Распределение (дифференциальная геометрия)

В дифференциальной геометрии , дисциплине в математике , распределение на многообразии — это задание векторных подпространств, удовлетворяющих определенным свойствам. В наиболее распространенных ситуациях распределение предлагается как векторное подрасслоение касательного расслоения . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\mapsto \Delta _{x}\subseteq T_{x}M}$ ${\displaystyle TM}$

Распределения, удовлетворяющие дополнительному условию интегрируемости, порождают слоения , т. е. разбиения многообразия на меньшие подмногообразия. Эти понятия имеют несколько приложений во многих областях математики, включая интегрируемые системы , геометрию Пуассона , некоммутативную геометрию , субриманову геометрию , дифференциальную топологию .

Несмотря на то, что они имеют одинаковое название, распределения, представленные в этой статье, не имеют ничего общего с распределениями в смысле анализа.

Определение

Пусть будет гладким многообразием; (гладкое) распределение назначает любой точке векторное подпространство гладким образом. Точнее, состоит из набора векторных подпространств со следующим свойством: вокруг любого существуют окрестность и набор векторных полей такие, что для любой точки охватывает ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \Delta _{x}\subset T_{x}M}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \{\Delta _{x}\subset T_{x}M\}_{x\in M}}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle N_{x}\subset M}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$ ${\displaystyle y\in N_{x}}$ ${\displaystyle \{X_{1}(y),\ldots ,X_{k}(y)\}=\Delta _{y}.}$

Набор гладких векторных полей также называется локальным базисом . Они не обязаны быть линейно независимыми в каждой точке, и поэтому формально не являются базисом векторного пространства в каждой точке; таким образом, термин локальный генерирующий набор может быть более подходящим. Обозначение используется для обозначения как назначения, так и подмножества . ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{k}\}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle x\mapsto \Delta _{x}}$ ${\displaystyle \Delta =\amalg _{x\in M}\Delta _{x}\subseteq TM}$

Регулярные рассылки

При заданном целом числе гладкое распределение на называется регулярным ранга , если все подпространства имеют одинаковую размерность . Локально это равносильно требованию, чтобы каждый локальный базис задавался линейно независимыми векторными полями. ${\displaystyle n\leq m=\mathrm {dim} (M)}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta _{x}\subset T_{x}M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Более компактно, регулярное распределение — это векторное подрасслоение ранга (это на самом деле наиболее часто используемое определение). Ранговое распределение иногда называют распределением -плоскости, а когда , говорят о гиперплоскостных распределениях. ${\displaystyle \Delta \subset TM}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=m-1}$

Специальные классы дистрибуций

Если не указано иное, под «распределением» мы подразумеваем гладкое регулярное распределение (в смысле, изложенном выше).

Инволютивные распределения

Для данного распределения его сечения состоят из векторных полей на , образующих векторное подпространство пространства всех векторных полей на . (Обозначение: — пространство сечений ) Распределение называется инволютивным, если — также подалгебра Ли : другими словами, для любых двух векторных полей скобка Ли принадлежит . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \Gamma (\Delta )\subseteq \Gamma (TM)={\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle TM.}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Gamma (\Delta )\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle X,Y\in \Gamma (\Delta )\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle \Gamma (\Delta )\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$

Локально это условие означает, что для каждой точки существует локальный базис распределения в окрестности такой, что для всех скобка Ли находится в пределах , т.е. является линейной комбинацией ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$ ${\displaystyle [X_{i},X_{j}]}$ ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$ ${\displaystyle [X_{i},X_{j}]}$ ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}.}$

Инволютивные распределения являются фундаментальным компонентом в изучении интегрируемых систем . Схожая идея встречается в гамильтоновой механике : две функции и на симплектическом многообразии называются находящимися во взаимной инволюции, если их скобка Пуассона обращается в нуль. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Интегрируемые распределения и слоения

Интегральное многообразие для рангового распределения — это подмногообразие размерности такое, что для любого . Распределение называется интегрируемым, если через любую точку проходит интегральное многообразие. Базовые пространства расслоения, таким образом, являются непересекающимися, максимальными , связными интегральными многообразиями, также называемыми листьями ; то есть определяет n-мерное слоение . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle N\subset M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T_{x}N=\Delta _{x}}$ ${\displaystyle x\in N}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \Delta \subset TM}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle M}$

