Все результаты в этом разделе в равной степени относятся к моделям типов VIII и IX. ^[48]

В течение каждой эпохи Казнера abc = Λ t , т.е. α + β + γ = ln Λ + ln t . При переходе от одной эпохи (с заданным значением параметра u ) к следующей эпохе константа Λ умножается на 1 + 2 p ₁ = (1 – u + u ² )/(1 + u + u ² ) < 1. Таким образом, происходит систематическое уменьшение Λ. Но существенно, что среднее (по отношению к длинам k эпох) значение всей вариации ln Λ в течение эпохи конечно. На самом деле расхождение среднего значения могло быть вызвано только слишком быстрым ростом этой вариации с ростом k . При большом значении параметра u , ln(1 + 2 p ₁ ) ≈ −2/ u . Для большого k максимальное значение u ^(max) = k + x ≈ k. Следовательно, все изменение ln Λ в течение эпохи дается суммой вида

${\displaystyle \sum \ln \left(1+2p_{1}\right)=\dots +{\frac {1}{k-2}}+{\frac {1}{k-1}}+{\frac {1}{k}}}$

с записанными только членами, которые соответствуют большим значениям u . Когда k увеличивается, эта сумма увеличивается как ln k . Но вероятность появления эры большой длины k уменьшается как 1/ k ₂ согласно ур. 76 ; следовательно, среднее значение суммы выше конечно. Следовательно, систематическое изменение величины ln Λ за большое число эр будет пропорционально этому числу. Но из ур. 85 видно , что при t → 0 число s увеличивается просто как ln |ln t |. Таким образом, в асимптотическом пределе произвольно малого t членом ln Λ действительно можно пренебречь по сравнению с ln t . В этом приближении ^{[примечание 14]}

где Ω обозначает «логарифмическое время»

и процесс перехода эпох можно рассматривать как серию кратких временных вспышек. Величины максимумов осциллирующих масштабных функций также подвержены систематическому изменению. Из ур. 39 при u ≫ 1 следует, что . Таким же образом, как это было сделано выше для величины ln Λ, можно отсюда вывести, что среднее уменьшение высоты максимумов в течение эпохи конечно, а общее уменьшение за большое число эпох увеличивается с t → 0 просто как ln Ω. В то же время понижение минимумов, а тем самым и увеличение амплитуды колебаний , происходят ( ур. 77 ) пропорционально Ω. В соответствии с принятым приближением уменьшением максимумов пренебрегают по сравнению с увеличением амплитуд, поэтому α _max = 0, β _max = 0, γ _max = 0 для максимальных значений всех осциллирующих функций, а величины α, β, γ пробегают только отрицательные значения, связанные между собой в каждый момент времени соотношением ур. 63 . ${\displaystyle a_{\max }^{\prime }-a_{\max }\approx -1/2u}$

Изменение α, β и γ как функций логарифмического времени Ω в течение одной эры. Вертикальные пунктирные линии обозначают изменения эпох Каснера, соответствующие линейным участкам кривых. Сверху указаны значения параметра u , определяющие показатели Каснера. Последняя эпоха имеет большую продолжительность, если x мало. В первой эпохе следующей эры γ начинает увеличиваться, а α становится монотонно убывающей функцией.

При такой мгновенной смене эпох переходные периоды игнорируются как малые по сравнению с длиной эпохи; это условие фактически выполняется. ^{[примечание 15]} Замена максимумов α, β и γ нулями требует, чтобы величины ln (| p ₁ |Λ) были малы по сравнению с амплитудами колебаний соответствующих функций. Как упоминалось выше, при переходах между эпохами значения | p ₁ | могут стать очень малыми, а их величина и вероятность появления не будут связаны с амплитудами колебаний в соответствующий момент. Поэтому, в принципе, возможно достичь настолько малых значений | p ₁ |, что указанное выше условие (нулевые максимумы) будет нарушено. Такое резкое падение α _max может привести к различным особым ситуациям, в которых переход между эпохами Каснера по правилу ур. 37 станет некорректным (включая ситуации, описанные выше). Эти «опасные» ситуации могут нарушить законы, используемые для статистического анализа ниже. Однако, как уже упоминалось, вероятность таких отклонений асимптотически стремится к нулю; этот вопрос будет рассмотрен ниже.

Рассмотрим эру, содержащую k эпох Каснера с параметром u, пробегающим значения

и пусть α и β — осциллирующие функции в течение этой эпохи (рис. 4). ^{[примечание 16]}

Начальные моменты эпох Казнера с параметрами u _n равны Ω _n . В каждый начальный момент одно из значений α или β равно нулю, а другое имеет минимум. Значения α или β в последовательных минимумах, то есть в моменты Ω _n равны

(не различая минимумы α и β). Значения δ _n , которые измеряют эти минимумы в соответствующих единицах Ω _{n ,} могут находиться в диапазоне от 0 до 1. Функция γ монотонно убывает в течение этой эпохи; согласно ур. 63 ее значение в момент Ω _n равно

В течение эпохи, начинающейся в момент Ω _n и заканчивающейся в момент Ω _{n +1,} одна из функций α или β возрастает от −δ _n Ω _n до нуля, а другая убывает от 0 до −δ _{n +1} Ω _{n +1} по линейным законам соответственно:

${\displaystyle \mathrm {const} +|p_{1}(u_{n})|\Omega \,}$и ${\displaystyle \mathrm {const} -p_{2}(u_{n})\Omega \,}$

в результате чего получается рекуррентное соотношение

и для логарифмической длины эпохи

где, для краткости, f ( u ) = 1 + u + u ² . Сумма n длин эпох получается по формуле

Из ур. 68 видно , что |α _n+1 | > |α _n |, т. е. амплитуды колебаний функций α и β увеличиваются в течение всей эры, хотя множители δ _n могут быть малы. Если минимум в начале эры глубокий, то последующие минимумы не станут мельче; иными словами, остаток |α — β| в момент перехода между эпохами Казнера остается большим. Это утверждение не зависит от длины эры k , поскольку переходы между эпохами определяются общим правилом ур. 37 также и для длинных эр.

Последняя амплитуда колебаний функций α или β в данной эре связана с амплитудой первого колебания соотношением |α _{k −1} | = |α ₀ | ( k + x ) / (1 + x ). Даже при k , столь малых, как несколько единиц, x можно игнорировать по сравнению с k, так что увеличение амплитуд колебаний α и β становится пропорциональным длине эры. Для функций a = e ^α и b = e ^β это означает, что если амплитуда их колебаний в начале эры была A ₀ , то в конце этой эры амплитуда станет . ${\displaystyle A_{0}^{k/(1+x)}}$

Длина эпох Каснера (в логарифмическом масштабе времени) также увеличивается внутри данной эры; из уравнения 69 легко подсчитать, что Δ _{n +1} > Δ _n . ^{[примечание 17]} Общая длина эры равна

(член с 1/ x возникает из последней, k -й, эпохи, длительность которой велика при малых x ; ср. рис. 2). Момент Ω _n окончания k -й эпохи данной эры является одновременно моментом Ω' ₀ начала следующей эры.

В первую эпоху Казнера новой эры функция γ первой поднимается от минимального значения γ _k = − Ω _k (1 − δ _k ), которого она достигла в предыдущей эре; это значение играет роль стартовой амплитуды δ' ₀ Ω' ₀ для новой серии колебаний. Легко получить, что:

Очевидно, что δ' ₀ Ω' ₀ > δ ₀ Ω ₀ . Даже при не очень больших k увеличение амплитуды весьма существенно: функция c = e ^γ начинает колебаться с амплитуды . Вопрос об упомянутых выше «опасных» случаях резкого понижения верхнего предела колебаний пока оставим в стороне. ${\displaystyle A_{0}'\sim A_{0}^{k^{2}}}$

Согласно ур. 40 увеличение плотности материи в течение первых ( k − 1) эпох определяется формулой

${\displaystyle \ln \left({\frac {\varepsilon _{n+1}}{\varepsilon _{n}}}\right)=2\left[1-p_{3}(u_{n})\right]\Delta _{n+1}.}$

Для последней k-й эпохи данной эры при u = x < 1 наибольшая мощность равна p ₂ ( x ) (не p ₃ ( x ) ). Поэтому для увеличения плотности за всю эру получается

Поэтому даже при не очень больших значениях k , . В течение следующей эры (длиной k ' ) плотность будет увеличиваться быстрее из-за возросшей начальной амплитуды A ₀ ': , и т. д. Эти формулы иллюстрируют резкое увеличение плотности вещества. ${\displaystyle \varepsilon _{0}'/\varepsilon _{0}\sim A_{0}^{2k}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}''/\varepsilon _{0}'\sim A_{0}'^{2k''}\sim A_{0}^{2k^{2}k'}}$

Статистический анализ вблизи сингулярности

Последовательность длин эр k ^{( s )} , измеряемая числом содержащихся в них эпох Казнера, асимптотически приобретает характер случайного процесса. То же самое относится и к последовательности перестановок пар осциллирующих функций при переходе от одной эры к другой (это зависит от того, являются ли числа k ^{( s )} четными или нечетными). Источником этой стохастичности является правило ур. 41 – 42 , согласно которому переход от одной эры к другой определяется бесконечной числовой последовательностью значений u . Это правило гласит, другими словами, что если вся бесконечная последовательность начинается с некоторого начального значения , то длины эр k ⁽⁰⁾ , k ⁽¹⁾ , ..., являются числами в разложении простой цепной дроби ${\displaystyle u_{\max }^{(0)}=k^{(0)}+x^{(0)}}$

Это расширение соответствует преобразованию отображения интервала [0, 1] на себя по формуле Tx = {1/ x }, т. е. x _{s +1} = {1/ x _s }. Это преобразование относится к так называемым расширяющим преобразованиям интервала [0, 1], т. е. преобразованиям x → f ( x ) с | f′ ( x )| > 1. Такие преобразования обладают свойством экспоненциальной неустойчивости: если изначально взять две близкие точки, то их взаимное расстояние при итерациях преобразований экспоненциально увеличивается. Хорошо известно, что экспоненциальная неустойчивость приводит к появлению сильных стохастических свойств.

