График интегральной функции гиперболического синуса Shi( z ) в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i
Специальная функция, определяемая интегралом
Si( x ) (синий) и Ci( x ) (зеленый) показаны на одном графике.Интегральный синус в комплексной плоскости, построенный с использованием варианта раскраски домена . Интегральный косинус в комплексной плоскости. Обратите внимание на ветвь, срезанную вдоль отрицательной действительной оси. В математике тригонометрические интегралы — это семейство неэлементарных интегралов, включающих тригонометрические функции .
Интеграл синуса График Si( x ) для 0 ≤ x ≤ 8 π . График функции косинуса интеграла Ci( z ) в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i Различные определения интегрального синуса : Си ( х ) = ∫ 0 х грех т т г т {\displaystyle \operatorname {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt} си ( х ) = − ∫ х ∞ грех т т г т . {\displaystyle \operatorname {si} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt~.}
Обратите внимание, что подынтегральное выражение — это функция sinc , а также нулевая сферическая функция Бесселя . Поскольку sinc — четная целая функция ( голоморфная по всей комплексной плоскости), Si — целая, нечетная, и интеграл в ее определении можно брать по любому пути, соединяющему конечные точки. грех ( т ) т {\displaystyle {\frac {\sin(t)}{t}}}
По определению, Si( x ) является первообразной sin x / x , значение которой равно нулю при x = 0si( x ) является первообразной, значение которой равно нулю при x = ∞интегралом Дирихле , Си ( х ) − си ( х ) = ∫ 0 ∞ грех т т г т = π 2 или Си ( х ) = π 2 + си ( х ) . {\displaystyle \operatorname {Si} (x)-\operatorname {si} (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt={\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ или }}\quad \operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}+\operatorname {si} (x)~.}
При обработке сигналов колебания синусоидального интеграла вызывают выбросы и артефакты звона при использовании sinc-фильтра , а также звон в частотной области при использовании усеченного sinc-фильтра в качестве фильтра нижних частот .
С этим связан феномен Гиббса : если рассматривать интегральный синус как свертку функции sinc со ступенчатой функцией Хевисайда , то это соответствует усечению ряда Фурье , что является причиной феномена Гиббса.
Интеграл косинуса График Ci( x ) для 0 < x ≤ 8 π Различные определения интегрального косинуса таковы
, где γ ≈ 0,57721566 ... — константа Эйлера–Маскерони . В некоторых текстах вместо Ci используется ci . Цин ( х ) = ∫ 0 х 1 − потому что т т г т , {\displaystyle \operatorname {Cin} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt~,} Ки ( х ) = − ∫ х ∞ потому что т т г т = γ + вн х − ∫ 0 х 1 − потому что т т г т для | Арг ( х ) | < π , {\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt=\gamma +\ln x-\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ для }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,}
Ci( x ) является первообразной cos x / x (которая исчезает при ). Два определения связаны соотношением х → ∞ {\displaystyle x\to \infty } Ки ( х ) = γ + вн х − Цин ( х ) . {\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Cin} (x)~.}
Cin — четная целая функция . По этой причине некоторые тексты рассматривают Cin как первичную функцию и выводят Ci через Cin .
Интеграл гиперболического синуса Интеграл гиперболического синуса определяется как Shi ( x ) = ∫ 0 x sinh ( t ) t d t . {\displaystyle \operatorname {Shi} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh(t)}{t}}\,dt.}
Он связан с обычным синусоидальным интегралом соотношением Si ( i x ) = i Shi ( x ) . {\displaystyle \operatorname {Si} (ix)=i\operatorname {Shi} (x).}
Гиперболический косинусный интеграл Гиперболический косинусный интеграл равен
График функции гиперболического косинуса Chi( z ) в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i Chi ( x ) = γ + ln x + ∫ 0 x cosh t − 1 t d t for | Arg ( x ) | < π , {\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,} постоянная Эйлера–Маскерони . γ {\displaystyle \gamma }
Имеет расширение серии Chi ( x ) = γ + ln ( x ) + x 2 4 + x 4 96 + x 6 4320 + x 8 322560 + x 10 36288000 + O ( x 12 ) . {\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln(x)+{\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {x^{4}}{96}}+{\frac {x^{6}}{4320}}+{\frac {x^{8}}{322560}}+{\frac {x^{10}}{36288000}}+O(x^{12}).}
Вспомогательные функции Тригонометрические интегралы можно понять в терминах так называемых « вспомогательных функций ».