Локально интегрируемость означает, что для каждой точки существует локальная карта такая, что для каждого пространство охватывается координатными векторами . Другими словами, каждая точка допускает карту фолиации, т.е. распределение касается листов фолиации. Более того, эта локальная характеристика совпадает с определением интегрируемости для a -структур , когда есть группа действительных обратимых верхнетреугольных блочных матриц (с и -блоками). ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle (U,\{\chi _{1},\ldots ,\chi _{n}\})}$ ${\displaystyle y\in U}$ ${\displaystyle \Delta _{y}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \chi _{1}}}(y),\ldots ,{\frac {\partial }{\partial \chi _{n}}}(y)}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (n\times n)}$ ${\displaystyle (m-n,m-n)}$

Легко видеть, что любое интегрируемое распределение автоматически инволютивно. Обратное менее тривиально, но выполняется по теореме Фробениуса .

Слабо регулярные распределения

При любом распределении соответствующий флаг Лжи представляет собой градацию, определяемую как ${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$

${\displaystyle \Delta ^{(0)}\subseteq \Delta ^{(1)}\subseteq \ldots \subseteq \Delta ^{(i)}\subseteq \Delta ^{(i+1)}\subseteq \ldots }$

где , и . Другими словами, обозначает множество векторных полей, охватываемых -итерированными скобками Ли элементов в . Некоторые авторы используют отрицательную убывающую градуировку для определения. ${\displaystyle \Delta ^{(0)}:=\Gamma (\Delta )}$ ${\displaystyle \Delta ^{(1)}:=\langle [\Delta ^{(0)},\Delta ^{(0)}]\rangle _{{\mathcal {C}}^{\infty }(M)}}$ ${\displaystyle \Delta ^{(i+1)}:=\langle [\Delta ^{(i)},\Delta ^{(0)}]\rangle _{{\mathcal {C}}^{\infty }(M)}}$ ${\displaystyle \Delta ^{(i)}\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Gamma (\Delta )}$

Тогда называется слабо регулярным (или просто регулярным некоторыми авторами), если существует последовательность вложенных векторных подрасслоений такая, что (следовательно ). ^[1] Обратите внимание, что в таком случае ассоциированный флаг Ли стабилизируется в определенной точке , поскольку ранги ограничены сверху . Тогда строка целых чисел называется вектором роста . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \{T^{i}M\subseteq TM\}_{i}}$ ${\displaystyle \Gamma (T^{i}M)=\Delta ^{(i)}}$ ${\displaystyle T^{0}M=\Delta }$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle T^{i}M}$ ${\displaystyle \mathrm {rank} (TM)=\mathrm {dim} (M)}$ ${\displaystyle (\mathrm {rank} (\Delta ^{(0)}),\mathrm {rank} (\Delta ^{(1)}),\ldots ,\mathrm {rank} (\Delta ^{(m)}))}$ ${\displaystyle \Delta }$

Любое слабо регулярное распределение имеет связанное градуированное векторное расслоение Более того, скобка Ли векторных полей спускается для любого до -линейного морфизма расслоения , называемого -кривизной . В частности, -кривизна тождественно равна нулю тогда и только тогда, когда распределение инволютивно. $${\displaystyle \mathrm {gr} (TM):=T^{0}M\oplus {\Big (}\bigoplus _{i=0}^{m-1}T^{i+1}M/T^{i}M{\Big )}\oplus TM/T^{m}M.}$$ ${\displaystyle i,j=0,\ldots ,m}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \mathrm {gr} _{i}(TM)\times \mathrm {gr} _{j}(TM)\to \mathrm {gr} _{i+j+1}(TM)}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle (0,0)}$

Соединяя кривизны, получаем морфизм , также называемый скобкой Леви , который превращает в пучок нильпотентных алгебр Ли; по этой причине также называется нильпотентизацией . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {L}}:\mathrm {gr} (TM)\times \mathrm {gr} (TM)\to \mathrm {gr} (TM)}$ ${\displaystyle \mathrm {gr} (TM)}$ ${\displaystyle (\mathrm {gr} (TM),{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \Delta }$

Однако расслоение в общем случае не является локально тривиальным, поскольку алгебры Ли не изоморфны при изменении точки . Если это происходит, то слабо регулярное распределение также называется регулярным (или сильно регулярным некоторыми авторами). ^{[ необходимо пояснение ]} Обратите внимание, что используемые здесь названия (сильно, слабо) регулярно совершенно не связаны с понятием регулярности, обсуждавшимся выше (которое всегда предполагается), т. е. с постоянной размерностью пространств . ${\displaystyle \mathrm {gr} (TM)\to M}$ ${\displaystyle \mathrm {gr} _{i}(T_{x}M):=T_{x}^{i}M/T_{x}^{i+1}M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta _{x}}$

