Интегральное уравнение

Уравнения с неизвестной функцией под знаком интеграла

В математике интегральные уравнения — это уравнения, в которых неизвестная функция появляется под знаком интеграла . ^[1] В математической нотации интегральные уравнения могут быть выражены как имеющие вид: где — интегральный оператор, действующий на u. Следовательно, интегральные уравнения можно рассматривать как аналог дифференциальных уравнений, где вместо уравнения, включающего производные, уравнение содержит интегралы. Можно провести прямое сравнение с математической формой общего интегрального уравнения выше с общей формой дифференциального уравнения, которая может быть выражена следующим образом: где можно рассматривать как дифференциальный оператор порядка i . ^[1] Благодаря этой тесной связи между дифференциальными и интегральными уравнениями часто можно выполнять преобразования между ними. Например, одним из методов решения краевой задачи является преобразование дифференциального уравнения с его граничными условиями в интегральное уравнение и решение интегрального уравнения. ^[1] Кроме того, поскольку можно выполнять преобразования между ними, дифференциальные уравнения в физике, такие как уравнения Максвелла, часто имеют аналоговую интегральную и дифференциальную форму. ^[2] См. также, например, функцию Грина и теорию Фредгольма . $${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n};u(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n});I^{1}(u),I^{2}(u),I^{3}(u),...,I^{m}(u))=0}$$ ${\displaystyle I^{i}(u)}$ $${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n};u(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n});D^{1}(u),D^{2}(u),D^{3}(u),...,D^{m}(u))=0}$$ ${\displaystyle D^{i}(u)}$

Классификация и обзор

Существуют различные методы классификации интегральных уравнений. Несколько стандартных классификаций включают различия между линейными и нелинейными; однородными и неоднородными; Фредгольмом и Вольтеррой; уравнениями первого, второго и третьего порядка; а также сингулярными и регулярными интегральными уравнениями. ^[1] Эти различия обычно основываются на некотором фундаментальном свойстве, таком как рассмотрение линейности уравнения или однородности уравнения. ^[1] Эти комментарии конкретизируются с помощью следующих определений и примеров:

Линейность

Линейное : Интегральное уравнение является линейным, если неизвестная функция u(x) и ее интегралы появляются в уравнении линейными. ^[1] Следовательно, примером линейного уравнения будет: ^[1] В качестве примечания к соглашению об именовании: i) u(x) называется неизвестной функцией, ii) f(x) называется известной функцией, iii) K(x,t) является функцией двух переменных и часто называется функцией ядра , и iv) λ является неизвестным фактором или параметром, который играет ту же роль, что и собственное значение в линейной алгебре . ^[1] $${\displaystyle u(x)=f(x)+\lambda \int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u(t)dt}$$

Нелинейный : Интегральное уравнение является нелинейным, если неизвестная функция u(x) или любой из ее интегралов появляются в уравнении нелинейно. ^[1] Следовательно, примерами нелинейных уравнений будут уравнения выше, если мы заменим u(t) на , например: Некоторые виды нелинейных интегральных уравнений имеют особые названия. ^[3] Вот некоторые из таких уравнений: ^[3] ${\displaystyle u^{2}(x),\,\,\cos(u(x)),\,{\text{or }}\,e^{u(x)}}$ $${\displaystyle u(x)=f(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u^{2}(t)dt}$$

• Нелинейные интегральные уравнения Вольтерра второго рода, имеющие общий вид: где F — известная функция. ^[3] ${\displaystyle u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,F(x,t,u(t))\,dt,}$
• Нелинейные интегральные уравнения Фредгольма второго рода, имеющие общий вид: . ^[3] ${\displaystyle f(x)=F(x,\int _{a}^{b}K(x,y,f(x),f(y))\,dy)}$
• Особый тип нелинейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода задается формой: , которая имеет два специальных подкласса: ^[3] ${\displaystyle f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}K(x,y,f(x),f(y))\,dy}$
  • Уравнение Урысона: . ^[3] ${\displaystyle f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}k(x,y,f(y))\,dy}$
  • Уравнение Гаммерштейна: . ^[3] ${\displaystyle f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}k(x,y)\,G(y,f(y))\,dy}$

Более подробную информацию об уравнении Гаммерштейна и различных версиях уравнения Гаммерштейна можно найти в разделе «Гаммерштейн» ниже.