Используя эти функции, тригонометрические интегралы можно переформулировать следующим образом (ср. Абрамовиц и Стеган, стр. 232): f ( x ) ≡ ∫ 0 ∞ sin ( t ) t + x d t = ∫ 0 ∞ e − x t t 2 + 1 d t = Ci ( x ) sin ( x ) + [ π 2 − Si ( x ) ] cos ( x ) , g ( x ) ≡ ∫ 0 ∞ cos ( t ) t + x d t = ∫ 0 ∞ t e − x t t 2 + 1 d t = − Ci ( x ) cos ( x ) + [ π 2 − Si ( x ) ] sin ( x ) . {\displaystyle {\begin{array}{rcl}f(x)&\equiv &\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(t)}{t+x}}\,dt&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{2}+1}}\,dt&=&\operatorname {Ci} (x)\sin(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)~,\\g(x)&\equiv &\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t+x}}\,dt&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {te^{-xt}}{t^{2}+1}}\,dt&=&-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)~.\end{array}}} π 2 − Si ( x ) = − si ( x ) = f ( x ) cos ( x ) + g ( x ) sin ( x ) , and Ci ( x ) = f ( x ) sin ( x ) − g ( x ) cos ( x ) . {\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)=-\operatorname {si} (x)&=&f(x)\cos(x)+g(x)\sin(x)~,\qquad {\text{ and }}\\\operatorname {Ci} (x)&=&f(x)\sin(x)-g(x)\cos(x)~.\\\end{array}}}
Спираль Нильсена Спираль Нильсена. Спираль , образованная параметрическим графиком si, ci, известна как спираль Нильсена. x ( t ) = a × ci ( t ) {\displaystyle x(t)=a\times \operatorname {ci} (t)} y ( t ) = a × si ( t ) {\displaystyle y(t)=a\times \operatorname {si} (t)}
Спираль тесно связана с интегралами Френеля и спиралью Эйлера . Спираль Нильсена применяется в обработке изображений, строительстве дорог и рельсов и других областях. [1]
Расширение Для вычисления тригонометрических интегралов можно использовать различные разложения в зависимости от диапазона аргумента.
Асимптотический ряд (для большого аргумента) Si ( x ) ∼ π 2 − cos x x ( 1 − 2 ! x 2 + 4 ! x 4 − 6 ! x 6 ⋯ ) − sin x x ( 1 x − 3 ! x 3 + 5 ! x 5 − 7 ! x 7 ⋯ ) {\displaystyle \operatorname {Si} (x)\sim {\frac {\pi }{2}}-{\frac {\cos x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \right)-{\frac {\sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x^{7}}}\cdots \right)} Ci ( x ) ∼ sin x x ( 1 − 2 ! x 2 + 4 ! x 4 − 6 ! x 6 ⋯ ) − cos x x ( 1 x − 3 ! x 3 + 5 ! x 5 − 7 ! x 7 ⋯ ) . {\displaystyle \operatorname {Ci} (x)\sim {\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \right)-{\frac {\cos x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x^{7}}}\cdots \right)~.}
Эти ряды являются асимптотическими и расходящимися, хотя их можно использовать для оценок и даже точных вычислений при ℜ( x ) ≫ 1 .
Сходящийся ряд Si ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ! = x − x 3 3 ! ⋅ 3 + x 5 5 ! ⋅ 5 − x 7 7 ! ⋅ 7 ± ⋯ {\displaystyle \operatorname {Si} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}\pm \cdots } Ci ( x ) = γ + ln x + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n x 2 n 2 n ( 2 n ) ! = γ + ln x − x 2 2 ! ⋅ 2 + x 4 4 ! ⋅ 4 ∓ ⋯ {\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}\mp \cdots }
Эти ряды сходятся при любом комплексном x , хотя при | x ряд будет сходиться медленно изначально, требуя большого количества членов для высокой точности.
Вывод разложения ряда Из разложения синуса в ряд Маклорена: sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + x 9 9 ! − x 11 11 ! + ⋯ {\displaystyle \sin \,x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-{\frac {x^{11}}{11!}}+\cdots } sin x x = 1 − x 2 3 ! + x 4 5 ! − x 6 7 ! + x 8 9 ! − x 10 11 ! + ⋯ {\displaystyle {\frac {\sin \,x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{9!}}-{\frac {x^{10}}{11!}}+\cdots } ∴ ∫ sin x x d x = x − x 3 3 ! ⋅ 3 + x 5 5 ! ⋅ 5 − x 7 7 ! ⋅ 7 + x 9 9 ! ⋅ 9 − x 11 11 ! ⋅ 11 + ⋯ {\displaystyle \therefore \int {\frac {\sin \,x}{x}}dx=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}+{\frac {x^{9}}{9!\cdot 9}}-{\frac {x^{11}}{11!\cdot 11}}+\cdots }
Связь с показательным интегралом мнимого аргумента Функция
называется экспоненциальным интегралом . Она тесно связана с Si и Ci , E 1 ( z ) = ∫ 1 ∞ exp ( − z t ) t d t for ℜ ( z ) ≥ 0 {\displaystyle \operatorname {E} _{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ for }}~\Re (z)\geq 0} E 1 ( i x ) = i ( − π 2 + Si ( x ) ) − Ci ( x ) = i si ( x ) − ci ( x ) for x > 0 . {\displaystyle \operatorname {E} _{1}(ix)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+\operatorname {Si} (x)\right)-\operatorname {Ci} (x)=i\operatorname {si} (x)-\operatorname {ci} (x)\qquad ~{\text{ for }}~x>0~.}
Поскольку каждая соответствующая функция является аналитической, за исключением сечения при отрицательных значениях аргумента, область применимости соотношения должна быть расширена до (вне этого диапазона в выражении появляются дополнительные члены, которые являются целыми множителями π
Случаи мнимого аргумента обобщенной интегро-показательной функции таковы
, что является действительной частью ∫ 1 ∞ cos ( a x ) ln x x d x = − π 2 24 + γ ( γ 2 + ln a ) + ln 2 a 2 + ∑ n ≥ 1 ( − a 2 ) n ( 2 n ) ! ( 2 n ) 2 , {\displaystyle \int _{1}^{\infty }\cos(ax){\frac {\ln x}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(-a^{2})^{n}}{(2n)!(2n)^{2}}}~,} ∫ 1 ∞ e i a x ln x x d x = − π 2 24 + γ ( γ 2 + ln a ) + ln 2 a 2 − π 2 i ( γ + ln a ) + ∑ n ≥ 1 ( i a ) n n ! n 2 . {\displaystyle \int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-{\frac {\pi }{2}}i\left(\gamma +\ln a\right)+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n}}{n!n^{2}}}~.}
Сходным образом ∫ 1 ∞ e i a x ln x x 2 d x = 1 + i a [ − π 2 24 + γ ( γ 2 + ln a − 1 ) + ln 2 a 2 − ln a + 1 ] + π a 2 ( γ + ln a − 1 ) + ∑ n ≥ 1 ( i a ) n + 1 ( n + 1 ) ! n 2 . {\displaystyle \int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x^{2}}}\,dx=1+ia\left[-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a-1\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-\ln a+1\right]+{\frac {\pi a}{2}}{\Bigl (}\gamma +\ln a-1{\Bigr )}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^{2}}}~.}
Эффективная оценка Аппроксимации Паде сходящегося ряда Тейлора обеспечивают эффективный способ оценки функций для малых аргументов. Следующие формулы, приведенные Роу и др. (2015), [2], имеют точность лучше, чем 10 −16 для 0 ≤ x ≤ 4 , Si ( x ) ≈ x ⋅ ( 1 − 4.54393409816329991 ⋅ 10 − 2 ⋅ x 2 + 1.15457225751016682 ⋅ 10 − 3 ⋅ x 4 − 1.41018536821330254 ⋅ 10 − 5 ⋅ x 6 + 9.43280809438713025 ⋅ 10 − 8 ⋅ x 8 − 3.53201978997168357 ⋅ 10 − 10 ⋅ x 10 + 7.08240282274875911 ⋅ 10 − 13 ⋅ x 12 − 6.05338212010422477 ⋅ 10 − 16 ⋅ x 14 1 + 1.01162145739225565 ⋅ 10 − 2 ⋅ x 2 + 4.99175116169755106 ⋅ 10 − 5 ⋅ x 4 + 1.55654986308745614 ⋅ 10 − 7 ⋅ x 6 + 3.28067571055789734 ⋅ 10 − 10 ⋅ x 8 + 4.5049097575386581 ⋅ 10 − 13 ⋅ x 10 + 3.21107051193712168 ⋅ 10 − 16 ⋅ x 12 ) Ci ( x ) ≈ γ + ln ( x ) + x 2 ⋅ ( − 0.25 + 7.51851524438898291 ⋅ 10 − 3 ⋅ x 2 − 1.27528342240267686 ⋅ 10 − 4 ⋅ x 4 + 1.05297363846239184 ⋅ 10 − 6 ⋅ x 6 − 4.68889508144848019 ⋅ 10 − 9 ⋅ x 8 + 1.06480802891189243 ⋅ 10 − 11 ⋅ x 10 − 9.93728488857585407 ⋅ 10 − 15 ⋅ x 12 1 + 1.1592605689110735 ⋅ 10 − 2 ⋅ x 2 + 6.72126800814254432 ⋅ 10 − 5 ⋅ x 4 + 2.55533277086129636 ⋅ 10 − 7 ⋅ x 6 + 6.97071295760958946 ⋅ 10 − 10 ⋅ x 8 + 1.38536352772778619 ⋅ 10 − 12 ⋅ x 10 + 1.89106054713059759 ⋅ 10 − 15 ⋅ x 12 + 1.39759616731376855 ⋅ 10 − 18 ⋅ x 14 ) {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\operatorname {Si} (x)&\approx &x\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1-4.54393409816329991\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+1.15457225751016682\cdot 10^{-3}\cdot x^{4}-1.41018536821330254\cdot 10^{-5}\cdot x^{6}\\~~~+9.43280809438713025\cdot 10^{-8}\cdot x^{8}-3.53201978997168357\cdot 10^{-10}\cdot x^{10}+7.08240282274875911\cdot 10^{-13}\cdot x^{12}\\~~~-6.05338212010422477\cdot 10^{-16}\cdot x^{14}\end{array}}{\begin{array}{l}1+1.01162145739225565\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+4.99175116169755106\cdot 10^{-5}\cdot x^{4}+1.55654986308745614\cdot 10^{-7}\cdot x^{6}\\~~~+3.28067571055789734\cdot 10^{-10}\cdot x^{8}+4.5049097575386581\cdot 10^{-13}\cdot x^{10}+3.21107051193712168\cdot 10^{-16}\cdot x^{12}\end{array}}}\right)\\&~&\\\operatorname {Ci} (x)&\approx &\gamma +\ln(x)+\\&&x^{2}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}-0.25+7.51851524438898291\cdot 10^{-3}\cdot x^{2}-1.27528342240267686\cdot 10^{-4}\cdot x^{4}+1.05297363846239184\cdot 10^{-6}\cdot x^{6}\\~~~-4.68889508144848019\cdot 10^{-9}\cdot x^{8}+1.06480802891189243\cdot 10^{-11}\cdot x^{10}-9.93728488857585407\cdot 10^{-15}\cdot x^{12}\\\end{array}}{\begin{array}{l}1+1.1592605689110735\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+6.72126800814254432\cdot 10^{-5}\cdot x^{4}+2.55533277086129636\cdot 10^{-7}\cdot x^{6}\\~~~+6.97071295760958946\cdot 10^{-10}\cdot x^{8}+1.38536352772778619\cdot 10^{-12}\cdot x^{10}+1.89106054713059759\cdot 10^{-15}\cdot x^{12}\\~~~+1.39759616731376855\cdot 10^{-18}\cdot x^{14}\\\end{array}}}\right)\end{array}}}
Интегралы можно оценить косвенно с помощью вспомогательных функций и , которые определяются как f ( x ) {\displaystyle f(x)} g ( x ) {\displaystyle g(x)}
Для рациональных функций Паде , приведенных ниже, приближенно и с погрешностью менее 10−16 : [ 2] x ≥ 4 {\displaystyle x\geq 4} f ( x ) {\displaystyle f(x)} g ( x ) {\displaystyle g(x)}
f ( x ) ≈ 1 x ⋅ ( 1 + 7.44437068161936700618 ⋅ 10 2 ⋅ x − 2 + 1.96396372895146869801 ⋅ 10 5 ⋅ x − 4 + 2.37750310125431834034 ⋅ 10 7 ⋅ x − 6 + 1.43073403821274636888 ⋅ 10 9 ⋅ x − 8 + 4.33736238870432522765 ⋅ 10 10 ⋅ x − 10 + 6.40533830574022022911 ⋅ 10 11 ⋅ x − 12 + 4.20968180571076940208 ⋅ 10 12 ⋅ x − 14 + 1.00795182980368574617 ⋅ 10 13 ⋅ x − 16 + 4.94816688199951963482 ⋅ 10 12 ⋅ x − 18 − 4.94701168645415959931 ⋅ 10 11 ⋅ x − 20 1 + 7.46437068161927678031 ⋅ 10 2 ⋅ x − 2 + 1.97865247031583951450 ⋅ 10 5 ⋅ x − 4 + 2.41535670165126845144 ⋅ 10 7 ⋅ x − 6 + 1.47478952192985464958 ⋅ 10 9 ⋅ x − 8 + 4.58595115847765779830 ⋅ 10 10 ⋅ x − 10 + 7.08501308149515401563 ⋅ 10 11 ⋅ x − 12 + 5.06084464593475076774 ⋅ 10 12 ⋅ x − 14 + 1.43468549171581016479 ⋅ 10 13 ⋅ x − 16 + 1.11535493509914254097 ⋅ 10 13 ⋅ x − 18 ) g ( x ) ≈ 1 x 2 ⋅ ( 1 + 8.1359520115168615 ⋅ 10 2 ⋅ x − 2 + 2.35239181626478200 ⋅ 10 5 ⋅ x − 4 + 3.12557570795778731 ⋅ 10 7 ⋅ x − 6 + 2.06297595146763354 ⋅ 10 9 ⋅ x − 8 + 6.83052205423625007 ⋅ 10 10 ⋅ x − 10 + 1.09049528450362786 ⋅ 10 12 ⋅ x − 12 + 7.57664583257834349 ⋅ 10 12 ⋅ x − 14 + 1.81004487464664575 ⋅ 10 13 ⋅ x − 16 + 6.43291613143049485 ⋅ 10 12 ⋅ x − 18 − 1.36517137670871689 ⋅ 10 12 ⋅ x − 20 1 + 8.19595201151451564 ⋅ 10 2 ⋅ x − 2 + 2.40036752835578777 ⋅ 10 5 ⋅ x − 4 + 3.26026661647090822 ⋅ 10 7 ⋅ x − 6 + 2.23355543278099360 ⋅ 10 9 ⋅ x − 8 + 7.87465017341829930 ⋅ 10 10 ⋅ x − 10 + 1.39866710696414565 ⋅ 10 12 ⋅ x − 12 + 1.17164723371736605 ⋅ 10 13 ⋅ x − 14 + 4.01839087307656620 ⋅ 10 13 ⋅ x − 16 + 3.99653257887490811 ⋅ 10 13 ⋅ x − 18 ) {\displaystyle {\begin{array}{rcl}f(x)&\approx &{\dfrac {1}{x}}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1+7.44437068161936700618\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+1.96396372895146869801\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+2.37750310125431834034\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+1.43073403821274636888\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+4.33736238870432522765\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+6.40533830574022022911\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\~~~+4.20968180571076940208\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.00795182980368574617\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+4.94816688199951963482\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\~~~-4.94701168645415959931\cdot 10^{11}\cdot x^{-20}\end{array}}{\begin{array}{l}1+7.46437068161927678031\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+1.97865247031583951450\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+2.41535670165126845144\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+1.47478952192985464958\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+4.58595115847765779830\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+7.08501308149515401563\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\~~~+5.06084464593475076774\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.43468549171581016479\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+1.11535493509914254097\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{array}}}\right)\\&&\\g(x)&\approx &{\dfrac {1}{x^{2}}}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1+8.1359520115168615\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+2.35239181626478200\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+3.12557570795778731\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+2.06297595146763354\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+6.83052205423625007\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+1.09049528450362786\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\~~~+7.57664583257834349\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.81004487464664575\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+6.43291613143049485\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\~~~-1.36517137670871689\cdot 10^{12}\cdot x^{-20}\end{array}}{\begin{array}{l}1+8.19595201151451564\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+2.40036752835578777\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+3.26026661647090822\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+2.23355543278099360\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+7.87465017341829930\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+1.39866710696414565\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\~~~+1.17164723371736605\cdot 10^{13}\cdot x^{-14}+4.01839087307656620\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+3.99653257887490811\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{array}}}\right)\\\end{array}}}
Смотрите также
Ссылки ^ Грей (1993). Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Бока-Ратон. стр. 119. {{cite book }}: CS1 maint: location missing publisher (link)^ ab Rowe, B.; et al. (2015). "GALSIM: Модульный набор инструментов для моделирования изображений галактик". Astronomy and Computing . 10 : 121. arXiv : 1407.7676 . Bibcode : 2015A&C....10..121R. doi : 10.1016/j.ascom.2015.02.002. S2CID 62709903.
Дальнейшее чтение Матар, Р. Дж. (2009). «Численная оценка осцилляционного интеграла по exp( iπx )· x 1/ x между 1 и ∞». Приложение B. arXiv : 0912.3844 [math.CA]. Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Раздел 6.8.2 – Интегралы косинуса и синуса". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3-е изд.). Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8 Слоутер, Дэн. "Доказательство синусоидального интегрального ряда Тейлора" (PDF) . Разностные уравнения в дифференциальные уравнения . Темме, Н. М. (2010), «Экспоненциальные, логарифмические, синусные и косинусные интегралы», в Олвер, Фрэнк У. Дж .; Лозье, Дэниел М.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз У. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST 978-0-521-19225-5
Внешние ссылки
_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2+2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg/1280px-thumbnail.svg.png)
_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2+2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg/1280px-Plot_of_the_cosine_integral_function_Ci(z)_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2+2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg.png)
_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2+2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg/1280px-thumbnail.svg.png)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}f(x)&\equiv &\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(t)}{t+x}}\,dt&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{2}+1}}\,dt&=&\operatorname {Ci} (x)\sin(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)~,\\g(x)&\equiv &\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t+x}}\,dt&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {te^{-xt}}{t^{2}+1}}\,dt&=&-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)~.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2b43b57fdff2c9f86d9685bbf1d8a0eb7b30c11)
![{\displaystyle \int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x^{2}}}\,dx=1+ia\left[-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a-1\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-\ln a+1\right]+{\frac {\pi a}{2}}{\Bigl (}\gamma +\ln a-1{\Bigr )}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^{2}}}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61671b32bbb8068361dfa5d582a6d6f3230a43cf)