Распределения, генерирующие скобки

Распределение называется скобкообразующим (или неголономным , или говорят, что оно удовлетворяет условию Хермандера ), если взятие конечного числа скобок Ли элементов в достаточно для генерации всего пространства векторных полей на . С введенными выше обозначениями такое условие можно записать как для определенных ; тогда говорят также, что является скобкообразующим в шагах , или имеет глубину . ${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$ ${\displaystyle \Gamma (\Delta )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta ^{(m)}={\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle m+1}$

Очевидно, что ассоциированный флаг Ли распределения, порождающего скобки, стабилизируется в точке . Несмотря на то, что быть слабо регулярным и быть порождающим скобки — это два независимых свойства (см. примеры ниже), когда распределение удовлетворяет обоим из них, целое число из двух определений одинаково. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

Благодаря теореме Чжоу-Рашевского , если задано распределение, порождающее скобки , на связном многообразии, любые две точки в можно соединить касательным путем к распределению. ^{[2] [3]} ${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$ ${\displaystyle M}$

Примеры регулярных распределений

Интегрируемые распределения

• Любое векторное поле на определяет распределение ранга 1, устанавливая , которое автоматически интегрируемо: изображение любой интегральной кривой является интегральным многообразием. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta _{x}:=\langle X_{x}\rangle \subseteq T_{x}M}$ ${\displaystyle \gamma :I\to M}$
• Тривиальное распределение ранга на генерируется первыми координатными векторными полями . Оно автоматически интегрируемо, а интегральные многообразия определяются уравнениями , для любых констант . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}}$ ${\displaystyle \{x_{i}=c_{i}\}_{i=k+1,\ldots ,n}}$ ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} }$
• В общем случае любое инволютивное/интегрируемое распределение является слабо регулярным (при этом для каждого ), но оно никогда не является порождающим скобки. ${\displaystyle \Delta ^{(i)}=\Gamma (\Delta )}$ ${\displaystyle i}$

Неинтегрируемые распределения

• Распределение Мартине на задается соотношением , для ; эквивалентно, оно порождается векторными полями и . Оно является скобкообразующим, поскольку , но оно не является слабо регулярным: имеет ранг 3 всюду, кроме поверхности . ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Delta =\ker(\omega )\subseteq TM}$ ${\displaystyle \omega =dy-z^{2}dx\in \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}+z^{2}{\frac {\partial }{\partial y}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}}$ ${\displaystyle \Delta ^{(2)}={\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle \Delta ^{(1)}}$ ${\displaystyle z=0}$
• Контактное распределение на задается как , для ; эквивалентно, оно порождается векторными полями и , для . Оно слабо регулярно, с растущим вектором , и образует скобки, с . Можно также определить абстрактную контактную структуру на многообразии как гиперплоское распределение, которое максимально неинтегрируемо, т.е. оно максимально далеко от инволютивности. Аналог теоремы Дарбу показывает, что такая структура имеет единственную локальную модель, описанную выше. ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2n+1}}$ ${\displaystyle \Delta =\ker(\omega )\subseteq TM}$ ${\displaystyle \omega =dz+\sum _{i=1}^{n}x_{i}dy_{i}\in \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y_{i}}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+y_{i}{\frac {\partial }{\partial z}}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle (2n,2n+1)}$ ${\displaystyle \Delta ^{(1)}={\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle M^{2n+1}}$
• Распределение Энгеля на задается как , для и ; эквивалентно, оно порождается векторными полями и . Оно слабо регулярно, с вектором роста и порождающим скобки. Можно также определить абстрактную структуру Энгеля на многообразии как слабо регулярное распределение ранга 2, такое, что имеет ранг 3 и имеет ранг 4; Энгель доказал, что такая структура имеет единственную локальную модель, описанную выше. ^[4] ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \Delta =\ker(\omega _{1})\cap \ker(\omega _{2})\subseteq TM}$ ${\displaystyle \omega _{1}=dz-wdx\in \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle \omega _{2}=dy-zdx\in \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}+z{\frac {\partial }{\partial y}}+w{\frac {\partial }{\partial z}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial w}}}$ ${\displaystyle (2,3,4)}$ ${\displaystyle M^{4}}$ ${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$ ${\displaystyle \Delta ^{(1)}}$ ${\displaystyle \Delta ^{(2)}}$
• В общем случае структура Гурса на многообразии — это распределение ранга 2, которое является слабо регулярным и порождающим скобки, с вектором роста . Для и восстанавливаются, соответственно, контактные распределения на 3-мерных многообразиях и распределения Энгеля. Структуры Гурса локально диффеоморфны распределению Картана струйных расслоений . ${\displaystyle M^{k+2}}$ ${\displaystyle (2,3,\ldots ,k+1,k+2)}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle J^{k}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$