Расположение неизвестного уравнения

Первый род : Интегральное уравнение называется интегральным уравнением первого рода, если неизвестная функция появляется только под знаком интеграла. ^[3] Примером может служить: . ^[3] ${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt}$

Второй род : Интегральное уравнение называется интегральным уравнением второго рода, если неизвестная функция также появляется вне интеграла. ^[3]

Третий род : Интегральное уравнение называется интегральным уравнением третьего рода, если оно является линейным интегральным уравнением следующего вида: ^[3] где g(t) обращается в нуль по крайней мере один раз в интервале [a,b] ^{[4] [5]} или где g(t) обращается в нуль в конечном числе точек в (a,b) . ^[6] $${\displaystyle g(t)u(t)+\lambda \int _{a}^{b}K(t,x)u(x)\,dx=f(t)}$$

Пределы интеграции

Фредгольм : Интегральное уравнение называется интегральным уравнением Фредгольма , если оба предела интегрирования во всех интегралах фиксированы и постоянны. ^[1] Примером может служить случай, когда интеграл берется по фиксированному подмножеству . ^[3] Следовательно, следующие два примера являются уравнениями Фредгольма: ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• Уравнение Фредгольма первого типа: . ${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt}$
• Уравнение Фредгольма второго типа: ${\displaystyle u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt.}$

Обратите внимание, что мы можем выразить интегральные уравнения, такие как приведенные выше, также с помощью обозначения интегрального оператора. ^[7] Например, мы можем определить интегральный оператор Фредгольма как: Следовательно, приведенное выше уравнение Фредгольма второго рода можно записать компактно как: ^[7] $${\displaystyle ({\mathcal {F}}y)(t):=\int _{t_{0}}^{T}K(t,s)\,y(s)\,ds.}$$ $${\displaystyle y(t)=g(t)+\lambda ({\mathcal {F}}y)(t).}$$

Вольтерра : Интегральное уравнение называется интегральным уравнением Вольтерра , если хотя бы один из пределов интегрирования является переменной. ^[1] Следовательно, интеграл берется по области, изменяющейся вместе с переменной интегрирования. ^[3] Примерами уравнений Вольтерра могут быть: ^[1]

• Интегральное уравнение Вольтерра первого рода: ${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}K(x,t)\,u(t)\,dt}$
• Интегральное уравнение Вольтерра второго рода: ${\displaystyle u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,u(t)\,dt.}$

Как и в случае с уравнениями Фредгольма, мы снова можем принять операторную нотацию. Таким образом, мы можем определить линейный интегральный оператор Вольтерры следующим образом: ^[3] где и K(t,s) называется ядром и должно быть непрерывным на интервале . ^[3] Следовательно, интегральное уравнение Вольтерры первого рода может быть записано как: ^[3] с . Кроме того, линейное интегральное уравнение Вольтерры второго рода для неизвестной функции и заданной непрерывной функции на интервале , где : Вольтерра-Фредгольм : В более высоких размерностях существуют интегральные уравнения, такие как интегральные уравнения Фредгольма-Вольтерры (VFIE). ^[3] VFIE имеет вид: с и являясь замкнутой ограниченной областью в с кусочно-гладкой границей. ^[3] Интегральный оператор Фредгольма-Вольтерры определяется как: ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {V}}:C(I)\to C(I)}$ $${\displaystyle ({\mathcal {V}}\phi )(t):=\int _{t_{0}}^{t}K(t,s)\,\phi (s)\,ds}$$ ${\displaystyle t\in I=[t_{0},T]}$ ${\displaystyle D:=\{(t,s):0\leq s\leq t\leq T\leq \infty \}}$ $${\displaystyle ({\mathcal {V}}y)(t)=g(t)}$$ ${\displaystyle g(0)=0}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle t\in I}$ $${\displaystyle y(t)=g(t)+({\mathcal {V}}y)(t).}$$ $${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+({\mathcal {T}}u)(t,x)}$$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}:C(I\times \Omega )\to C(I\times \Omega )}$