Можно перейти к вероятностному описанию такой последовательности, рассматривая не определенное начальное значение x ⁽⁰⁾ , а значения x ⁽⁰⁾ = x, распределенные в интервале от 0 до 1 в соответствии с некоторым вероятностным законом распределения w0 ( x ). Тогда значения x ^{(s), заканчивающие каждую эру,} _также будут иметь распределения, подчиняющиеся определенным законам ws ₍ x) . Пусть ws (x)dx — вероятность того, что _s - я эра закончится значением, лежащим в указанном интервале dx . ${\displaystyle u_{\max }^{(s)}=x}$

Значение x ^(s) = x , завершающее s -ю эру, может быть получено из начальных (для этой эры) значений , где k = 1, 2, ...; эти значения соответствуют значениям x ^{( s –1)} = 1/( k + x ) для предыдущей эры. Учитывая это, можно записать следующее рекуррентное соотношение, выражающее распределение вероятностей w _s (x) через распределение w _{s –1} ( x ): ${\displaystyle u_{\max }^{(s)}=x+k}$ ${\displaystyle u_{\max }^{(s)}}$

${\displaystyle w_{s}(x)dx=\sum _{k=1}^{\infty }w_{s-1}\left({\frac {1}{k+x}}\right)\left\vert d{\frac {1}{k+x}}\right\vert }$

или

Если распределение w _s ( x ) стремится с ростом s к стационарному (не зависящему от s ) предельному распределению w ( x ), то последнее должно удовлетворять уравнению, полученному из ур. 73c путем отбрасывания индексов функций w _{s −1} ( x ) и w _s ( x ). Это уравнение имеет решение

(нормализовано до единицы и приведено к первому порядку x ). ^{[примечание 18]}

Для того чтобы s -я эра имела длину k , предыдущая эра должна заканчиваться числом x в интервале между 1/( k + 1) и 1/ k . Поэтому вероятность того, что эра будет иметь длину k, равна (в стационарном пределе)

При больших значениях k

Связывая статистические свойства космологической модели с эргодическими свойствами преобразования x _{s +1} = {1/ x _s }, следует отметить важный момент. В бесконечной последовательности чисел x, построенной в соответствии с этим правилом, будут наблюдаться сколь угодно малые (но никогда не обращающиеся в нуль) значения x , соответствующие сколь угодно большим длинам k. Такие случаи могут (вовсе не обязательно!) порождать некоторые специфические ситуации, когда понятие эр, как последовательностей эпох Казнера, сменяющих друг друга по правилу ур. 37 , теряет смысл (хотя колебательный режим эволюции модели все еще сохраняется). Такая «аномальная» ситуация может проявляться, например, в необходимости сохранения в правой части ур. 26 членов не только с одной из функций a , b , c (скажем, a ⁴ ), как это имеет место при «регулярной» перестановке эпох Казнера, но одновременно с двумя из них (скажем, a ⁴ , b ⁴ , a ² b ² ).

При выходе из «аномальной» серии колебаний восстанавливается последовательность регулярных эр. Статистический анализ поведения модели, которая полностью основана на регулярных итерациях преобразований ур. 42 , подтверждается важной теоремой: вероятность появления аномальных случаев асимптотически стремится к нулю при числе итераций s → ∞ (т. е. времени t → 0), что доказывается в конце этого раздела. Справедливость этого утверждения во многом обусловлена ​​очень быстрой скоростью увеличения амплитуд колебаний в течение каждой эры и особенно при переходе от одной эры к другой.

Однако процесс релаксации космологической модели к «стационарному» статистическому режиму (при t → 0, начиная с заданного «начального момента») менее интересен, чем свойства самого этого режима с учетом конкретных законов изменения физических характеристик модели в последовательные эпохи.

Представление о скорости установления стационарного распределения можно получить из следующего примера. Пусть начальные значения x ⁽⁰⁾ распределены в узком интервале шириной δ x ⁽⁰⁾ около некоторого определенного числа. Из рекуррентного соотношения ур. 73c (или непосредственно из разложения ур. 73a ) легко заключить, что ширины распределений w _s ( x ) (около других определенных чисел) тогда будут равны

(это выражение справедливо лишь до тех пор, пока оно определяет величины δ x ^(s) ≪ 1).

Среднее значение , вычисленное по этому распределению, расходится логарифмически. Для последовательности, обрезанной на очень большом, но все еще конечном числе N , имеем . Полезность среднего в этом случае весьма ограничена из-за его нестабильности: из-за медленного убывания W ( k ) флуктуации k расходятся быстрее, чем его среднее значение. Более адекватной характеристикой этой последовательности является вероятность того, что случайно выбранное из нее число принадлежит эре длины K , где K велико. Эта вероятность равна ln K / ln N . Она мала, если . В этом отношении можно сказать, что случайно выбранное из данной последовательности число принадлежит длинной эре с высокой вероятностью. ${\displaystyle {\bar {k}}}$ ${\displaystyle {\bar {k}}\sim \ln N}$ ${\displaystyle 1\ll K\ll N}$

Удобно усреднять выражения, зависящие одновременно от k ^{( s )} и x ^{( s )} . Поскольку обе эти величины выводятся из одной и той же величины x ^{( s –1)} (которая завершает предыдущую эру), то в соответствии с формулой _k ( ^{s ) +} x ( ^{s ) =} 1/ x ^{( s –1)} их статистические распределения нельзя считать независимыми. Совместное распределение Ws ( k , x ) dx обеих величин можно получить из распределения ws _{– 1} ( x ) dx , сделав в последнем замену x → 1/( x + k ). Другими словами, функция Ws ( _k , x ) задается тем самым выражением под знаком суммы в правой части ур . 73c . ​​В стационарном пределе, взяв w из ур. 74 , получаем

Суммирование этого распределения по k возвращает нас к ур. 74 , а интегрирование по dx — к ур. 75 .

Рекуррентные формулы, определяющие переходы между эрами, переписываются с индексом s, нумерующим последовательные эры (не эпохи Казнера в данной эре!), начиная с некоторой эры ( s = 0), определяемой как начальная. Ω ^{( s )} и ε ^{( s )} — соответственно начальный момент и начальная плотность материи в s -й эре; δ ^{( s )} Ω ^{( s )} — начальная амплитуда колебаний той пары функций α, β, γ, которая колеблется в данной эре: k ^{( s )} — длина s -й эры, а x ^{( s )} определяет длину (количество эпох Казнера) следующей эры согласно k ^{( s +1)} = [1/ x ^{( s )} ] . Согласно уравнениям 71–73

(ξ ^{( s )} введено в уравнение 77 для дальнейшего использования).

Величины δ ^{( s )} имеют устойчивое стационарное статистическое распределение P (δ) и устойчивое (малые относительные колебания) среднее значение. Для их определения К. Л. ^[48] в соавторстве с Ильей Лифшицем , братом Евгения Лифшица, использовали (с оговорками) приближенный метод, основанный на предположении о статистической независимости случайной величины δ ^{( s )} и случайных величин k ^{( s )} , x ^{( s )} . Для функции P (δ) было составлено интегральное уравнение, выражающее тот факт, что величины δ ^{( s +1)} и δ ^{( s ),} связанные между собой соотношением ур. 78, имеют одинаковое распределение; это уравнение было решено численно. В более поздней работе Халатников и др. ^[49] показали, что распределение P (δ) действительно можно найти точно аналитическим методом (см. рис. 5 ).

Для статистических свойств в стационарном пределе разумно ввести так называемое естественное расширение преобразования Tx = {1/ x }, продолжив его без ограничения на отрицательные индексы. Иначе говоря, это переход от односторонней бесконечной последовательности чисел ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , ...), связанных равенствами Tx = {1/ x }, к «дважды бесконечной» последовательности X = (..., x ₋₁ , x ₀ , x ₁ , x ₂ , ...) чисел, связанных теми же равенствами при всех –∞ < s < ∞. Конечно, такое расширение не является единственным в буквальном смысле слова (так как x _{s –1} не определяется однозначно по x _s ), но все статистические свойства расширенной последовательности равномерны по всей ее длине, т. е. инвариантны относительно произвольного сдвига (и x ₀ теряет смысл «начального» условия). Последовательность X эквивалентна последовательности целых чисел K = (..., k ₋₁ , k ₀ , k ₁ , k ₂ , ...), построенной по правилу k _s = [1/ x _{s –1} ]. Обратно, каждое число X определяется целыми числами K как бесконечная цепная дробь

(удобство введения обозначения со смещенным на 1 индексом станет ясным из дальнейшего). Для краткости записи непрерывная дробь обозначается просто перечислением (в квадратных скобках) ее знаменателей; тогда определение можно записать как ${\displaystyle x_{s+1}^{+}}$ ${\displaystyle x_{s}^{+}}$

Обратные величины определяются цепной дробью с ретроградной (в сторону убывания индексов) последовательностью знаменателей

Рекуррентное соотношение ур. 78 преобразуется путем временного введения обозначения η _s = (1 − δ _s )/δ _s . Тогда ур. 78 можно переписать как

${\displaystyle \eta _{s+1}={\frac {1}{\eta _{s}x_{s-1}+k_{s}}}}$

Путем итерации получается бесконечная непрерывная дробь

${\displaystyle \eta _{s+1}x_{s}=\left[k_{s},k_{s-1},\dots \right]=x_{s+1}^{-}}$

Следовательно , и в конце концов ${\displaystyle \eta _{s}=x_{s}^{-}/x_{s}^{+}}$

Это выражение для δ _s содержит только две (вместо трех в ^[48] ) случайные величины и , каждая из которых принимает значения в интервале [0, 1]. ${\displaystyle x_{s}^{+}}$ ${\displaystyle x_{s}^{-}}$

Из определения ур. 79c следует, что . Следовательно, сдвиг всей последовательности X на один шаг вправо означает совместное преобразование величин и согласно ${\displaystyle 1/x_{s}^{-}=x_{s}^{-}+k_{s}=x_{s}^{-}+\left[1/x_{s}^{+}\right]}$ ${\displaystyle x_{s}^{+}}$ ${\displaystyle x_{s}^{-}}$

Это взаимно-однозначное отображение в единичном квадрате . Таким образом, теперь мы имеем взаимно-однозначное преобразование двух величин вместо невзаимно-однозначного преобразования Tx = {1/ x } одной величины.

Величины и имеют совместное стационарное распределение P ( x ⁺ , x ⁻ ). Поскольку ур. 79e является однозначным преобразованием, условие стационарности распределения выражается просто уравнением функции ${\displaystyle x_{s}^{+}}$ ${\displaystyle x_{s}^{-}}$

где J — якобиан преобразования.

Сдвиг последовательности X на один шаг приводит к следующему преобразованию T единичного квадрата:

${\displaystyle x^{\prime }={\frac {1}{x}},\quad y^{\prime }={\frac {1}{{\frac {1}{x}}+y}}}$

(с , , ср. ур. 79e ). Плотность P ( x , y ) определяет инвариантную меру для этого преобразования. Естественно предположить, что P ( x , y ) является симметричной функцией x и y . Это означает, что мера инвариантна относительно преобразования S ( x , y ) = ( y , x ) и, следовательно, относительно произведения ST с ST ( x , y ) = ( x″ , y″ ) и ${\displaystyle x\equiv x_{0}^{+}}$ ${\displaystyle y\equiv x_{0}^{-}}$

${\displaystyle x''={\frac {1}{{\frac {1}{x}}+y}},\quad y''={\frac {1}{x}}}$

Очевидно, ST имеет первый интеграл H = 1/ x + y . На прямой H = const ≡ c преобразование имеет вид

${\displaystyle {\frac {1}{x''}}=\left[{\frac {1}{x}}\right]+y=\left[{\frac {1}{x}}\right]+c-{\frac {1}{x}}=c-\left\{{\frac {1}{x}}\right\}}$

Следовательно, инвариантная плотность меры ST должна иметь вид

${\displaystyle f(c)\ dc\ d{\frac {1}{x}}=f\left({\frac {1}{x}}+y\right){\frac {1}{x^{2}}}dx\ dy}$

Учитывая симметрию P ( x , y ) = P ( y , x ), это становится f ( c ) = c ⁻² и, следовательно (после нормализации)

(ее интегрирование по x ⁺ или x ^– дает функцию w ( x ) ур. 74 ). Редукция преобразования к взаимно однозначному отображению использовалась уже Черноффом и Барроу ^[50] , и они получили формулу вида ур . 79g, но для других переменных; их статья не содержит приложений к проблемам, которые рассматриваются в Халатникове и др. ^[49]

Правильность ур. 79g можно проверить также прямым вычислением; якобиан преобразования ур. 79e равен

${\displaystyle J={\frac {\partial \left(x_{s+1}^{+},x_{s+1}^{-}\right)}{\partial \left(x_{s}^{+},x_{s}^{-}\right)}}={\frac {\partial x_{s+1}^{+}}{\partial x_{s}^{+}}}{\frac {\partial x_{s+1}^{-}}{\partial x_{s}^{-}}}=\left({\frac {x_{s+1}^{+}}{x_{s}^{+}}}\right)^{2}}$

(при его расчете следует учитывать, что ). ${\displaystyle \left[1/x_{s}^{+}\right]+\left\{1/x_{s}^{+}\right\}=1/x_{s}^{+}}$

Функция распределения вероятностей P (δ). Красная линия: точное уравнение функции 79h . Синяя линия: приближенное решение интегрального уравнения в ^[48] . Обе кривые кажутся поразительно похожими, а средние значения обоих распределений составляют 0,50. ^{[примечание 19]}

Поскольку по ур. 79d δ _s выражается через случайные величины x ⁺ и x ⁻ , знание их совместного распределения позволяет вычислить статистическое распределение P (δ) путем интегрирования P ( x ⁺ , x ⁻ ) по одной из переменных при постоянном значении δ. В силу симметрии функции ур. 79g относительно переменных x ⁺ и x ⁻ , P (δ) = P (1 − δ), т. е. функция P (δ) симметрична относительно точки δ = 1/2. Тогда

${\displaystyle P(\delta )\ d\delta =d\delta \int _{0}^{1}P\left(x^{+},{\frac {x^{+}\delta }{1-\delta }}\right)\left({\frac {\partial x^{-}}{\partial \delta }}\right)_{x^{+}}dx^{+}}$

Оценив этот интеграл (для 0 ≤ δ ≤ 1/2 и затем воспользовавшись вышеупомянутой симметрией), наконец,

Среднее значение = 1/2 уже вследствие симметрии функции P (δ). Таким образом, среднее значение начальной (в каждой эпохе) амплитуды колебаний функций α, β, γ увеличивается как Ω/2. ${\displaystyle {\bar {\delta }}}$

Статистическая связь между большими временными интервалами Ω и числом эр s , содержащихся в них, находится путем повторного применения уравнения 77 :

Однако прямое усреднение этого уравнения не имеет смысла: из-за медленного убывания функции W ( k ) ур. 76 средние значения величины exp ξ ^{( s )} неустойчивы в указанном выше смысле – флуктуации растут даже быстрее, чем само среднее значение с ростом области усреднения. Эта неустойчивость устраняется взятием логарифма: «дважды логарифмический» временной интервал

выражается суммой величин ξ ^{( p ),} которые имеют устойчивое статистическое распределение. Среднее значение τ равно . Для расчета обратите внимание, что ур. 77 можно переписать как ${\displaystyle {\bar {\tau }}=s{\bar {\xi }}}$ ${\displaystyle {\bar {\xi }}}$

Для стационарного распределения , а в силу симметрии функции P (δ) также . Следовательно ${\displaystyle {\overline {\ln x_{s}}}={\overline {\ln x_{s-1}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\ln \delta _{s}}}={\overline {\ln \left(\delta _{s+1}\right)}}}$

${\displaystyle {\bar {\xi }}=-2{\overline {\ln x}}=-2\int _{0}^{1}w(x)\ln x\ dx={\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}=2.37}$

( w ( x ) из ур. 74 ). Таким образом

который определяет средний дважды логарифмический интервал времени, содержащий s последовательных эпох.

При больших s число членов в сумме ур. 81 велико и согласно общим теоремам эргодической теории значения τ _s распределены по закону Гаусса с плотностью ${\displaystyle {\overline {\tau _{s}}}}$

Расчет дисперсии D _τ более сложен, поскольку необходимы не только знания и , но и корреляции . Расчет можно упростить, переставив члены в сумме ур. 81 . Используя ур. 81а, сумму можно переписать как ${\displaystyle {\bar {\xi }}}$ ${\displaystyle {\overline {\xi ^{2}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\xi _{p}\xi _{p\prime }}}}$

${\displaystyle \sum _{p=1}^{s}\xi _{p}=\ln \prod _{p=1}^{s}{\frac {\delta _{p}}{\left(1-\delta _{p+1}\right)x_{p}x_{p-1}}}=\ln \prod _{p=1}^{s}{\frac {\delta _{p}}{\left(1-\delta _{p}\right)x_{p-1}^{2}}}+\ln {\frac {x_{0}}{x_{s}}}+\ln {\frac {1-\delta _{1}}{1-\delta _{s+1}}}}$

Последние два члена не увеличиваются с ростом s ; эти члены можно опустить, поскольку доминируют предельные законы для больших s . Тогда

( учитывается выражение ур. 79d для δ _{p ). С той же точностью (т.е. до членов, не возрастающих с} s ) справедливо равенство

действительно. Действительно, в силу ур. 79e

${\displaystyle x_{p+1}^{+}+{\frac {1}{x_{p+1}^{-}}}={\frac {1}{x_{p}^{+}}}+x_{p}^{-}}$

и, следовательно,

${\displaystyle \ln \left(1+x_{p+1}^{+}x_{p+1}^{-}\right)-\ln x_{p+1}^{-}=\ln \left(1+x_{p}^{+}x_{p}^{-}\right)-\ln x_{p}^{+}}$

Суммируя это тождество по p , получаем ур. 82c . Наконец, снова с той же точностью меняем x _p под знаком суммы и, таким образом, представляем τ _s как ${\displaystyle x_{p}^{+}}$

Дисперсия этой суммы в пределе больших s равна

При этом учитывается, что в силу статистической однородности последовательности X корреляции зависят только от разностей | p − p ′|. Среднее значение ; средний квадрат ${\displaystyle {\overline {\eta _{p}\eta _{p\prime }}}}$ ${\displaystyle {\bar {\eta }}={\bar {\xi }}}$

${\displaystyle {\overline {\eta ^{2}}}=4\int _{0}^{1}w(x)\ln ^{2}x\ dx={\frac {6\xi (3)}{\ln 2}}=10.40}$

Принимая во внимание также значения корреляций при p = 1, 2, 3 (рассчитанные численно) , получаем окончательный результат D _{τ s} = (3,5 ± 0,1) s . ${\displaystyle {\overline {\eta _{0}\eta _{p}}}}$

При увеличении s относительная флуктуация стремится к нулю как s ^−1/2 . Другими словами, статистическое соотношение ур. 82 становится почти достоверным при больших s . Это позволяет инвертировать соотношение, т. е. представить его в виде зависимости среднего числа эпох s _τ , сменяющихся друг друга в заданном интервале τ двойного логарифмического времени: ${\displaystyle D_{{\tau }_{s}}/{\overline {\tau _{s}}}}$

Статистическое распределение точных значений s _τ вокруг его среднего значения также является гауссовым с дисперсией

${\displaystyle D_{s_{\tau }}=3.5{\frac {{\overline {s_{\tau }}}^{3}}{\tau ^{2}}}=0.26\tau }$

Соответствующее статистическое распределение задается тем же гауссовым распределением, в котором случайная величина теперь равна s _τ при заданном τ:

С этой точки зрения источником статистического поведения является произвольность в выборе начальной точки интервала τ, наложенного на бесконечную последовательность сменяющих друг друга эпох.

Относительно плотности вещества ур. 79 можно переписать с учетом ур. 80 в виде

${\displaystyle \ln \ln {\frac {\varepsilon ^{(s+1)}}{\varepsilon ^{(s)}}}=\eta _{s}+\sum _{p=0}^{s-1}\xi _{p},\quad \eta _{s}=\ln \left[2\delta ^{(s)}\left(k^{(s)}+x^{(s)}-1\right)\Omega ^{(0)}\right]}$

и затем, для полного изменения энергии в течение s эпох,

Член с суммой по p дает основной вклад в это выражение, поскольку содержит показатель степени с большой степенью. Оставляя только этот член и усредняя ур. 87 , получаем в его правой части выражение , совпадающее с ур. 82 ; все остальные члены в сумме (также члены с η _s в своих степенях) приводят лишь к поправкам относительного порядка 1/ s . Поэтому ${\displaystyle s{\bar {\xi }}}$

В силу почти определенного характера связи между τ _s и s уравнение 88 можно записать как

${\displaystyle {\overline {\ln \ln \left(\varepsilon _{\tau }/\varepsilon ^{(0)}\right)}}=\tau \quad {\text{or}}\quad {\overline {\ln \ln \left(\varepsilon ^{(s)}/\varepsilon ^{(0)}\right)}}=2.1s,}$

который определяет значение двойного логарифма прироста плотности, усредненного по заданным двойным логарифмическим интервалам времени τ или по заданному числу эпох s .

Эти устойчивые статистические соотношения существуют именно для дважды логарифмических временных интервалов и для увеличения плотности. Для других характеристик, например, ln (ε ^{( s )} /ε ⁽⁰⁾ ) или Ω ^(s) / Ω ⁽⁰⁾ = exp τ _s относительная флуктуация увеличивается экспоненциально с увеличением диапазона усреднения, тем самым аннулируя термин среднее значение устойчивого значения.

Происхождение статистической зависимости ур. 88 можно проследить уже из начального закона, управляющего изменением плотности в течение отдельных эпох Каснера. Согласно ур. 21 , в течение всей эволюции мы имеем

${\displaystyle \ln \ln \varepsilon (t)={\text{const}}+\ln \Omega +\ln 2(1-p_{3}(t)),}$

причем 1 − p ₃ ( t ) изменяется от эпохи к эпохе, проходя через значения в интервале от 0 до 1. Член ln Ω = ln ln (1/ t ) монотонно возрастает; с другой стороны, член ln2(1 − p ₃ ) может принимать большие значения (сравнимые с ln Ω) только при появлении значений p _{3 ,} очень близких к единице (т.е. очень малых | p ₁ |). Это как раз те «опасные» случаи, которые нарушают регулярный ход эволюции, выраженный рекуррентными соотношениями ур. 77 – ур. 79 .

Остается показать, что в асимптотическом предельном режиме такие случаи фактически не возникают. Спонтанная эволюция модели начинается в определенный момент времени, в который произвольным образом задаются определенные начальные условия. Соответственно, под «асимптотическим» понимается режим, достаточно удаленный от выбранного начального момента времени.

Опасными являются случаи, когда в конце эпохи появляются чрезмерно малые значения параметра u = x (а значит, и | p ₁ | ≈ x ). Критерием отбора таких случаев является неравенство

где | α ^{( s )} | — начальная глубина минимумов функций, колеблющихся в эпоху s (было бы правильнее выбрать конечную амплитуду, но это только усилило бы критерий отбора).

Значение x ⁽⁰⁾ в первой эпохе определяется начальными условиями. Опасными являются значения в интервале δ x ⁽⁰⁾ ~ exp( − |α ⁽⁰⁾ | ), а также в интервалах, которые могут привести к опасным случаям в следующих эпохах. Для того чтобы x ^{( s )} попало в опасный интервал δ x ^{( s )} ~ exp( − | α ^{( s )} | ), начальное значение x ⁽⁰⁾ должно лежать в интервале шириной δ x ⁽⁰⁾ ~ δ x ^{( s )} / k ^{(1)^2} ... k ^{( s )^2} . ^[51] Поэтому из единичного интервала всех возможных значений x ⁽⁰⁾ опасные случаи будут появляться в частях λ этого интервала:

(внутренняя сумма берется по всем значениям k ⁽¹⁾ , k ⁽²⁾ , ... , k ^{( s )} от 1 до ∞). Легко показать, что эта эра сходится к значению λ 1 , порядок величины которого определяется первым членом в уравнении 90 . Это можно показать с помощью сильного мажорирования эры, для которого подставляются | α ^{( s )} | = (s + 1) | α ⁽⁰⁾ |, независимо от длин эр k ⁽¹⁾ , k ⁽²⁾ , ... (На самом деле | α ^{( s )} | растут гораздо быстрее; даже в самом неблагоприятном случае k ⁽¹⁾ = k ⁽²⁾ = ... = 1 значения | α ^{( s )} | увеличиваются как q ^s | α ⁽⁰⁾ | при q > 1.) Заметив, что ${\displaystyle \ll }$

${\displaystyle \sum _{k}{\frac {1}{k^{(1)^{2}}k^{(2)^{2}}\dots k^{(s)^{2}}}}=\left(\pi ^{2}/6\right)^{s}}$

один получает

${\displaystyle \lambda =\exp \left(\left|-\alpha ^{(0)}\right|\right)\sum _{s=0}^{\infty }\left[\left(\pi ^{2}/6\right)\exp \left(\left|-\alpha ^{(0)}\right|\right)\right]^{s}\approx \exp \left(\left|-\alpha ^{(0)}\right|\right).}$

Если начальное значение x ⁽⁰⁾ лежит вне опасной области λ, то опасных случаев не будет. Если же оно лежит внутри этой области, то опасные случаи возникают, но по их завершении модель возобновляет «регулярную» эволюцию с новым начальным значением, которое лишь изредка (с вероятностью λ) может попасть в опасный интервал. Повторные опасные случаи возникают с вероятностями λ ² , λ ³ , ... , асимптотически сходящимися к нулю.

Общее решение с малыми колебаниями

В указанных моделях эволюция метрики вблизи сингулярности изучается на примере метрик однородного пространства. Из характеристики этой эволюции ясно, что аналитическое построение общего решения для сингулярности такого типа следует проводить отдельно для каждой из основных компонент эволюции: для эпох Казнера, для процесса переходов между эпохами, вызванных «возмущениями», для длительных эпох с двумя одновременно действующими возмущениями. В эпоху Казнера (т.е. при малых возмущениях) метрика задается уравнением ( 7) без условия λ = 0.

BKL далее разработал модель, независимую от распределения материи (однородную или неоднородную) для длительной эпохи с малыми колебаниями. Зависимость этого решения от времени оказывается очень похожей на зависимость в частном случае однородных моделей; последняя может быть получена из модели, не зависящей от распределения, путем специального выбора произвольных функций, содержащихся в ней. ^[52]

Однако удобно построить общее решение в системе координат, несколько отличной от синхронной системы отсчета: g _0α = 0, как в синхронной системе отсчета, но вместо g ₀₀ = 1 теперь g ₀₀ = − g ₃₃ . Определяя снова метрический тензор пространства γ _αβ = − g _αβ, имеем, следовательно,

Специальная пространственная координата записывается как x ³ = z , а временная координата записывается как x ⁰ = ξ (как отличное от собственного времени t ); будет показано, что ξ соответствует той же переменной, которая определена в однородных моделях. Дифференцирование по ξ и z обозначается, соответственно, точкой и штрихом. Латинские индексы a , b , c принимают значения 1, 2, соответствующие пространственным координатам x ¹ , x ^{2 ,} которые также будут записаны как x , y . Следовательно, метрика равна

Требуемое решение должно удовлетворять неравенствам

(эти условия указывают, что одна из функций a ² , b ² , c ² мала по сравнению с двумя другими, что также имело место в случае однородных моделей).

Неравенство ур. 94 означает, что компоненты γ _{a 3} малы в том смысле, что при любом соотношении сдвигов dx ^a и dz члены с произведениями dx ^a dz могут быть опущены в квадрате элемента пространственной длины dl ² . Поэтому первым приближением к решению является метрическое ур. 92 с γ _{a 3} = 0: ^{[примечание 20]}

Легко убедиться, вычислив компоненты тензора Риччи , , , с помощью метрического уравнения 95 и условия 93, что все члены, содержащие производные по координатам x ^{a ,} малы по сравнению с членами с производными по ξ и z (их отношение ~ γ ₃₃ / γ _ab ). Другими словами, для получения уравнений основного приближения следует в уравнении 95 дифференцировать γ ₃₃ и γ _ab так, как если бы они не зависели от x ^a . Обозначив ${\displaystyle R_{0}^{0}}$ ${\displaystyle R_{3}^{0}}$ ${\displaystyle R_{3}^{3}}$ ${\displaystyle R_{a}^{b}}$

получаются следующие уравнения: ^{[примечание 21]}

Подъем и опускание индекса здесь осуществляется с помощью γ _ab . Величины и λ являются сокращениями и посредством которых ${\displaystyle \varkappa }$ ${\displaystyle \varkappa _{a}^{a}}$ ${\displaystyle \lambda _{a}^{a}}$

Что касается компонент тензора Риччи , , то по этому расчету они тождественно равны нулю. В следующем приближении (т.е. с учетом малых γ _{a 3} и производных по x , y ) они определяют величины γ _{a 3} по уже известным γ ₃₃ и γ _ab . ${\displaystyle R_{a}^{0}}$ ${\displaystyle R_{a}^{3}}$

Сокращение ур. 97 дает , и, следовательно, ${\displaystyle G^{\prime \prime }+{\ddot {G}}=0}$

Different cases are possible depending on the G variable. In the above case g⁰⁰ = γ³³ ${\displaystyle \gg }$ γ^ab and ${\displaystyle N\approx g^{00}\left({\dot {G}}\right)^{2}-\gamma ^{33}\left(G^{\prime }\right)^{2}=4\gamma ^{33}{\dot {f}}_{1}{\dot {f}}_{2}}$. The case N > 0 (quantity N is time-like) leads to time singularities of interest. Substituting in eq. 101 f₁ = 1/2 (ξ + z) sin y, f₂ = 1/2 (ξ − z) sin y results in G of type

This choice does not diminish the generality of conclusions; it can be shown that generality is possible (in the first approximation) just on account of the remaining permissible transformations of variables. At N < 0 (quantity N is space-like) one can substitute G = z which generalizes the well-known Einstein–Rosen metric.^[53] At N = 0 one arrives at the Robinson–Bondi wave metric^[54] that depends only on ξ + z or only on ξ − z (cf. ^[55]). The factor sin y in eq. 102 is put for convenient comparison with homogeneous models. Taking into account eq. 102, equations eq. 97 – eq. 99 become

The principal equations are eq. 103 defining the γ_ab components; then, function ψ is found by a simple integration of eq. 104–eq. 105.

The variable ξ runs through the values from 0 to ∞. The solution of eq. 103 is considered at two boundaries, ξ ${\displaystyle \gg }$ 1 and ${\displaystyle \ll }$ 1. At large ξ values, one can look for a solution that takes the form of a 1 / √ξ decomposition:

whereby

(equation 107 needs condition 102 to be true). Substituting eq. 103 in eq. 106, one obtains in the first order

where quantities a^ac constitute a matrix that is inverse to matrix a_ac. The solution of eq. 108 has the form

where l_a, m_a, ρ, are arbitrary functions of coordinates x, y bound by condition eq. 110 derived from eq. 107.

To find higher terms of this decomposition, it is convenient to write the matrix of required quantities γ_ab in the form

where the symbol ~ means matrix transposition. Matrix H is symmetric and its trace is zero. Presentation eq. 111 ensures symmetry of γ_ab and fulfillment of condition eq. 102. If exp H is substituted with 1, one obtains from eq. 111 γ_ab = ξa_ab with a_ab from eq. 109. In other words, the first term of γ_ab decomposition corresponds to H = 0; higher terms are obtained by powers decomposition of matrix H whose components are considered small.

The independent components of matrix H are written as σ and φ so that

Substituting eq. 111 in eq. 103 and leaving only terms linear by H, one derives for σ and φ

${\displaystyle {\ddot {\sigma }}+\xi ^{-1}{\dot {\sigma }}-\sigma ^{\prime \prime }=0,}$

If one tries to find a solution to these equations as Fourier series by the z coordinate, then for the series coefficients, as functions of ξ, one obtains Bessel equations. The major asymptotic terms of the solution at large ξ are^{[note 22]}

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\sqrt {\xi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(A_{1n}e^{in\omega \xi }+B_{1n}e^{-in\omega \xi }\right)e^{in\omega z},}$

${\displaystyle \omega _{n}^{2}=n^{2}\omega ^{2}+4\rho ^{2}.}$

Coefficients A and B are arbitrary complex functions of coordinates x, y and satisfy the necessary conditions for real σ and φ; the base frequency ω is an arbitrary real function of x, y. Now from eq. 104–eq. 105 it is easy to obtain the first term of the function ψ:

(this term vanishes if ρ = 0; in this case the major term is the one linear for ξ from the decomposition: ψ = ξq (x, y) where q is a positive function^[56]).

Therefore, at large ξ values, the components of the metric tensor γ_ab oscillate upon decreasing ξ on the background of a slow decrease caused by the decreasing ξ factor in eq. 111. The component γ₃₃ = e^ψ decreases quickly by a law close to exp (ρ²ξ²); this makes it possible for condition eq. 93.^{[note 23]}

Next BKL consider the case ξ ${\displaystyle \ll }$ 1. The first approximation to a solution of eq. 103 is found by the assumption (confirmed by the result) that in these equations terms with derivatives by coordinates can be left out:

This equation together with the condition eq. 102 gives

where λ_a, μ_a, s₁, s₂ are arbitrary functions of all 3 coordinates x, y, z, which are related with other conditions

Equations eq. 104–eq. 105 give now

The derivatives ${\displaystyle {\lambda _{a}^{b}}^{\prime }}$, calculated by eq. 118, contain terms ~ ξ^{4s₁ − 2} and ~ ξ^{4s₂ − 2} while terms left in eq. 117 are ~ ξ⁻². Therefore, application of eq. 103 instead of eq. 117 is permitted on conditions s₁ > 0, s₂ > 0; hence 1 − ${\displaystyle s_{1}^{2}-s_{2}^{2}}$ > 0.

Thus, at small ξ oscillations of functions γ_ab cease while function γ₃₃ begins to increase at decreasing ξ. This is a Kasner mode and when γ₃₃ is compared to γ_ab, the above approximation is not applicable.

In order to check the compatibility of this analysis, BKL studied the equations ${\displaystyle R_{\alpha }^{0}}$ = 0, ${\displaystyle R_{\alpha }^{3}}$ = 0, and, calculating from them the components γ_a3, confirmed that the inequality eq. 94 takes place. This study^[52] showed that in both asymptotic regions the components γ_a3 were ~ γ₃₃. Therefore, correctness of inequality eq. 93 immediately implies correctness of inequality eq. 94.

This solution contains, as it should for the general case of a field in vacuum, four arbitrary functions of the three space coordinates x, y, z. In the region ξ ${\displaystyle \ll }$ 1 these functions are, e.g., λ₁, λ₂, μ₁, s₁. In the region ξ ${\displaystyle \gg }$ 1 the four functions are defined by the Fourier series by coordinate z from eq. 115 with coefficients that are functions of x, y; although Fourier series decomposition (or integral?) characterizes a special class of functions, this class is large enough to encompass any finite subset of the set of all possible initial conditions.

The solution contains also a number of other arbitrary functions of the coordinates x, y. Such two-dimensional arbitrary functions appear, generally speaking, because the relationships between three-dimensional functions in the solutions of the Einstein equations are differential (and not algebraic), leaving aside the deeper problem about the geometric meaning of these functions. BKL did not calculate the number of independent two-dimensional functions because in this case it is hard to make unambiguous conclusions since the three-dimensional functions are defined by a set of two-dimensional functions (cf.^[52] for more details).^{[note 24]}

Finally, BKL go on to show that the general solution contains the particular solution obtained above for homogeneous models.

Substituting the basis vectors for Bianchi Type IX homogeneous space in eq. 7 the space-time metric of this model takes the form

When c² ${\displaystyle \ll }$ a², b², one can ignore c² everywhere except in the term c² dz². To move from the synchronous frame used in eq. 121 to a frame with conditions eq. 91, the transformation dt = c dξ/2 and substitution z → z/2 are done. Assuming also that χ ≡ ln (a/b) ${\displaystyle \ll }$ 1, one obtains from eq. 121 in the first approximation:

Similarly, with the basis vectors of Bianchi Type VIII homogeneous space, one obtains

According to the analysis of homogeneous spaces above, in both cases ab = ξ (simplifying ${\displaystyle a_{0}^{2}}$ = ξ₀) and χ is from eq. 51; function c (ξ) is given by formulae eq. 53 and eq. 61, respectively, for models of Types IX and VIII.

Identical metric for Type VIII is obtained from eq. 112, eq. 115, eq. 116 choosing two-dimensional vectors l_a and m_a in the form

and substituting

To obtain the metric for Type IX, one should substitute

(for calculation of c (ξ) the approximation in eq. 116 is not sufficient and the term in ψ linear by ξ is calculated^[56])

This analysis was done for empty space. Including matter does not make the solution less general and does not change its qualitative characteristics.^[56][52]

A limitation of great importance for the general solution is that all 3-dimensional functions contained in the metrics eq. 122 and eq. 123 should have a single and common characteristic change interval. Only this allows to approximate in the Einstein equations all metric spatial component derivatives with simple products of these components by a characteristic wave numbers which results in ordinary differential equations of the type obtained for the Type IX homogeneous model. This is the reason for the coincidence between homogeneous and general solutions.

It follows that both Type IX model and its generalisation contain an oscillatory mode with a single spatial scale of an arbitrary magnitude which is not selected among others by any physical conditions. However, it is known that in non-linear systems with infinite degrees of freedom such mode is unstable and partially dissipates to smaller oscillations. In the general case of small perturbations with an arbitrary spectrum, there will always be some whose amplitudes will increase feeding upon the total process energy. As a result, a complicated picture arises of multi-scale movements with certain energy distribution and energy exchange between oscillations of different scales. It doesn't occur only in the case when the development of small-scale oscillations is impossible because of physical conditions. For the latter, some natural physical length must exist which determines the minimal scale at which energy exits from a system with dynamical degrees of freedom (which, for example, occurs in a liquid with a certain viscosity). However, there is no innate physical scale for a gravitational field in vacuum, and, therefore, there is no impediment for the development of oscillations of arbitrarily small scales.^[57]

Conclusions

BKL describe singularities in the cosmologic solution of Einstein equations that have a complicated oscillatory character. Although these singularities have been studied primarily on spatially homogeneous models, there are convincing reasons to assume that singularities in the general solution of Einstein equations have the same characteristics; this circumstance makes the BKL model important for cosmology.

A basis for such statement is the fact that the oscillatory mode in the approach to singularity is caused by the single perturbation that also causes instability in the generalized Kasner solution. A confirmation of the generality of the model is the analytic construction for long era with small oscillations. Although this latter behavior is not a necessary element of metric evolution close to the singularity, it has all principal qualitative properties: metric oscillation in two spatial dimensions and monotonous change in the third dimension with a certain perturbation of this mode at the end of some time interval. However, the transitions between Kasner epochs in the general case of non-homogeneous spatial metric have not been elucidated in details.

The problem connected with the possible limitations upon space geometry caused by the singularity was left aside for further study. It is clear from the outset, however, that the original BKL model is applicable to both finite or infinite space; this is evidenced by the existence of oscillatory singularity models for both closed and open spacetimes.

The oscillatory mode of the approach to singularity gives a new aspect to the term 'finiteness of time'. Between any finite moment of the world time t and the moment t = 0 there is an infinite number of oscillations. In this sense, the process acquires an infinite character. Instead of time t, a more adequate variable for its description is ln t by which the process is extended to ${\displaystyle -\infty }$.

BKL consider metric evolution in the direction of decreasing time. The Einstein equations are symmetric in respect to the time sign so that a metric evolution in the direction of increasing time is equally possible. However, these two cases are fundamentally different because past and future are not equivalent in the physical sense. Future singularity can be physically meaningful only if it is possible at arbitrary initial conditions existing in a previous moment. Matter distribution and fields in some moment in the evolution of Universe do not necessarily correspond to the specific conditions required for the existence of a given special solution to the Einstein equations.

The choice of solutions corresponding to the real world is related to profound physical requirements which is impossible to find using only the existing relativity theory and which can be found as a result of future synthesis of physical theories. Thus, it may turn out that this choice singles out some special (e.g., isotropic) type of singularity. Nevertheless, it is more natural to assume that because of its general character, the oscillatory mode should be the main characteristic of the initial evolutionary stages.

In this respect, of considerable interest is the property of the "Mixmaster" model shown by Misner,^[58] related to propagation of light signals. In the isotropic model, a "light horizon" exists, meaning that for each moment of time, there is some longest distance, at which exchange of light signals and, thus, a causal connection, is impossible: the signal cannot reach such distances for the time since the singularity t = 0.

Signal propagation is determined by the equation ds = 0. In the isotropic model near the singularity t = 0 the interval element is ${\displaystyle ds^{2}=dt^{2}-2td{\bar {l}}^{2}}$, where ${\displaystyle d{\bar {l}}^{2}}$ is a time-independent spatial differential form.^[59] Substituting ${\displaystyle t=\eta ^{2}/2}$ yields

The "distance" ${\displaystyle \Delta {\bar {l}}}$ reached by the signal is

Since η, like t, runs through values starting from 0, up to the "moment" η signals can propagate only at the distance ${\displaystyle \Delta {\bar {l}}\leq \eta }$ which fixes the farthest distance to the horizon.

The existence of a light horizon in the isotropic model poses a problem in the understanding of the origin of the presently observed isotropy in the relic radiation. According to the isotropic model, the observed isotropy means isotropic properties of radiation that comes to the observer from such regions of space that can not be causally connected with each other. The situation in the oscillatory evolution model near the singularity can be different.

For example, in the homogeneous model for Type IX space, a signal is propagated in a direction in which for a long era, scales change by a law close to ~ t. The square of the distance element in this direction is dl² = t² ${\displaystyle {\bar {l}}^{2}}$, and the respective element of the four-dimensional interval is ${\displaystyle ds^{2}=dt^{2}-t^{2}{\bar {l}}^{2}}$. The substitution ${\displaystyle t=e^{\eta }}$ puts this in the form

and for the signal propagation one has equation of the type eq. 128 again. The important difference is that the variable η runs now through values starting from ${\displaystyle -\infty }$ (if metric eq. 129 is valid for all t starting from t = 0).

Therefore, for each given "moment" η are found intermediate intervals Δη sufficient for the signal to cover each finite distance.

In this way, during a long era a light horizon is opened in a given space direction. Although the duration of each long era is still finite, during the course of the world evolution eras change an infinite number of times in different space directions. This circumstance makes one expect that in this model a causal connection between events in the whole space is possible. Because of this property, Misner named this model "Mixmaster universe" by a brand name of a dough-blending machine.

As time passes and one goes away from the singularity, the effect of matter on metric evolution, which was insignificant at the early stages of evolution, gradually increases and eventually becomes dominant. It can be expected that this effect will lead to a gradual "isotropisation" of space as a result of which its characteristics come closer to the Friedman model which adequately describes the present state of the Universe.

Finally, BKL pose the problem about the feasibility of considering a "singular state" of a world with infinitely dense matter on the basis of the existing relativity theory. The physical application of the Einstein equations in their present form in these conditions can be made clear only in the process of a future synthesis of physical theories and in this sense the problem can not be solved at present.

It is important that the gravitational theory itself does not lose its logical cohesion (i.e., does not lead to internal controversies) at whatever matter densities. In other words, this theory is not limited by the conditions that it imposes, which could make logically inadmissible and controversial its application at very large densities; limitations could, in principle, appear only as a result of factors that are "external" to the gravitational theory. This circumstance makes the study of singularities in cosmological models formally acceptable and necessary in the frame of existing theory.

Notes

1. A similar animated simulation by David Garfinkle can be found in.^[1]
2. The convention used by BKL is the same as in the Landau & Lifshitz (1988) book. The Latin indices run through the values 0, 1, 2, 3; Greek indices run through the space values 1, 2, 3. The metric g_ik has the signature (+ − − −); γ_αβ = −g_αβ is the 3-dimensional space metric tensor. BKL use a system of units, in which the speed of light and the Einstein gravitational constant are equal to 1.
3. The expression for r is derived by logarithming the power coefficients in the metric: ln [t^2p_α(1/u)] = 2p_α(1/u) ln t.
4. When (p₁, p₂, p₃) = (0, 0, 1) the spacetime metric eq. 1 with dl² from eq. 2 transforms to Galilean metric with the substitution t sh z = ζ, t ch z = τ, that is, the singularity is fictional and the spacetime is flat.
5. Here and below all symbols for vector operations (vector products, the operations rot, grad, etc.) should be understood in a very formal way as operations over the covariant components of the vectors l, m, n such that are performed in Cartesian coordinates x¹, x², x³.
6. Excepting the case (p₁, p₂, p₃) = (0, 0, 1), in which the metric singularity is fictitious.
7. The constants λ, μ, ν are the so-called structural constants of the space movement group.
8. In their exact form, the Einstein equations for homogeneous space contain, in general, 6 different functions of time γ_ab(t) in the metric. The fact that in the present case a consistent system of exact equations is obtained for the metric which contains only 3 functions of time (γ₁₁ = а², γ₂₂ = b², γ₃₃ = c²) is related to a symmetry that leads to the disappearance of 6 Ricci tensor components.
9. The asymptotic values of α_τ, β_τ, γ_τ at τ → −∞ can be found without fully solving eq. 29. It suffices to note that the first of these equations has a form of a "particle" moving in one dimension in the field of an exponential potential wall with α playing the role of a constant. In this analogy, the Kasner mode refers to a free movement with constant velocity α_τ = Λp₁. After reflection from the wall, the particle moves freely with velocity α_τ = −Λp₁. Also noting that from eq. 29 α_τ + β_τ = const, and α_τ + γ_τ = const, one can see that β_τ and γ_τ take the values β_τ = Λ(p₂ − 2p₁), γ_τ = Λ(p₃ − 2p₁).
10. Introduction of non-diagonal components of γ_ab(t) imparts some new features to the BKL model: rotations of axes corresponding to the Kasner epoch powers; this problem is studied in Belinsky, Khalatnikov & Lifshitz (1971)
11. The constant in the sine argument, of course, is not necessarily the same as ξ₀ in eq. 47 and eq. 48; however, making them the same does not change in any way the solution character.
12. In a more precise calculation, a slowly changing logarithmic term appears in the sine argument, and a multiplier appears in front the exponent in the expression for с(ξ), see Belinsky, Khalatnikov & Lifshitz 1970, Appendix B.
13. If in eq. 49, one substitutes sh 2χ with 2χ and solves it for all values of ξ, one obtains χ = c₁J₀(ξ) + c₂N₀(ξ) where J₀, N₀ are Bessel functions of the I and II kind. This solution interpolates between the two limiting cases and allows to relate by an order of magnitude the constant parameters in eq. 52 and eq. 55.
14. Since a, b, c have the dimension of length, their logarithms are defined only up to an additive constant which depends on the choice of the length units; in this sense eq. 63 has a conditional meaning corresponding to a certain choice of the zero value of α, β, γ.
15. According to eq. 32, transitions are large with small |p₁| (i. e. large u) and are ≈1/|p₁| ~ u. But even in this case Δ_n ~ u_n |α_n| ${\displaystyle \gg }$ u_n
16. Fixing the limits of the era according to eq. 64 is meaningful because in such case the era contains all epochs in which the third function, γ(t) decreases monotonously. If the era is defined by the sequence of u values from k + x to 1 + x, then the monotonous decrease of γ(t) will continue during the first epoch of the next era.
17. Epoch lengths are great in comparison to transitions between epochs. According to eq. 33 transition lengths are great at small |p₁| (i.e. large u) and are ∝ 1/|p₁| ∝ u. But even in this case Δ_n ∝ u_n|α_n| ${\displaystyle \gg }$ u_n.
18. Equation 74 was known already to Gauss, and an equation of type eq. 73c was considered in this connection by Rodion Kuzmin (see Gauss–Kuzmin distribution). Further information on the chaotic behaviour and entropy of continued fractions in Linas Vepstas. 2008. Entropy of Continued Fractions (Gauss-Kuzmin Entropy)
19. The plot of the function P(δ) in Fig. 2 in Lifshitz, Lifshitz & Khalatnikov 1970 is incorrect for several reasons. Apparently some errors were admitted in preparing the program for numerical solution of the integral equation. Also a "forced" reduction of the values P(0) and P(1) was performed in view of the incorrect footnote in Lifshitz, Lifshitz & Khalatnikov 1970, Sec. 4. The finite probability of the value δ = 0 does not mean the possibility of the initial amplitude of oscillation becoming zero (which would be in contradiction to the regular course of evolution shown in Fig. 4). From eq. 78 δ_s+1 tends to zero with x_s → 0 proportional to x_s; but the amplitude is given by the product δ_s+1Ω_s+1, which tends to a finite limit since the expression eq. 77 contains a term with 1/x_s.
20. Note that this metric allows arbitrary transformations of type ξ′ + z″ = f₁ (ξ + z), ξ′ − z′ = f₂ (ξ − z), x′^a = f^a (x¹, x²).
21. The equation ${\displaystyle R_{0}^{0}+R_{3}^{3}=0}$ is a direct result of eq. 97–eq. 99 if ${\displaystyle {\dot {G}}\neq 0}$ or ${\displaystyle G^{\prime }\neq 0}$. The case ${\displaystyle {\dot {G}}=G^{\prime }=0}$ does not require a special treatment: it can be shown that the spacetime metric in this case converges (in first approximation) to Galilean.
22. It is possible to look for a solution in the form of Fourier integrals; this issue has not been studied in detail. Therefore, BKL do not require Fourier series decomposition as a mandatory condition for the coordinate dependence of functions σ and φ
23. Squared H terms in eq. 103 result only in small (≈1/ξ) corrections in σ and φ. Calculation with cubic terms leads to appearance of a weak dependence of A, B from ξ that can be presented as an appearance of logarithmic phases in the oscillating factors in eq. 115. These calculations for the case ρ = 0 are given in Belinsky & Khalatnikov (1970, Appendix B) (cf. the analogous situation for homogeneous models, Belinsky, Khalatnikov & Lifshitz (1970, Appendix B)).
24. The regular decomposition of the general solution of Einstein equations contains (in addition to the four three-dimensional functions) three independent functions of two coordinates (cf. Petrov 1969, Ch. 40; Lifshitz & Khalatnikov (1963, Appendix A))

References

1. Garfinkle, David (2007). "Of singularities and breadmaking". Einstein Online. Band 03. Max Planck Institute for Gravitational Physics. 03–1014. Retrieved 2020-10-15.
2. Belinsky, Khalatnikov & Lifshitz 1970
3. Demaret, Henneaux & Spindel 1985.
4. Demaret et al. 1986.
5. Demaret, de Rop & Henneaux 1989.
6. Damour & Henneaux 2000.
7. Damour et al. 2001.
8. Damour, Henneaux & Nicolai 2003.
9. Kac 1983.
10. Damour 2015.
11. Henneaux, Persson & Spindel 2008.
12. Lifshitz & Khalatnikov 1963
13. Landau & Lifshitz 1988, Ch. 97
14. Lifshitz & Khalatnikov 1961a.
15. Lifshitz & Khalatnikov 1961b.
16. Lifshitz, Sudakov & Khalatnikov 1961
17. Hawking 1965.
18. Hawking & Ellis 1968.
19. Geroch 1966.
20. Ashtekar, Henderson & Sloan 2011
21. Barrow & Tipler 1979.
22. Barrow & Tipler 1981.
23. Berger 2002
24. Garfinkle 2004.
25. Berger & Moncrief 1993.
26. Berger et al. 1998.
27. Weaver, Isenberg & Berger 1998.
28. Andersson & Rendall 2001.
29. Damour et al. 2002.
30. Berger & Moncrief 1998.
31. Berger & Moncrief 2000.
32. Garfinkle 2007.
33. Saotome, Akhoury & Garfinkle 2010.
34. Kasner 1921.
35. Rugh 1994.
36. Bini, Cherubini & Jantzen 2007.
37. Landau & Lifshitz 1988, Ch. 117, Problem 3.
38. Landau & Lifshitz 1987, Ch. 134, eq. 134.15.
39. Misner, Thorne & Wheeler 1973, p. 564.
40. Nelson 1981.
41. Belinsky & Khalatnikov 1966.
42. Khalatnikov & Lifshitz 1970.
43. Belinsky & Khalatnikov 1969a
44. Lifshitz & Khalatnikov 1970
45. Belinsky, Khalatnikov & Lifshitz 1970, Appendix C.
46. Lifshitz & Khalatnikov 1963, Appendix C.
47. Taub 1951.
48. Lifshitz, Lifshitz & Khalatnikov 1970
49. Khalatnikov et al. 1985
50. Chernoff & Barrow 1983.
51. Belinsky, Khalatnikov & Lifshitz 1970, Appendix A.
52. Belinsky & Khalatnikov 1970
53. Einstein & Rosen 1937.
54. Bondi, Pirani & Robinson 1959.
55. Landau & Lifshitz 1988, Ch. 109.
56. Belinsky & Khalatnikov 1969b
57. Belinsky 1992.
58. Misner 1969.
59. Landau & Lifshitz 1988, Ch. 103–105.

Bibliography

• Andersson, Lars; Rendall, Alan D. (2001). "Quiescent cosmological singularities". Communications in Mathematical Physics. 218 (3): 479–511. arXiv:gr-qc/0001047. Bibcode:2001CMaPh.218..479A. doi:10.1007/s002200100406. S2CID 16167683.
• Ashtekar, Abhay; Henderson, Adam; Sloan, David (2011). "Hamiltonian formulation of the Belinskii-Khalatnikov-Lifshitz conjecture". Physical Review D. 83 (8): 084024. arXiv:1102.3474. Bibcode:2011PhRvD..83h4024A. doi:10.1103/PhysRevD.83.084024. S2CID 119888235.
• Barrow, John D.; Tipler, Frank J. (1979). "Analysis of the generic singularity studies by Belinskii, Khalatnikov, and Lifshitz". Physics Reports. 56 (7): 371–402. Bibcode:1979PhR....56..371B. doi:10.1016/0370-1573(79)90097-8.
• Barrow, John D.; Tipler, Frank J. (1981). "Generic singularity studies revisited". Physics Letters. 82A (9): 441–445. doi:10.1016/B978-0-08-036364-6.50050-8.
• Belinsky, Vladimir A.; Khalatnikov, I.M. (1966). "A general solution of the gravitational equations with a simultaneous fictitious singularity". JETP. 49 (3): 1000. Bibcode:1966JETP...22..694B.
• Belinsky, Vladimir A.; Khalatnikov, I.M. (1969a). "On the nature of the singularities in the general solution of the gravitational equations". JETP. 56: 1700.
• Belinsky, Vladimir A.; Khalatnikov, I.M. (1969b). "General solution of the gravitational equations with a physical singularity". JETP. 57: 2163.
• Belinsky, Vladimir A.; Khalatnikov, Isaak M.; Lifshitz, Evgeny M. (1970). "Колебательный режим приближения к особой точке в релятивистской космологии". Uspekhi Fizicheskikh Nauk. 102 (11): 463–500. Bibcode:1970UsFiN.102..463B. doi:10.3367/ufnr.0102.197011d.0463.; English translation in Belinskii, V.A.; Khalatnikov, I.M.; Lifshitz, E.M. (1970). "Oscillatory Approach to a Singular Point in the Relativistic Cosmology". Advances in Physics. 19 (80): 525–573. Bibcode:1970AdPhy..19..525B. doi:10.1080/00018737000101171.
• Belinsky, Vladimir A.; Khalatnikov, Isaak M. (1970). "General solution of the gravitational equations with a physical oscillatory singularity". JETP. 59: 314. Bibcode:1971JETP...32..169B.
• Belinsky, Vladimir A.; Khalatnikov, I.M.; Lifshitz, E.M. (1971). "The oscillatory mode of approach to a singularity in homogeneous cosmological models with rotating axes". JETP. 60 (6): 1969–1979.
• Belinsky, V.A. (1992). "Turbulence of a Gravitational Field near a Cosmological Singularity". JETP Letters. 56 (9): 437–440.
• Belinski, Vladimir; Henneaux, Marc (2018). The Cosmological Singularity. Cambridge University Press. arXiv:1404.3864. Bibcode:2018cosm.book.....B. doi:10.1017/9781107239333. ISBN 978-1-107-04747-1.
• Berger, Beverly; Moncrief, Vincent (1993). "Numerical investigation of cosmological singularities". Physical Review D. 48 (10): 4676–4687. arXiv:gr-qc/9307032. Bibcode:1993PhRvD..48.4676B. doi:10.1103/PhysRevD.48.4676. PMID 10016121. S2CID 450414.
• Berger, Beverly K.; Moncrief, Vincent (1998). "Numerical evidence that the singularity in polarized U(1) symmetric cosmologies on T³ × R is velocity dominated". Physical Review D. 57 (12): 7235–7240. arXiv:gr-qc/9801078. Bibcode:1998PhRvD..57.7235B. doi:10.1103/PhysRevD.57.7235. S2CID 119539705.
• Berger, Beverly; Garfinkle, David; Isenberg, James; Moncrief, Vincent; Weaver, Marsha (1998). "The singularity in generic gravitational collapse is spacelike, local, and oscillatory". Modern Physics Letters A. 13 (19): 1565–1573. arXiv:gr-qc/9805063. Bibcode:1998MPLA...13.1565B. doi:10.1142/S0217732398001649. S2CID 118889710.
• Berger, Beverly K.; Moncrief, Vincent (2000). "Signature for local Mixmaster dynamics in U(1) symmetric cosmologies". Physical Review D. 62 (123501): 123501. arXiv:gr-qc/0006071. Bibcode:2000PhRvD..62l3501B. doi:10.1103/PhysRevD.62.123501. S2CID 10389665.
• Berger, Beverly K (2002). "Numerical Approaches to Spacetime Singularities". Living Reviews in Relativity. 5 (1): 1. arXiv:gr-qc/0201056. Bibcode:2002LRR.....5....1B. doi:10.12942/lrr-2002-1. PMC 5256073. PMID 28179859.
• Bini, Donato; Cherubini, Christian; Jantzen, Robert (2007). "The Lifshitz-Khalatnikov Kasner index parametrization and the Weyl tensor". Il Nuovo Cimento B. 122 (5): 521–536. arXiv:0710.4902. Bibcode:2007NCimB.122..521B. doi:10.1393/ncb/i2007-10396-4. S2CID 15854390.
• Bini, Donato; Cherubini, Christian; Geralico, Andrea; Jantzen, Robert T. (2009). "Electrocardiogram of the Mixmaster Universe". Classical and Quantum Gravity. 26 (2): 025012. arXiv:0808.0828. Bibcode:2009CQGra..26b5012B. doi:10.1088/0264-9381/26/2/025012. S2CID 14552653.
• Bondi, Herman; Pirani, F.A.E.; Robinson, I. (1959). "Gravitational Waves in General Relativity. III. Exact Plane Waves". Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 251 (1267): 519–533. Bibcode:1959RSPSA.251..519B. doi:10.1098/rspa.1959.0124. JSTOR 100727. S2CID 122766998.
• Chernoff, David F.; Barrow, J.D. (1983). "Chaos in the Mixmaster Universe". Physical Review Letters. 50 (2): 134–137. Bibcode:1983PhRvL..50..134C. doi:10.1103/PhysRevLett.50.134.
• Damour, Thibault; Henneaux, Marc (2000). "Chaos in superstring cosmology". Physical Review Letters. 85 (5): 920–923. arXiv:hep-th/0003139. Bibcode:2000PhRvL..85..920D. doi:10.1103/PhysRevLett.85.920. PMID 10991439. S2CID 10752273.
• Damour, Thibault; Henneaux, Marc; Julia, Bernard; Nicolai, Hermann (2001). "Hyperbolic Kac–Moody algebras and chaos in Kaluza-Klein models". Physics Letters B. 509 (3–4): 323–330. arXiv:hep-th/0103094. Bibcode:2001PhLB..509..323D. doi:10.1016/S0370-2693(01)00498-1. S2CID 16964946.
• Damour, Thibault; Henneaux, Marc; Nicolai, Hermann (2003). "Cosmological billiards". Classical and Quantum Gravity. 20 (9): R145–R200. CiteSeerX 10.1.1.262.7733. doi:10.1088/0264-9381/20/9/201. S2CID 250877925.
• Damour, Thibault; Henneaux, Marc; Rendall, Alan D.; Weaver, Marsha (2002). "Kasner-like behaviour for subcritical Einstein-matter systems". Annales Henri Poincaré. 3 (6): 1049–1111. arXiv:gr-qc/0202069. Bibcode:2002AnHP....3.1049D. doi:10.1007/s000230200000. S2CID 17092394.
• Demaret, Jacques; Henneaux, Marc; Spindel, Philipe (1985). "Non-oscillatory behaviour in vacuum Kaluza–Klein cosmologies". Physics Letters. 164B (1–3): 27–29. Bibcode:1985PhLB..164...27D. doi:10.1016/0370-2693(85)90024-3.
• Demaret, Jacques; Hanquin, Jean-Luc; Henneaux, Marc; Spindel, Philipe; Taormina, Anna (1986). "The fate of the Mixmaster behaviour in vacuum inhomogeneous Kaluza-Klein cosmological models". Physics Letters B. 175 (2): 129–132. Bibcode:1986PhLB..175..129D. doi:10.1016/0370-2693(86)90701-X.
• Demaret, Jacques; de Rop, Yves; Henneaux, Marc (1989). "Are Kaluza-Klein models of the Universe chaotic?". International Journal of Theoretical Physics. 28 (9): 1067–1079. Bibcode:1989IJTP...28.1067D. doi:10.1007/BF00670349. S2CID 121065247.
• Einstein, Albert; Rosen, Nathan (1937). "On gravitational waves". Journal of the Franklin Institute. 223 (1): 43–54. Bibcode:1937FrInJ.223...43E. doi:10.1016/S0016-0032(37)90583-0.
• Frasca, Marco (2006). "Strong coupling expansion for general relativity". International Journal of Modern Physics D. 15 (9): 1373–1386. arXiv:hep-th/0508246. Bibcode:2006IJMPD..15.1373F. doi:10.1142/S0218271806009091. S2CID 15369171.
• Garfinkle, David (2004). "Numerical Simulations of Generic Singularities". Phys. Rev. Lett. 93 (16): 161101. arXiv:gr-qc/0312117. Bibcode:2004PhRvL..93p1101G. doi:10.1103/PhysRevLett.93.161101. PMID 15524970. S2CID 37917240.
• Garfinkle, David (2007). "Numerical simulations of general gravitational singularities". Classical and Quantum Gravity. 24 (12): 295–306. arXiv:0808.0160. Bibcode:2007CQGra..24S.295G. doi:10.1088/0264-9381/24/12/S19. S2CID 16899122.
• Geroch, Robert P. (1966). "Singularities in Closed Universes". Physical Review Letters. 17 (8): 445–447. Bibcode:1966PhRvL..17..445G. doi:10.1103/PhysRevLett.17.445.
• Góźdź, Andrzej; Pędrak, Aleksandra; Piechocki, Włodzimierz (2023). "Quantum dynamics corresponding to the chaotic BKL scenario". The European Physical Journal C. 83 (2): 150. arXiv:2204.11274. Bibcode:2023EPJC...83..150G. doi:10.1140/epjc/s10052-023-11284-6. S2CID 254044770.
• Hawking, Stephen W. (1965). "Occurrence of Singularities in Open Universes". Physical Review Letters. 15 (17): 689–690. Bibcode:1965PhRvL..15..689H. doi:10.1103/PhysRevLett.15.689.
• Hawking, Stephen W.; Ellis, G.F.R. (1968). "The Cosmic Black-Body Radiation and the Existence of Singularities in Our Universe". Astrophysical Journal. 152: 25. Bibcode:1968ApJ...152...25H. doi:10.1086/149520.
• Heinzle, J. Mark; Uggla, Claes; Röhr, Niklas (2009). "The cosmological billiard attractor". Adv. Theor. Math. Phys. 13 (2): 293–407. arXiv:gr-qc/0702141. Bibcode:2007gr.qc.....2141H. doi:10.4310/ATMP.2009.v13.n2.a1. S2CID 119470976.
• Henneaux, Marc; Persson, Daniel; Spindel, Philippe (2008). "Spacelike Singularities and Hidden Symmetries of Gravity". Living Reviews in Relativity. 11 (1): 1. arXiv:0710.1818. Bibcode:2008LRR....11....1H. doi:10.12942/lrr-2008-1. PMC 5255974. PMID 28179821.
• Kac, Victor G. (1983). Infinite dimensional Lie algebras: an introduction. Progress in Mathematics. Vol. 44. Basel: Birkhäuser. p. 245. doi:10.1007/978-1-4757-1382-4. ISBN 9780817631185.
• Kasner, Edward (1921). "Geometrical Theorems on Einstein's Cosmological Equations". American Journal of Mathematics. 43 (4): 217–221. Bibcode:1921AmJM...43..217K. doi:10.2307/2370192. JSTOR 2370192.
• Khalatnikov, Isaak M.; Lifshitz, E.M.; Khanin, K.M.; Shchur, L.N.; Sinai, Ya.G. (1985). "On the stochasticity in relativistic cosmology". Journal of Statistical Physics. 38 (1–2): 97–114. Bibcode:1985JSP....38...97K. doi:10.1007/BF01017851. S2CID 120521834.
• Khalatnikov, Isaak M.; Kamenshchik, Aleksander Yu. (2008). "Lev Landau and the problem of singularities in cosmology". Physics-Uspekhi. 51 (6): 609–616. arXiv:0803.2684. Bibcode:2008PhyU...51..609K. doi:10.1070/PU2008v051n06ABEH006550. S2CID 14878079.
• Khalatnikov, I.M.; Lifshitz, E.M. (1970). "General Cosmological Solution of the Gravitational Equations with a Singularity in Time". Physical Review Letters. 24 (2): 76. Bibcode:1970PhRvL..24...76K. doi:10.1103/PhysRevLett.24.76.
• Landau, Lev D.; Lifshitz, Evgeny M. (1988). Classical Theory of Fields. Course of Theoretical Physics. Vol. 2 (7th ed.). Moscow: Nauka. ISBN 978-5-02-014420-0.
• Landau, Lev D.; Lifshitz, Evgeny M. (1987). Fluid Mechanics. Course of Theoretical Physics. Vol. 6 (2nd ed.). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-08-033933-7.
• Lifshitz, Evgeny M.; I.M. Khalatnikov (1961). "On the singularities of cosmological solutions of the gravitational equations.I". JETP. 39: 149.
• Lifshitz, Evgeny M.; I.M. Khalatnikov (1961). "On the singularities of cosmological solutions of the gravitational equations.II". JETP. 39: 800.
• Lifshitz, Evgeny M.; Sudakov, V.V.; Khalatnikov, I.M. (1961). "Singularities of cosmological solutions of the gravitational equations.III". JETP. 40: 1847.; Physical Review Letters, 6, 311 (1961)
• Lifshitz, Evgeny M.; Khalatnikov, Isaak M. (1963). "Проблемы релятивистской космологии". Uspekhi Fizicheskikh Nauk. 80 (7): 391–438. doi:10.3367/UFNr.0080.196307d.0391.; English translation in Lifshitz, E.M.; Khalatnikov, I.M. (1963). "Problems in the Relativistic Cosmology". Advances in Physics. 12 (46): 185. Bibcode:1963AdPhy..12..185L. doi:10.1080/00018736300101283.
• Lifshitz, Evgeny M.; Khalatnikov, Isaak M. (1970). "Oscillatory mode of approach to a singularity in the open cosmological model". JETP Letters. 11: 200–203.
• Lifshitz, E.M.; Lifshitz, I.M.; Khalatnikov, I.M. (1970). "Asymptotic analysis of oscillatory mode of approach to a singularity in homogeneous cosmological models". JETP. 59: 322.
• Misner, Ch. W. (1969). "Mixmaster Universe". Physical Review Letters. 22 (20): 1071–1074. Bibcode:1969PhRvL..22.1071M. doi:10.1103/PhysRevLett.22.1071.
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W.H. Freeman. ISBN 978-0-7167-0334-1.^{[dead link‍]}
• Nelson, Robert A. (1981). "Coordinate-dependent 3 + 1 formulation of the General Relativity equations for a perfect fluid". General Relativity and Gravitation. 13 (6): 569–580. Bibcode:1981GReGr..13..569N. doi:10.1007/BF00757243. S2CID 122196359.
• Penrose, Roger (1965). "Gravitational Collapse and Space-Time Singularities". Physical Review Letters. 14 (3): 57–59. Bibcode:1965PhRvL..14...57P. doi:10.1103/PhysRevLett.14.57.
• Petrov, Alexey Z. (1969). Einstein Spaces. Oxford: Pergamon Press. ISBN 978-0-08-012315-8.
• Rugh, Svend E. (1994). "Chaos in the Einstein Equations -- characterization and importance?". Deterministic Chaos in General Relativity. Kananaskis, Alberta, Canada: Springer Science+Business Media New York. pp. 359–422. doi:10.1007/978-1-4757-9993-4. ISBN 978-1-4757-9995-8.
• Saotome, Ryo; Akhoury, Ratindranath; Garfinkle, David (2010). "Examining gravitational collapse with test scalar fields". Classical and Quantum Gravity. 27 (165019): 165019. arXiv:1004.3569. Bibcode:2010CQGra..27p5019S. doi:10.1088/0264-9381/27/16/165019. S2CID 55229333.
• Taub, A.H. (1951). "Empty space-times admitting a three parameter group of motions". Annals of Mathematics. Second Series. 53 (3): 472–490. Bibcode:1951AnMat..53..472T. doi:10.2307/1969567. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969567. MR 0041565.
• Thorne, Kip (1994). Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy. W W Norton. ISBN 978-0-393-31276-8.]; Kip Thorne (2015). Geometrodynamics: The Nonlinear Dynamics of Curved Spacetime (Video lecture). The Van Leer Jerusalem Institute.
• Uggla, Claes; van Elst, Henk; Wainwright, John; Ellis, George F.R. (2003). "Past attractor in inhomogeneous cosmology". Physical Review D. 68 (10): 103502. arXiv:gr-qc/0304002. Bibcode:2003PhRvD..68j3502U. doi:10.1103/PhysRevD.68.103502. S2CID 53635765.
• Weaver, Marsha; Isenberg, James; Berger, Beverly K. (1998). "Mixmaster behavior in inhomogeneous cosmological spacetimes". Physical Review Letters. 80 (14): 2984–2987. arXiv:gr-qc/9712055. Bibcode:1998PhRvL..80.2984W. doi:10.1103/PhysRevLett.80.2984. S2CID 119467400.
• Damour, Thibault (19 November 2015). The Structure of Cosmological Singularities (Video lecture). Institut Henri Poincaré.