Единичные распределения

Сингулярное распределение , обобщенное распределение или распределение Стефана-Суссмана — это гладкое распределение, которое не является регулярным. Это означает, что подпространства могут иметь разные размерности, и, следовательно, подмножество больше не является гладким подрасслоением. ${\displaystyle \Delta _{x}\subset T_{x}M}$ ${\displaystyle \Delta \subset TM}$

В частности, число элементов в локальном базисе будет меняться с , и эти векторные поля больше не будут линейно независимыми везде. Нетрудно увидеть, что размерность полунепрерывна снизу , так что в особых точках размерность ниже, чем в соседних точках. ${\displaystyle \Delta _{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Delta _{x}}$

Интегрируемость и сингулярные слоения

Определения интегральных многообразий и интегрируемости, данные выше, применимы также к особому случаю (снимая требование фиксированной размерности). Однако теорема Фробениуса в этом контексте не выполняется, а инволютивность в общем случае недостаточна для интегрируемости (существуют контрпримеры в низких размерностях).

После нескольких частичных результатов ^[5] проблема интегрируемости для сингулярных распределений была полностью решена теоремой, независимо доказанной Стефаном ^{[6] [7]} и Сассманном. ^{[8] [9]} Она утверждает, что сингулярное распределение интегрируемо тогда и только тогда, когда выполняются следующие два свойства: ${\displaystyle \Delta }$

• ${\displaystyle \Delta }$генерируется семейством векторных полей; ${\displaystyle F\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$
• ${\displaystyle \Delta }$инвариантен относительно каждого , т.е. где есть поток , и . ${\displaystyle X\in F}$ ${\displaystyle (\phi _{X}^{t})_{*}(\Delta _{y})\subseteq \Delta _{\phi _{X}^{t}(y)}}$ ${\displaystyle \phi _{X}^{t}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle y\in \mathrm {dom} (X)}$

Аналогично регулярному случаю, интегрируемое сингулярное распределение определяет сингулярное слоение , которое интуитивно состоит из разбиения на подмногообразия (максимальные интегральные многообразия ) различных размерностей. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta }$

Определение сингулярного слоения можно уточнить несколькими эквивалентными способами. На самом деле, в литературе существует множество вариаций, переформулировок и обобщений теоремы Стефана-Суссмана, использующих различные понятия сингулярных слоений в зависимости от того, какие приложения имеются в виду, например, геометрия Пуассона ^{[10] [11]} или некоммутативная геометрия . ^{[12] [13]}

Примеры

• Если задано действие группы Ли группы Ли на многообразии , ее бесконечно малые генераторы охватывают сингулярное распределение, которое всегда интегрируемо; листы ассоциированного сингулярного слоения являются в точности орбитами действия группы. Распределение/слоение является регулярным тогда и только тогда, когда действие свободно. ${\displaystyle M}$
• Для пуассонова многообразия образ является сингулярным распределением, которое всегда интегрируемо; листы соответствующего сингулярного слоения являются в точности симплектическими листами . Распределение/слоение является регулярным тогда и только тогда, когда пуассоново многообразие является регулярным. ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle \pi ^{\sharp }=\iota _{\pi }:T^{*}M\to TM}$ ${\displaystyle (M,\pi )}$
• В более общем смысле, образ якорного отображения любого алгеброида Ли определяет сингулярное распределение, которое автоматически интегрируемо, а листья ассоциированного сингулярного слоения являются в точности листьями алгеброида Ли. Распределение/слоение является регулярным тогда и только тогда, когда имеет постоянный ранг, т.е. алгеброид Ли является регулярным. Рассматривая, соответственно, алгеброид Ли действия и алгеброид Ли котангенса , можно восстановить два приведенных выше примера. ${\displaystyle \rho :A\to TM}$ ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle M\times {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T^{*}M}$
• В динамических системах сингулярное распределение возникает из набора векторных полей, коммутирующих с заданным.
• Существуют также примеры и приложения в теории управления , где обобщенное распределение представляет собой бесконечно малые ограничения системы.