$${\displaystyle ({\mathcal {T}}u)(t,x):=\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds.}$$Обратите внимание, что хотя в этой статье границы интеграла обычно записываются в виде интервалов, это не обязательно так. ^[7] В общем случае интегральные уравнения не всегда должны определяться на интервале , но их также можно определить на кривой или поверхности. ^[7] ${\displaystyle [a,b]=I}$

Однородность

Однородный : Интегральное уравнение называется однородным, если известная функция тождественно равна нулю. ^[1] ${\displaystyle f}$

Неоднородный : Интегральное уравнение называется неоднородным, если известная функция отлична от нуля. ^[1] ${\displaystyle f}$

Регулярность

Регулярное : Интегральное уравнение называется регулярным, если все используемые интегралы являются собственными интегралами. ^[7]

Сингулярное или слабосингулярное : Интегральное уравнение называется сингулярным или слабосингулярным, если интеграл является несобственным интегралом. ^[7] Это может быть связано либо с тем, что по крайней мере один из пределов интегрирования бесконечен, либо ядро ​​становится неограниченным, то есть бесконечным, по крайней мере в одной точке интервала или области, по которой интегрируется. ^[1]

Вот несколько примеров: ^[1] Эти два интегральных уравнения являются преобразованием Фурье и преобразованием Лапласа функции u(x) , соответственно, причем оба являются уравнениями Фредгольма первого рода с ядром и , соответственно. ^[1] Другой пример сингулярного интегрального уравнения, в котором ядро ​​становится неограниченным: ^[1] Это уравнение является особой формой более общего слабо сингулярного интегрального уравнения Вольтерра первого рода, называемого интегральным уравнением Абеля: ^[7] Сильно сингулярное : Интегральное уравнение называется сильно сингулярным, если интеграл определяется специальной регуляризацией, например, главным значением Коши. ^[7] $${\displaystyle F(\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\lambda x}u(x)\,dx}$$ $${\displaystyle L[u(x)]=\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda x}u(x)\,dx}$$ ${\displaystyle K(x,t)=e^{-i\lambda x}}$ ${\displaystyle K(x,t)=e^{-\lambda x}}$ $${\displaystyle x^{2}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {x-t}}}\,u(t)\,dt.}$$ $${\displaystyle g(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f(y)}{\sqrt {x-y}}}\,dy}$$

Интегро-дифференциальные уравнения

Интегро -дифференциальное уравнение, как следует из названия, объединяет дифференциальные и интегральные операторы в одно уравнение. ^[1] Существует много версий, включая интегро-дифференциальное уравнение Вольтерры и уравнения типа запаздывания, как определено ниже. ^[3] Например, используя оператор Вольтерры, как определено выше, интегро-дифференциальное уравнение Вольтерры можно записать как: ^[3] Для задач с запаздыванием мы можем определить интегральный оператор запаздывания как: ^[3] где интегро-дифференциальное уравнение запаздывания можно выразить как: ^[3] $${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))+(V_{\alpha }y)(t)}$$ ${\displaystyle ({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)}$ $${\displaystyle ({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)(t):=\int _{\theta (t)}^{t}(t-s)^{-\alpha }\cdot k_{2}(t,s,y(s),y'(s))\,ds}$$ $${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t),y(\theta (t)))+({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)(t).}$$

Интегральные уравнения Вольтерра

Теоремы единственности и существования в 1D

Решение линейного интегрального уравнения Вольтерра первого рода, заданное уравнением: можно описать следующей теоремой единственности и существования. ^[3] Напомним, что интегральный оператор Вольтерра , можно определить следующим образом: ^[3] где и K(t,s) называется ядром и должен быть непрерывным на интервале . ^[3] $${\displaystyle ({\mathcal {V}}y)(t)=g(t)}$$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}:C(I)\to C(I)}$ $${\displaystyle ({\mathcal {V}}\phi )(t):=\int _{t_{0}}^{t}K(t,s)\,\phi (s)\,ds}$$ ${\displaystyle t\in I=[t_{0},T]}$ ${\displaystyle D:=\{(t,s):0\leq s\leq t\leq T\leq \infty \}}$

Теорема  —  Предположим, что удовлетворяет и для некоторого Тогда для любого с интегральным уравнением выше имеет единственное решение в . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\in C(D),\,\partial K/\partial t\in C(D)}$ ${\displaystyle \vert K(t,t)\vert \geq k_{0}>0}$ ${\displaystyle t\in I.}$ ${\displaystyle g\in C^{1}(I)}$ ${\displaystyle g(0)=0}$ ${\displaystyle y\in C(I)}$

Решение линейного интегрального уравнения Вольтерра второго рода, заданное уравнением: ^[3], можно описать следующей теоремой единственности и существования. ^[3] $${\displaystyle y(t)=g(t)+({\mathcal {V}}y)(t)}$$

Теорема  —  Пусть и пусть обозначают резольвентное ядро, связанное с . Тогда для любого интегральное уравнение Вольтерра второго рода имеет единственное решение , и это решение задается формулой: . ${\displaystyle K\in C(D)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle g\in C(I)}$ ${\displaystyle y\in C(I)}$ ${\displaystyle y(t)=g(t)+\int _{0}^{t}R(t,s)\,g(s)\,ds}$

Интегральные уравнения Вольтерра в R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}

Интегральное уравнение Вольтерра второго рода можно выразить следующим образом: ^[3] где , , и . ^[3] Это интегральное уравнение имеет единственное решение, заданное формулой: ^[3] где — ядро ​​резольвенты K . ^[3] $${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{x}\int _{0}^{y}K(x,\xi ,y,\eta )\,u(\xi ,\eta )\,d\eta \,d\xi }$$ ${\displaystyle (x,y)\in \Omega :=[0,X]\times [0,Y]}$ ${\displaystyle g\in C(\Omega )}$ ${\displaystyle K\in C(D_{2})}$ ${\displaystyle D_{2}:=\{(x,\xi ,y,\eta ):0\leq \xi \leq x\leq X,0\leq \eta \leq y\leq Y\}}$ ${\displaystyle u\in C(\Omega )}$ $${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{x}\int _{0}^{y}R(x,\xi ,y,\eta )\,g(\xi ,\eta )\,d\eta \,d\xi }$$ ${\displaystyle R}$

Теоремы существования и единственности уравнений Фредгольма-Вольтерра

Как определено выше, VFIE имеет вид: с и являясь замкнутой ограниченной областью в с кусочно-гладкой границей. ^[3] Интегральный оператор Фредгольма-Вольтерры определяется как: ^[3] В случае, когда ядро ​​K может быть записано как , K называется положительным ядром памяти. ^[3] Имея это в виду, мы теперь можем ввести следующую теорему: ^[3] $${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+({\mathcal {T}}u)(t,x)}$$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}:C(I\times \Omega )\to C(I\times \Omega )}$ $${\displaystyle ({\mathcal {T}}u)(t,x):=\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds.}$$ ${\displaystyle K(t,s,x,\xi )=k(t-s)H(x,\xi )}$

Теорема  —  Если линейный VFIE, заданный как: с удовлетворяет следующим условиям: ${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds}$ ${\displaystyle (t,x)\in I\times \Omega }$

• ${\displaystyle g\in C(I\times \Omega )}$, и
• ${\displaystyle K\in C(D\times \Omega ^{2})}$где и ${\displaystyle D:=\{(t,s):0\leq s\leq t\leq T\}}$ ${\displaystyle \Omega ^{2}=\Omega \times \Omega }$

Тогда VFIE имеет единственное решение, заданное выражением , где называется резольвентным ядром и задается пределом ряда Неймана для ядра и решает уравнения резольвенты: ${\displaystyle u\in C(I\times \Omega )}$ ${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }R(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds}$ ${\displaystyle R\in C(D\times \Omega ^{2})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R(t,s,x,\xi )=K(t,s,x,\xi )+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,v,x,z)R(v,s,z,\xi )\,dz\,dv=K(t,s,x,\xi )+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }R(t,v,x,z)K(v,s,z,\xi )\,dz\,dv}$

Специальные уравнения Вольтерра

Специальный тип уравнения Вольтерра, который используется в различных приложениях, определяется следующим образом: ^[3] где , функция g(t) непрерывна на интервале , а интегральный оператор Вольтерра задается выражением: с . ^[3] $${\displaystyle y(t)=g(t)+(V_{\alpha }y)(t)}$$ ${\displaystyle t\in I=[t_{0},T]}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (V_{\alpha }t)}$ $${\displaystyle (V_{\alpha }t)(t):=\int _{t_{0}}^{t}(t-s)^{-\alpha }\cdot k(t,s,y(s))\,ds}$$ ${\displaystyle (0\leq \alpha <1)}$

Преобразование IVP в интегральные уравнения

В следующем разделе мы приводим пример того, как преобразовать задачу начального значения (IVP) в интегральное уравнение. Для этого есть несколько мотиваций, среди которых то, что интегральные уравнения часто могут быть более легко разрешимы и лучше подходят для доказательства теорем существования и единственности. ^[7]

Следующий пример был представлен Вазвазом на страницах 1 и 2 его книги. ^[1] Мы рассматриваем IVP, заданный уравнением:

$${\displaystyle u'(t)=2tu(t),\,\,\,\,\,\,\,x\geq 0}$$и начальное условие:

$${\displaystyle u(0)=1}$$

Если мы проинтегрируем обе части уравнения, то получим:

$${\displaystyle \int _{0}^{x}u'(t)dt=\int _{0}^{x}2tu(t)dt}$$

и по основной теореме исчисления получаем:

$${\displaystyle u(x)-u(0)=\int _{0}^{x}2tu(t)dt}$$

Переставив уравнение выше, получим интегральное уравнение:

$${\displaystyle u(x)=1+\int _{0}^{x}2tu(t)dt}$$

которое представляет собой интегральное уравнение Вольтерра вида:

$${\displaystyle u(x)=f(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u(t)dt}$$

где K(x,t) называется ядром и равно 2t , а f(x)=1 . ^[1]

Численное решение

Стоит отметить, что интегральные уравнения часто не имеют аналитического решения и должны решаться численно. Примером этого является оценка интегрального уравнения электрического поля (EFIE) или интегрального уравнения магнитного поля (MFIE) над объектом произвольной формы в задаче электромагнитного рассеяния.

Один из методов численного решения требует дискретизации переменных и замены интеграла квадратурной формулой.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}w_{j}K\left(s_{i},t_{j}\right)u(t_{j})=f(s_{i}),\qquad i=0,1,\dots ,n.}$

Тогда у нас есть система с n уравнениями и n переменными. Решая ее, мы получаем значение n переменных

${\displaystyle u(t_{0}),u(t_{1}),\dots ,u(t_{n}).}$

Интегральные уравнения как обобщение уравнений на собственные значения

Некоторые однородные линейные интегральные уравнения можно рассматривать как континуальный предел уравнений собственных значений . Используя индексную нотацию , уравнение собственных значений можно записать как

${\displaystyle \sum _{j}M_{i,j}v_{j}=\lambda v_{i}}$

где M = [ M _i,j ] — матрица, v — один из ее собственных векторов, а λ — соответствующее собственное значение.

Принимая континуальный предел, т.е. заменяя дискретные индексы i и j непрерывными переменными x и y , получаем

${\displaystyle \int K(x,y)\,\varphi (y)\,dy=\lambda \,\varphi (x),}$

где сумма по j заменена интегралом по y , а матрица M и вектор v заменены ядром K ( x , y ) и собственной функцией φ ( y ) . (Пределы интеграла фиксированы, аналогично пределам суммы по j .) Это дает линейное однородное уравнение Фредгольма второго типа.

В общем случае K ( x , y ) может быть распределением , а не функцией в строгом смысле. Если распределение K имеет носитель только в точке x = y , то интегральное уравнение сводится к дифференциальному уравнению собственных функций .

В общем случае интегральные уравнения Вольтерра и Фредгольма могут возникнуть из одного дифференциального уравнения в зависимости от того, какие условия применяются на границе области его решения.

Интегральные уравнения Винера–Хопфа

$${\displaystyle y(t)=\lambda x(t)+\int _{0}^{\infty }k(t-s)\,x(s)\,ds,\qquad 0\leq t<\infty .}$$Первоначально такие уравнения изучались в связи с задачами переноса излучения, а в последнее время они были связаны с решением граничных интегральных уравнений для плоских задач, в которых граница является лишь кусочно-гладкой.

Уравнения Гаммерштейна

Уравнение Гаммерштейна — это нелинейное интегральное уравнение Вольтерра первого рода вида: ^[3] При определенных условиях регулярности уравнение эквивалентно неявному интегральному уравнению Вольтерра второго рода: ^[3] где: Однако уравнение может быть также выражено в операторной форме, что мотивирует определение следующего оператора, называемого нелинейным оператором Вольтерра-Гаммерштейна: ^[3] Здесь — гладкая функция, в то время как ядро ​​K может быть непрерывным, т. е. ограниченным или слабо сингулярным. ^[3] Соответствующее интегральное уравнение Вольтерра второго рода, называемое интегральным уравнением Вольтерра-Гаммерштейна второго рода, или просто уравнением Гаммерштейна для краткости, может быть выражено как: ^[3] В некоторых приложениях нелинейность функции G можно рассматривать как только полулинейную в виде: ^[3] В этом случае мы имеем следующее полулинейное интегральное уравнение Вольтерра: ^[3] В этой форме мы можем сформулировать теорему существования и единственности для полулинейного интегрального уравнения Гаммерштейна. ^[3] $${\displaystyle g(t)=\int _{0}^{t}K(t,s)\,G(s,y(s))\,ds.}$$ $${\displaystyle G(t,y(t))=g_{1}(t)-\int _{0}^{t}K_{1}(t,s)\,G(s,y(s))\,ds}$$ $${\displaystyle g_{1}(t):={\frac {g'(t)}{K(t,t)}}\,\,\,\,\,\,\,{\text{and}}\,\,\,\,\,\,\,K_{1}(t,s):=-{\frac {1}{K(t,t)}}{\frac {\partial K(t,s)}{\partial t}}.}$$ $${\displaystyle ({\mathcal {H}}y)(t):=\int _{0}^{t}K(t,s)\,G(s,y(s))\,ds}$$ ${\displaystyle G:I\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle y(t)=g(t)+({\mathcal {H}}y)(t)}$$ $${\displaystyle G(s,y)=y+H(s,y)}$$ $${\displaystyle y(t)=g(t)+({\mathcal {H}}y)(t)=g(t)+\int _{0}^{t}K(t,s)[y(s)+H(s,y(s))]\,ds}$$

Теорема  —  Предположим, что полулинейное уравнение Гаммерштейна имеет единственное решение и является функцией Липшица. Тогда решение этого уравнения можно записать в виде: где обозначает единственное решение линейной части уравнения выше и задается как: с обозначением ядра резольвенты. ${\displaystyle y\in C(I)}$ ${\displaystyle H:I\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle y(t)=y_{l}(t)+\int _{0}^{t}R(t,s)\,H(s,y(s))\,ds}$ ${\displaystyle y_{l}(t)}$ ${\displaystyle y_{l}(t)=g(t)+\int _{0}^{t}R(t,s)\,g(s)\,ds}$ ${\displaystyle R(t,s)}$

Мы также можем записать уравнение Гаммерштейна, используя другой оператор, называемый оператором Немыцкого, или оператором подстановки, определяемый следующим образом: ^[3] Подробнее об этом можно узнать на странице 75 этой книги. ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ $${\displaystyle ({\mathcal {N}}\phi )(t):=G(t,\phi (t))}$$

Приложения

Интегральные уравнения важны во многих приложениях. Задачи, в которых встречаются интегральные уравнения, включают перенос излучения и колебания струны, мембраны или оси. Задачи колебания также могут быть решены как дифференциальные уравнения .

• Актуарная наука (теория разорения ^[8] )
• Вычислительная электродинамика
  • Метод граничных элементов
• Обратные задачи
  • Уравнение Марченко ( обратное преобразование рассеяния )
• Ценообразование опционов при скачкообразной диффузии ^[9]
• Лучистый перенос
• Теория обновления ^[10]
• Вязкоупругость
• Механика жидкости ^{[11] [12]}

Смотрите также

• Дифференциальное уравнение
• Интегро-дифференциальное уравнение
• Теория руин
• Интегральное уравнение Вольтерра

Библиография

• Агарвал, Рави П. и Донал О'Реган. Интегральные и интегродифференциальные уравнения: теория, метод и приложения. Gordon and Breach Science Publishers, 2000. ^[13]
• Бруннер, Герман. Методы коллокации для интегральных уравнений Вольтерра и связанных с ними функционально-дифференциальных уравнений. Cambridge University Press, 2004. ^[3]
• Бертон, Т. А. Интегральные и дифференциальные уравнения Вольтерры. Elsevier, 2005. ^[14]
• Глава 7 It Mod 02-14-05 - Инженерный колледж Айры А. Фултона. https://www.et.byu.edu/~vps/ET502WWW/NOTES/CH7m.pdf. ^[15]
• Кордуняну, К. Интегральные уравнения и их применение. Cambridge University Press, 2008. ^[16]
• Хакбуш, Вольфганг. Теория интегральных уравнений и численное решение. Биркхойзер, 1995. ^[7]
• Хохштадт, Гарри. Интегральные уравнения. Wiley-Interscience/John Wiley & Sons, 1989. ^[17]
• «Интегральное уравнение». Из Wolfram MathWorld, https://mathworld.wolfram.com/IntegralEquation.html. ^[18]
• «Интегральное уравнение». Интегральное уравнение — Энциклопедия математики, https://encyclopediaofmath.org/wiki/Singular_integral_equations/Integral_equation. ^[19]
• Джерри, Абдул Дж. Введение в интегральные уравнения с приложениями. Sampling Publishing, 2007. ^[20]
• Пипкин, А.С. Курс интегральных уравнений. Springer-Verlag, 1991. ^[21]
• Полянин АД, и Александр В. Манжиров. Справочник по интегральным уравнениям. Chapman & Hall/CRC, 2008. ^[22]
• Вазваз, Абдул-Маджид. Первый курс интегральных уравнений. World Scientific, 2015. ^[1]

Ссылки

1. Вазваз, Абдул-Маджид (2005). Первый курс интегральных уравнений . World Scientific.
2. admin (2022-09-10). "Уравнения Максвелла: вывод в интегральной и дифференциальной форме". Ox Science . Получено 2022-12-10 .
3. Бруннер, Герман (2004). Методы коллокации для интегральных уравнений Вольтерра и связанных с ними функционально-дифференциальных уравнений . Издательство Кембриджского университета.
4. Bart, GR; Warnock, RL (ноябрь 1973 г.). «Линейные интегральные уравнения третьего рода». Журнал SIAM по математическому анализу . 4 (4): 609–622. doi :10.1137/0504053. ISSN  0036-1410.
5. Шулая, Д. (2017-12-01). "Интегральные уравнения третьего рода для случая кусочно-монотонных коэффициентов". Труды Математического института им. А. Размадзе . 171 (3): 396–410. doi : 10.1016/j.trmi.2017.05.002 . ISSN  2346-8092.
6. Сукаванам, Н. (1984-05-01). "Теория типа Фредгольма для линейных интегральных уравнений третьего рода". Журнал математического анализа и приложений . 100 (2): 478–485. doi : 10.1016/0022-247X(84)90096-9 . ISSN  0022-247X.
7. Хакбуш, Вольфганг (1995). Теория интегральных уравнений и численное решение . Биркхаузер.
8. «Конспект лекций по теории риска» (PDF) . 2010.
9. Sachs, EW; Strauss, AK (2008-11-01). "Эффективное решение частного интегро-дифференциального уравнения в финансах". Applied Numerical Mathematics . 58 (11): 1687–1703. doi :10.1016/j.apnum.2007.11.002. ISSN  0168-9274.
10. Феллер, Вилли (1941). «Об интегральном уравнении теории восстановления». Анналы математической статистики . 12 (3): 243–267. ISSN  0003-4851.
11. Дадди-Мусса-Идер, А.; Вильфан, А.; Голестанян, Р. (6 апреля 2022 г.). «Диффузиофоретическое движение изотропной активной коллоидной частицы вблизи диска конечного размера, встроенного в плоский интерфейс жидкость–жидкость». Журнал механики жидкости . 940 : A12. arXiv : 2109.14437 . doi : 10.1017/jfm.2022.232.
12. Дадди-Мусса-Идер, А.; Лисицки, М.; Лёвен, Х .; Менцель, А.М. (5 февраля 2020 г.). «Динамика композита микропловец–микротромбоцит». Physics of Fluids . 32 (2): 021902. arXiv : 2001.06646 . doi :10.1063/1.5142054.
13. Донал., Агарвал, Рави П. О'Реган (2000). Интегральные и интегродифференциальные уравнения: теория, метод и приложения. Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 90-5699-221-X. OCLC  44617552.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
14. Бертон, ТА (2005). Интегральные и дифференциальные уравнения Вольтерра . Elsevier.
15. "Глава 7 It Mod 02-14-05 - Инженерный колледж Айры А. Фултона" (PDF) .
16. Кордуняну, К. (2008). Интегральные уравнения и приложения . Издательство Кембриджского университета.
17. Хохштадт, Гарри (1989). Интегральные уравнения . Wiley-Interscience/John Wiley & Sons.
18. «Интегральное уравнение».
19. "Интегральное уравнение - Энциклопедия математики". encyclopediaofmath.org . Получено 2022-11-14 .
20. Джерри, Абдул Дж. Введение в интегральные уравнения с приложениями. ISBN 0-9673301-1-4. OCLC  852490911.
21. Пипкин, А.С. (1991). Курс интегральных уравнений . Springer-Verlag.
22. Полеянин, А. Д. (2008). Справочник по интегральным уравнениям . Chapman & Hall/CRC.

Дальнейшее чтение

• Кендалл Э. Аткинсон. Численное решение интегральных уравнений второго рода . Кембриджские монографии по прикладной и вычислительной математике, 1997.
• Джордж Арфкен и Ганс Вебер. Математические методы для физиков . Harcourt/Academic Press, 2000.
• Гарри Бейтман (1910) История и современное состояние теории интегральных уравнений, Доклад Британской ассоциации .
• Андрей Д. Полянин и Александр В. Манжиров Справочник по интегральным уравнениям . CRC Press, Бока-Ратон, 1998. ISBN 0-8493-2876-4 . 
• ET Whittaker и GN Watson . Курс современного анализа. Кембриджская математическая библиотека.
• М. Краснов, А. Киселев, Г. Макаренко, Задачи и упражнения по интегральным уравнениям , Издательство Мир, Москва, 1971
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Глава 19. Интегральные уравнения и обратная теория". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3-е изд.). Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Архивировано из оригинала 2011-08-11 . Получено 2011-08-17 .

Внешние ссылки

• Интегральные уравнения: точные решения в EqWorld: Мир математических уравнений.
• Интегральные уравнения: Индекс в EqWorld: Мир математических уравнений.
• «Интегральное уравнение», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Интегральные уравнения ( MIT OpenCourseWare )