Арнольд язык

Феномен в математике

Число оборотов для различных значений двух параметров карты окружности: Ω по оси x и K по оси y . Видны некоторые формы языка.

В математике , особенно в динамических системах , языки Арнольда (названные в честь Владимира Арнольда ) ^{[1] [2]} представляют собой наглядное явление, возникающее при визуализации того, как число вращения динамической системы или другое связанное с ним инвариантное свойство изменяется в зависимости от двух или более ее параметров. Области постоянного числа вращения, как было замечено, для некоторых динамических систем образуют геометрические фигуры , напоминающие языки, в этом случае их называют языками Арнольда. ^[3]

Языки Арнольда наблюдаются в большом разнообразии природных явлений, которые включают в себя колебательные величины, такие как концентрация ферментов и субстратов в биологических процессах ^[4] и сердечные электрические волны . Иногда частота колебаний зависит от или ограничена (т. е. синхронизирована по фазе или синхронизирована по модам в некоторых контекстах) на основе некоторой величины, и часто интересно изучить эту связь. Например, начало опухоли запускает в этой области ряд колебаний вещества (в основном белков), которые взаимодействуют друг с другом; моделирование показывает, что эти взаимодействия вызывают появление языков Арнольда, то есть частота некоторых колебаний ограничивает другие, и это можно использовать для контроля роста опухоли. ^[3]

Другие примеры, где можно обнаружить языки Арнольда, включают негармоничность музыкальных инструментов, орбитальный резонанс и приливную синхронизацию орбитальных лун, синхронизацию мод в волоконной оптике и фазовых автоподстройках частоты и других электронных генераторах , а также в сердечных ритмах , сердечных аритмиях и клеточном цикле . ^[5]

Одна из самых простых физических моделей, демонстрирующих синхронизацию мод, состоит из двух вращающихся дисков, соединенных слабой пружиной. Один диск может свободно вращаться, а другой приводится в движение двигателем. Синхронизация мод происходит, когда свободно вращающийся диск вращается с частотой, которая является рациональным кратным частоты ведомого ротатора.

Простейшей математической моделью, демонстрирующей синхронизацию мод, является круговая карта, которая пытается зафиксировать движение вращающихся дисков в дискретные интервалы времени.

Стандартная круговая карта

Бифуркационная диаграмма для зафиксированного в . идет снизу вверх, а орбиты показаны в интервале вместо . Черные области соответствуют языкам Арнольда. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 4\pi }$ ${\displaystyle [-0.5,0.5]}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Языки Арнольда чаще всего появляются при изучении взаимодействия между осцилляторами , особенно в случае, когда один осциллятор управляет другим. То есть, один осциллятор зависит от другого, но не наоборот, поэтому они не влияют друг на друга взаимно, как это происходит, например, в моделях Курамото . Это частный случай управляемых осцилляторов с движущей силой, которая имеет периодическое поведение. В качестве практического примера, клетки сердца (внешний осциллятор) производят периодические электрические сигналы для стимуляции сокращений сердца (управляемый осциллятор); здесь может быть полезно определить соотношение между частотой осцилляторов, возможно, для разработки лучших искусственных кардиостимуляторов . Семейство круговых карт служит полезной математической моделью для этого биологического явления, а также для многих других. ^[6]

Семейство карт окружности — это функции (или эндоморфизмы ) окружности в себя. Математически проще рассматривать точку окружности как точку на действительной прямой, которую следует интерпретировать по модулю , представляющую угол, под которым точка расположена в окружности. Когда модуль берется со значением, отличным от , результат все еще представляет собой угол, но должен быть нормализован, чтобы можно было представить весь диапазон. С учетом этого семейство карт окружности задается следующим образом: ^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$

${\displaystyle \theta _{i+1}=g(\theta _{i})+\Omega }$

где - "собственная" частота осциллятора, а - периодическая функция, которая дает влияние, вызванное внешним осциллятором. Обратите внимание, что если для всех частица просто ходит по окружности в единицах за раз; в частности, если - иррационально, то отображение сводится к иррациональному вращению . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(\theta )=\theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Конкретная карта окружности, первоначально изученная Арнольдом ^[8] и продолжающая приносить пользу и в наши дни, выглядит следующим образом:

${\displaystyle \theta _{i+1}=\theta _{i}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{i})}$

где называется силой связи , и должна интерпретироваться по модулю . Эта карта демонстрирует очень разнообразное поведение в зависимости от параметров и ; если мы фиксируем и варьируем , получается бифуркационная диаграмма вокруг этого абзаца, где мы можем наблюдать периодические орбиты , бифуркации удвоения периода, а также возможное хаотическое поведение . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega =1/3}$ ${\displaystyle K}$

Вывод карты окружности

Изображение простой модели, где круговая карта возникает «естественно». Красная линия и сбрасывается на синусоидальную черную линию каждый раз, когда она достигает нуля. ${\displaystyle y(t)}$

Другой способ просмотра круговой карты следующий. Рассмотрим функцию , которая линейно убывает с наклоном . Как только она достигает нуля, ее значение сбрасывается до определенного осциллирующего значения, описываемого функцией . Теперь нас интересует последовательность моментов времени, в которые y(t) достигает нуля. ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z(t)=c+b\sin(2\pi t)}$ ${\displaystyle \{t_{n}\}}$

Эта модель говорит нам, что в момент времени справедливо, что . С этого момента будет линейно уменьшаться до , где функция равна нулю, таким образом получая: ${\displaystyle t_{n-1}}$ ${\displaystyle y(t_{n-1})=c+b\sin(2\pi t_{n-1})}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=y(t_{n-1})-a\cdot (t_{n}-t_{n-1})\\[0.5em]0&=\left[c+b\sin(2\pi t_{n-1})\right]-at_{n}+at_{n-1}\\[0.5em]t_{n}&={\frac {1}{a}}\left[c+b\sin(2\pi t_{n-1})\right]+t_{n-1}\\[0.5em]t_{n}&=t_{n-1}+{\frac {c}{a}}+{\frac {b}{a}}\sin(2\pi t_{n-1})\end{aligned}}}$

и выбрав и мы получаем карту окружности, обсуждавшуюся ранее: ${\displaystyle \Omega =c/a}$ ${\displaystyle K=2\pi b/a}$

${\displaystyle t_{n}=t_{n-1}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi t_{n-1}).}$

Гласс, Л. (2001) утверждает, что эта простая модель применима к некоторым биологическим системам, таким как регуляция концентрации веществ в клетках или крови, причем выше представлена ​​концентрация определенного вещества. ${\displaystyle y(t)}$

В этой модели фазовая синхронизация будет означать, что она сбрасывается точно раз в каждый период синусоиды . Число вращения, в свою очередь, будет частным . ^[7] ${\displaystyle N:M}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle z(t)}$ ${\displaystyle N/M}$

Характеристики

Рассмотрим общее семейство эндоморфизмов окружности:

${\displaystyle \theta _{i+1}=g(\theta _{i})+\Omega }$

где для стандартной карты окружности имеем, что . Иногда также будет удобно представить карту окружности в терминах отображения : ${\displaystyle g(\theta )=\theta +(K/2\pi )\sin(2\pi \theta )}$ ${\displaystyle f(\theta )}$

${\displaystyle \theta _{i+1}=f(\theta _{i})=\theta _{i}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{i}).}$

Теперь перейдем к перечислению некоторых интересных свойств этих эндоморфизмов окружности.

P1. монотонно возрастает для , поэтому для этих значений итерации движутся только вперед по кругу, никогда назад. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что производная равна: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K<1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f'(\theta )=1+K\cos(2\pi \theta )}$

что положительно до тех пор, пока . ${\displaystyle K<1}$

P2. При раскрытии рекуррентного соотношения получается формула для : ${\displaystyle \theta _{n}}$

${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}+n\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n-1}\sin(2\pi \theta _{i}).}$

P3. Предположим, что , поэтому они являются периодическими фиксированными точками периода . Поскольку синус колеблется с частотой 1 Гц, число колебаний синуса за цикл будет , что характеризует фазовую синхронизацию . ^[7] ${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}{\bmod {1}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle M=(\theta _{n}-\theta _{0})\cdot 1}$ ${\displaystyle n:M}$

P4. Для любого верно, что , что в свою очередь означает, что . Из-за этого для многих целей не имеет значения, берутся ли итерации по модулю или нет. ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(\theta +p)=f(\theta )+p}$ ${\displaystyle f(\theta +p)=f(\theta ){\bmod {1}}}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle 1}$

P5 (трансляционная симметрия). ^{[9] [7]} Предположим, что для заданного в системе есть фазовая синхронизация. Тогда для с целым числом будет фазовая синхронизация. Это также означает, что если является периодической орбитой для параметра , то она также является периодической орбитой для любого . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n:M}$ ${\displaystyle \Omega '=\Omega +p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n:(M+np)}$ ${\displaystyle \theta _{0},\dots ,\theta _{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega '=\Omega +p,p\in \mathbb {N} }$

Чтобы увидеть это, обратите внимание, что рекуррентное соотношение в свойстве 2 примет вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{n}'&=\theta _{0}+n\Omega '+{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n}\sin(2\pi \theta _{i})\\&=\theta _{0}+n(\Omega +p)+{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n}\sin(2\pi \theta _{i})\\&=\theta _{n}+np,\end{aligned}}}$

поэтому, поскольку из-за первоначальной фазовой синхронизации, теперь мы будем иметь . ${\displaystyle \theta _{n}-\theta _{0}=M}$ ${\displaystyle \theta _{n}'-\theta _{0}=\theta _{n}+np-\theta _{0}=M+np}$

P6. Поскольку фазовая синхронизация будет иметь место всякий раз, когда является рациональным числом. Более того, пусть , тогда фазовая синхронизация будет . ${\displaystyle K=0}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega =p/q\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle q:p}$

Учитывая рекуррентное соотношение в свойстве 2, рациональное число подразумевает: ${\displaystyle \Omega =p/q}$

${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}+n{\frac {p}{q}}}$

и модуль равенства будет иметь место только тогда, когда является целым числом, и первым , что удовлетворяет этому условию, является . Следовательно: ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n(p/q)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=q}$

${\displaystyle \theta _{q}=\theta _{0}+p}$

${\displaystyle (\theta _{q}-\theta _{0})=p}$

означает фазовую синхронизацию. ${\displaystyle q:p}$

Для иррационального (что приводит к иррациональному вращению ) необходимо было бы иметь для целых чисел и , но тогда и является рациональным, что противоречит исходной гипотезе. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n\Omega =k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Omega =k/n}$ ${\displaystyle \Omega }$

Блокировка режима

Некоторые языки Арнольда для стандартной карты окружности, ε  = ⁠К/2π​⁠

Число вращения как функция Ω при постоянном значении K  = 1

Для малых и промежуточных значений K (то есть в диапазоне от K  = 0 до примерно K = 1) и определенных значений  Ω карта демонстрирует явление, называемое синхронизацией мод или фазовой синхронизацией . В области фазовой синхронизации значения θ _n изменяются по существу как рациональное кратное n , хотя они могут делать это хаотично в малых масштабах.

Предельное поведение в областях синхронизации мод задается числом вращения .

${\displaystyle \omega =\lim _{n\to \infty }{\frac {\theta _{n}}{n}}.}$^[10]

который иногда также называют числом оборотов карты .

Фазовые области, или языки Арнольда, показаны желтым на рисунке справа. Каждая такая V-образная область касается рационального значения Ω =  ⁠п/д⁠ в пределе K  → 0. Значения ( K ,Ω) в одной из этих областей приведут к движению, такому, что число вращения ω  =  ⁠п/д⁠ . Например, все значения ( K , Ω) в большой V-образной области в нижнем центре рисунка соответствуют числу вращения ω  =  ⁠1/2⁠ . Одна из причин использования термина «блокировка» заключается в том, что отдельные значения θ _n могут быть нарушены довольно большими случайными возмущениями (вплоть до ширины языка для заданного значения K ), не нарушая предельного числа вращения. То есть последовательность остается «заблокированной» на сигнале, несмотря на добавление значительного шума к серии θ _n . Эта способность «блокироваться» при наличии шума является центральной для полезности электронной схемы фазовой автоподстройки частоты. ^{[ необходима цитата ]}

Для каждого рационального числа существует область синхронизации мод .п/д⁠ . Иногда говорят, что отображение окружности отображает рациональные числа, множество меры ноль при K  = 0, в множество ненулевой меры при K  ≠ 0. Самые большие языки, упорядоченные по размеру, встречаются в дробях Фарея . Фиксируя K и проводя поперечное сечение через это изображение, так что ω отображается как функция Ω, получаем «лестницу дьявола», форму, которая в общем похожа на функцию Кантора . Можно показать, что для K < 1 отображение окружности является диффеоморфизмом, существует только одно устойчивое решение. Однако, поскольку K > 1 это больше не выполняется, и можно найти области двух перекрывающихся областей блокировки. Для отображения окружности можно показать, что в этой области может перекрываться не более двух устойчивых областей блокировки мод, но если есть какой-либо предел количеству перекрывающихся языков Арнольда для общих синхронизированных систем, неизвестно. ^{[ необходима цитата ]}

Круговая карта также демонстрирует субгармонические пути к хаосу, то есть удвоение периода в форме 3, 6, 12, 24,....

Стандартная карта Чирикова

Стандартное отображение Чирикова связано с отображением окружности, имеющим аналогичные рекуррентные соотношения, которые можно записать как

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{n+1}&=\theta _{n}+p_{n}+{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{n})\\p_{n+1}&=\theta _{n+1}-\theta _{n}\end{aligned}}}$

с обеими итерациями, взятыми по модулю 1. По сути, стандартная карта вводит импульс p _n , который может динамически изменяться, а не быть принудительно фиксированным, как в карте окружности. Стандартная карта изучается в физике с помощью гамильтониана с толчком ротора .

Приложения

Языки Арнольда были применены для изучения

• Сердечные ритмы - см. Glass, L. et al. (1983) и McGuinness, M. et al. (2004)
• Синхронизация резонансных туннельных диодных генераторов ^[11]

Галерея

Смотрите также

• Штурмское слово

Примечания

1. Арнольд, VI (1961). «Малые знаменатели. I. Отображение круга на самого себя». Известия Российской академии наук. Серия Математическая . 25 (1): 21–86.В разделе 12 на странице 78 есть рисунок, показывающий языки Арнольда.
2. Перевод на английский статьи Арнольда: С. Аджан; В. И. Арнольд; С. П. Демушкин; Ю. С. Гуревич; С.С. Кемхадзе; Н.И. Климов; Ю. В. Линник; А.В. Малышев; П. С. Новиков; Д.А. Супруненко; В.А. Тартаковский; В. Ташбаев. Одиннадцать статей по теории чисел, алгебре и функциям комплексной переменной. Том. 46. ​​Переводы Американского математического общества, серия 2.
3. Jensen, MH; Krishna, S. (2012). «Вызывание фазовой синхронизации и хаоса в клеточных осцилляторах путем модуляции движущих стимулов». FEBS Letters . 586 (11): 1664–1668. arXiv : 1112.6093 . doi : 10.1016/j.febslet.2012.04.044. PMID  22673576. S2CID  2959093.
4. Жерар, К.; Голдбетер, А. (2012). «Клеточный цикл — это предельный цикл». Математическое моделирование природных явлений . 7 (6): 126–166. doi : 10.1051/mmnp/20127607 .
5. Накао, М.; Энкхудулмур, ТЕ; Катаяма, Н.; Карашима, А. (2014). Обучаемость моделей осцилляторов клеточного цикла при экспоненциальном росте клеточной массы . Конференция инженерного общества в области медицины и биологии. IEEE. С. 6826–6829.
6. Glass, L. (2001). «Синхронизация и ритмические процессы в физиологии». Nature . 410 (6825): 277–284. Bibcode :2001Natur.410..277G. doi :10.1038/35065745. PMID  11258383. S2CID  4379463.
7. Glass, L.; Perez, R. (1982). "Тонкая структура фазовой синхронизации". Physical Review Letters . 48 (26): 1772. Bibcode : 1982PhRvL..48.1772G. doi : 10.1103/PhysRevLett.48.1772.
8. Он изучал его, используя косинус вместо синуса; см. стр. 78 Арнольда, VI (1961).
9. Гевара, MR; Гласс, Л. (1982). «Фазовая синхронизация, бифуркации удвоения периода и хаос в математической модели периодически управляемого осциллятора: теория увлечения биологических осцилляторов и возникновения сердечных аритмий». Журнал математической биологии . 14 (1): 1–23. CiteSeerX 10.1.1.476.8649 . doi :10.1007/BF02154750. PMID  7077182. S2CID  2273911. 
10. Weisstein, Eric. "Map Winding Number". MathWorld . Получено 20 июня 2016 г.
11. Romeira, B.; Figueiredo, JM; Ironside, CN; Slight, T. (2009). «Хаотическая динамика в резонансно-туннельных оптоэлектронных генераторах, управляемых напряжением». IEEE Photonics Technology Letters . 21 (24): 1819–1821. Bibcode : 2009IPTL...21.1819R. doi : 10.1109/LPT.2009.2034129. S2CID  41327316.

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Карта круга». MathWorld .
• Boyland, PL (1986). "Бифуркации отображений окружности: языки Арнольда, бистабильность и интервалы вращения". Communications in Mathematical Physics . 106 (3): 353–381. Bibcode : 1986CMaPh.106..353B. doi : 10.1007/BF01207252. S2CID  121088353.
• Гилмор, Р.; Лефранк, М. (2002). Топология хаоса: Алиса в Stretch and Squeezeland . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-40816--6.- Содержит краткий обзор основных фактов в разделе 2.12 .
• Glass, L. ; Guevara, MR; Shrier, A.; Perez, R. (1983). «Бифуркация и хаос в периодически стимулируемом сердечном осцилляторе». Physica D: Nonlinear Phenomena . 7 (1–3): 89–101. Bibcode :1983PhyD....7...89G. doi :10.1016/0167-2789(83)90119-7.- Выполняет детальный анализ сердечных ритмов сердца в контексте круговой карты.
• МакГиннесс, М.; Хонг, И.; Галлетли, Д.; Ларсен, П. (2004). «Языки Арнольда в кардиореспираторных системах человека». Хаос . 14 (1): 1–6. Bibcode : 2004Chaos..14....1M. doi : 10.1063/1.1620990. PMID  15003038.

Внешние ссылки

• Круговая карта с интерактивным Java-апплетом