Ссылки

1. Tanaka, Noboru (1970-01-01). "О дифференциальных системах, градуированных алгебрах Ли и псевдогруппах". Kyoto Journal of Mathematics . 10 (1). doi : 10.1215/kjm/1250523814 . ISSN  2156-2261.
2. Чоу, Вэй-Лян (1 декабря 1940 г.). «Über Systeme von Liarren Partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung». Mathematische Annalen (на немецком языке). 117 (1): 98–105. дои : 10.1007/BF01450011. ISSN  1432-1807. S2CID  121523670.
3. Рашевский, П. К. (1938). «Любые две точки вполне неголономного пространства можно соединить допустимой прямой». Уч. Зап. Пед. Ин-та им. Либкнехта, Сер. Физ. Матем. (на русском языке). 2 : 83–94.
4. Энгель, Фридрих (1889). «Zur Invariantentheorie der Systeme Pfaff'scher Gleichungen». Лейпц. Бер. (на немецком языке). 41 : 157–176.
5. Лаво, Сильвен (2018-12-01). «Краткое руководство по теоремам интеграции обобщенных распределений». Дифференциальная геометрия и ее приложения . 61 : 42–58. arXiv : 1710.01627 . doi :10.1016/j.difgeo.2018.07.005. ISSN  0926-2245. S2CID  119669163.
6. Стефан, П. (1974). «Доступность и слоения с особенностями». Бюллетень Американского математического общества . 80 (6): 1142–1145. doi : 10.1090/S0002-9904-1974-13648-7 . ISSN  0002-9904.
7. Стефан, П. (1974). «Доступные множества, орбиты и слоения с особенностями». Труды Лондонского математического общества . s3-29 (4): 699–713. doi :10.1112/plms/s3-29.4.699. ISSN  1460-244X.
8. Sussmann, Hector J. (1973). «Орбиты семейств векторных полей и интегрируемость систем с особенностями». Бюллетень Американского математического общества . 79 (1): 197–199. doi : 10.1090/S0002-9904-1973-13152-0 . ISSN  0002-9904.
9. Sussmann, Héctor J. (1973). «Орбиты семейств векторных полей и интегрируемость распределений». Труды Американского математического общества . 180 : 171–188. doi : 10.1090/S0002-9947-1973-0321133-2 . ​​ISSN  0002-9947.
10. Андроулидакис, Яковос; Замбон, Марко (2016-04-28). «Сингулярные слоения Стефана–Суссманна, сингулярные подалгеброиды и их ассоциированные пучки». Международный журнал геометрических методов в современной физике . 13 (Доп. 1): 1641001–1641267. Bibcode : 2016IJGMM..1341001A. doi : 10.1142/S0219887816410012. ISSN  0219-8878.
11. Лоран-Жангу, Камилла; Лавау, Сильвен; Штробль, Томас (2020). «Универсальный ∞-алгеброид лжи сингулярного слоения». ELibM – Док. Математика . 25 (2020): 1571–1652. дои : 10.25537/dm.2020v25.1571-1652.
12. Дебор, Клэр (2001-07-01). "Голономические группоиды сингулярных слоений". Журнал дифференциальной геометрии . 58 (3). doi : 10.4310/jdg/1090348356 . ISSN  0022-040X. S2CID  54714044.
13. Андрулидакис, Яковос; Скандалис, Жорж (1 января 2009 г.). «Группоид голономии особого слоения». Journal für die reine und angewandte Mathematik (Журнал Крелля) . 2009 (626): 1–37. arXiv : math/0612370 . дои : 10.1515/CRELLE.2009.001. ISSN  1435-5345. S2CID  14450917.

Книги, конспекты лекций и внешние ссылки

• Уильям М. Бутби. Раздел IV. 8 в Введении в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию, Academic Press, Сан-Диего, Калифорния, 2003.
• Джон М. Ли, Глава 19 в книге «Введение в гладкие многообразия», Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 2003.
• Ричард Монтгомери, главы 2, 4 и 6 в книге «Обзор субримановых геометрий, их геодезических и приложений». Математические обзоры и монографии 91. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002.
• Альваро дель Пино, Топологические аспекты изучения касательных распределений. Тексты по математике. Серия Б, 48 . Университет Коимбры, 2019.
• «Инволютивное распределение», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

В данной статье использованы материалы из Distribution on PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .