Стержневое исчисление

Исчисление стержней или вычисление стержней было механическим методом алгоритмических вычислений с использованием счетных стержней в Китае от Воюющих царств до династии Мин до того, как счетные стержни все чаще заменялись более удобными и быстрыми счетами . Исчисление стержней сыграло ключевую роль в развитии китайской математики, достигшей своего апогея в династиях Сун и Юань , достигнув кульминации в изобретении полиномиальных уравнений с числом до четырех неизвестных в работах Чжу Шицзе .

Японская счетная доска с сетками.

Факсимиле стержневого исчисления из энциклопедии Юнлэ

Аппаратное обеспечение

Основным оборудованием для проведения палочного исчисления является связка счетных палочек и счетная доска. Счетные стержни обычно изготавливаются из бамбуковых палочек длиной около 12–15 см и диаметром от 2 до 4 мм, иногда из костей животных или из слоновой кости и нефрита (для состоятельных торговцев). Счетной доской может быть столешница, деревянная доска с решеткой или без нее, на полу или на песке.

В 1971 году китайские археологи обнаружили связку хорошо сохранившихся счетных палочек из костей животных, хранившуюся в шелковом мешочке, в гробнице в уезде Цянь Ян провинции Шаньси, датируемой первой половиной династии Хань (206 г. до н.э. – 8 г. н.э.). ^{[ нужна цитата ]} В 1975 году была обнаружена связка бамбуковых счетных стержней. ^{[ нужна цитата ]}

Использование счетных палочек для стержневого исчисления процветало в Воюющих царствах , хотя никаких археологических артефактов не было найдено ранее, чем во время Западной династии Хань (первая половина династии Хань ; однако археологи обнаружили программные артефакты стержневого исчисления, относящиеся ко времени Воюющих царств. ); поскольку программное обеспечение для стержневого исчисления должно было сопровождать аппаратное обеспечение стержневого исчисления, нет никаких сомнений в том, что стержневое исчисление уже процветало во времена Воюющих Государств, более 2200 лет назад.

Программное обеспечение

Ключевым программным обеспечением, необходимым для стержневого исчисления, была простая позиционная десятичная таблица умножения из 45 фраз, используемая в Китае с древности, называемая таблицей девять-девять , которую заучивали наизусть ученики, торговцы, правительственные чиновники и математики.

Стержневые цифры

Отображение чисел

Две формы китайских стержневых цифр

Изображение числа 231 и возможное ошибочное расположение стержней.

Стержневые цифры — единственная система счисления, в которой используются различные комбинации размещения одного символа для передачи любого числа или дроби в десятичной системе. Для чисел в разряде единиц каждая вертикальная черта представляет 1. Две вертикальные стержни обозначают 2 и так далее, пока не останется 5 вертикальных стержней, которые обозначают 5. Для чисел от 6 до 9 используется двоичная система, в которой горизонтальная черта в верхней части вертикальных полос обозначают 5. Первый ряд — это цифры от 1 до 9 в виде стержней, а второй ряд — те же цифры в горизонтальной форме.

Для чисел больше 9 используется десятичная система счисления . Жезлы, помещенные на одно место слева от места единиц, представляют собой 10-кратное большее число. Для разряда сотен слева помещается еще один набор стержней, который представляет собой 100-кратное увеличение этого числа и так далее. Как показано на соседнем изображении, число 231 представлено стержневыми цифрами в верхнем ряду: один стержень в разряде единиц представляет 1, три стержня в разряде десятков представляют 30, а два стержня в разряде сотен представляют 200, причем сумма 231.

При расчете обычно на поверхности не было сетки. Если цифры стержня два, три и один расположены последовательно в вертикальной форме, есть вероятность, что их ошибочно принимают за 51 или 24, как показано во втором и третьем ряду соседнего изображения. Во избежание путаницы числа в последовательных позициях располагаются попеременно по вертикали и по горизонтали, при этом единицы располагаются по вертикали, ^[1] , как показано в нижнем ряду справа.

Отображение нулей

В стержневых цифрах нули представлены пробелом, который служит одновременно числом и значением-заполнителем. В отличие от индийско-арабских цифр , здесь нет специального символа, обозначающего ноль. На соседнем изображении ноль представлен просто пробелом.

Отрицательные и положительные числа

Математики песни использовали красный цвет для обозначения положительных чисел и черный для отрицательных чисел . Однако другой способ — добавить косую черту в последнем месте, чтобы показать, что число отрицательное. ^[2]

Десятичная дробь

В «Математическом трактате Сунци» использовалась метрология десятичных дробей. Единицей длины была 1 чи ,

1 ци = 10 цунь , 1 цунь = 10 фэнь , 1 фэнь = 10 ли , 1 ли = 10 хао , 10 хао = 1 ши, 1 ши = 10 ху .

1 чи 2 цунь 3 фэнь 4 ли 5 ​​хао 6 ши 7 ху разложены на счетной доске как

где единица измерения чи .

Математик династии Южная Сун Цинь Цзюшао расширил использование десятичной дроби за пределы метрологии. В своей книге «Математический трактат в девяти разделах» он формально выразил 1,1446154 дня как

日

Он отметил единицу измерения словом «日» (день) под ней. ^[3]

Добавление

Сложение стержневого исчисления 3748+289=4037

Стержневое исчисление работает по принципу сложения. В отличие от арабских цифр , цифры, представленные счетными палочками, обладают аддитивными свойствами. Процесс сложения включает в себя механическое перемещение стержней без необходимости запоминания таблицы сложения . В этом заключается самое большое отличие арабских цифр, поскольку невозможно механически сложить 1 и 2 вместе, чтобы образовать 3, или 2 и 3 вместе, чтобы образовать 5.

На соседнем изображении показаны шаги прибавления 3748 к 289:

1. Поместите прибавку 3748 в первую строку, а слагаемую 289 — во вторую.
2. Рассчитайте слева направо, начиная с 2 из 289.
3. Уберите два стержня снизу, добавьте к 7 сверху, чтобы получилось 9.
4. Переместите 2 стержня сверху вниз (8), перенесите один вперед к 9, который станет нулем и перенесется к 3, чтобы получить 4, удалите 8 из нижнего ряда.
5. Переместите один стержень из 8 в верхнем ряду в 9 в нижнем, чтобы сформировать перенос на следующий ряд, и добавьте один стержень к 2 стержням в верхнем ряду, чтобы получилось 3 стержня, верхний ряд слева — 7.
6. Результат 3748+289=4037

Стержни в дополнении меняются на протяжении всего сложения, а стержни в дополнении внизу «исчезают».

Вычитание

Без заимствований

В ситуации, когда заимствования не нужны, нужно лишь взять из вычитаемого количество стержней в вычитаемом . Результатом расчета является разница. На соседнем изображении показаны шаги вычитания 23 из 54.

Заимствование

В ситуациях, когда необходим заимствование, например 4231–789, необходимо использовать более сложную процедуру. Шаги для этого примера показаны слева.

1. Поместите уменьшаемое 4231 вверху, вычитаемое 789 внизу. Считаем слева направо.
2. Возьмите 1 из разряда тысяч для получения десятки в разряде сотен, минус 7 из строки ниже, разница 3 прибавляется к 2 вверху, чтобы получить 5. 7 внизу вычитается, что показано пробелом.
3. Заимствуем 1 из разряда сотен, в результате чего остается 4. 10 в разряде десятков минус 8 ниже дает 2, которые добавляются к 3 выше, образуя 5. Верхняя строка теперь равна 3451, нижняя 9.
4. Заимствуем 1 из 5 в разряде десятков вверху, в результате чего остается 4. 1, заимствованный из десятков, равен 10 в разряде единиц, вычитая 9, что дает 1, которые добавляются к вершине, чтобы сформировать 2. Со всеми стержнями в нижняя строка вычитается, 3442 в верхней строке - это результат вычисления

Умножение

38x76=2888

аль-Уклидис (952 г. н. э.) умножение, разновидность умножения Сунзи

Суньцзы Суаньцзин подробно описал алгоритм умножения. Слева приведены шаги для расчета 38×76:

1. Поместите множимое вверху, множитель внизу. Совместите место единиц множителя с наивысшим местом множимого. Оставьте место посередине для записи.
2. Начинайте считать с старшего места множимого (в примере посчитать 30х76, а затем 8х76). Используя таблицу умножения 3 раза, 7 = 21. Поместите 21 в стержни посередине так, чтобы 1 совпадала с разрядом десятков множителя (поверх 7). Тогда 3 раза по 6 будет 18, поместите 18, как показано на рисунке. Умножив 3 в множимом, уберите стержни.
3. Переместите множитель на одну позицию вправо. Измените 7 на горизонтальную форму, 6 на вертикальную.
4. 8×7 = 56, поместите 56 во второй ряд посередине, расположив единицы в соответствии с цифрами, умноженными в множителе. Уберите 7 из множителя, так как он был умножен.
5. 8×6 = 48, 4, добавленные к 6 на последнем шаге, дают 10, переносим 1. Отнимите 8 единиц от места множимого и отнимите 6 от места единиц множителя.
6. Суммируйте 2380 и 508 в середине, в результате чего получится 2888: произведение.

Разделение

Дивизия Аль-Уклидис 10 века

Подразделение Сунзи309/7= 441/7

Деление Аль-Хорезми 825 года нашей эры было идентично алгоритму разделения Сунзи.

Дивизия Кушьяра ибн Лаббана XI века, точная копия дивизии Сунзи.

Анимация слева показывает этапы расчета.309/7= 441/7.

1. Поместите делимое 309 в средний ряд, а делитель 7 в нижний ряд. Оставьте место для верхнего ряда.
2. Переместите делитель 7 на одно место влево, приняв его горизонтальную форму.
3. Используя китайскую таблицу умножения и деления, 30÷7 равно остатку 4 2. Поместите частное 4 в верхний ряд, а остаток 2 в средний ряд.
4. Переместите разделитель на одно место вправо, изменив его форму на вертикальную. 29÷7 равно остатку 4 1. Поместите частное 4 сверху, оставив делитель на месте. Поместите остаток в средний ряд вместо делимого на этом этапе. В результате частное равно 44 с остатком 1.

Алгоритм деления Сунзи был полностью передан аль-Хорезми в исламскую страну из индийских источников в 825 году нашей эры. Книга Аль Хорезми была переведена на латынь в 13 веке. Алгоритм деления Сунзи позже превратился в деление галер в Европе. Алгоритм деления в книге Абуль-Хасана аль-Уклидиси 925 года нашей эры «Китаб аль-Фусул фи аль-Хисаб аль-Хинди» и в «Принципах индуистского исчисления» Кушьяра ибн Лаббана XI века был идентичен алгоритму деления Сунзу.

Фракции

Если в разрядном делении десятичных стержней имеется остаток, то и остаток, и делитель должны оставаться на месте, располагаясь один над другим. В заметках Лю Хуэя к Цзючжан Суаньшу (2 век до н. э.) число вверху называется «ши» (实), а число внизу — «фа» (法). В Суньцзы Суаньцзин число вверху называется «цзы» (子) или «фэнзи» (букв. «сын дроби»), а число внизу называется «му» (母) или «фэньму» (букв. , мать дроби). Фэнзи и Фэнму также являются современными китайскими названиями числителя и знаменателя соответственно. Как показано справа, 1 — остаток числителя, 7 — делитель знаменателя, образующий дробь.1/7. Частное деления309/744 +1/7. Лю Хуэй использовал множество вычислений с дробями в Хайдао Суаньцзин .

Эта форма дроби с числителем вверху и знаменателем внизу без горизонтальной черты между ними была передана в арабскую страну в книге 825 года нашей эры аль-Хорезми через Индию и использовалась Абу'л-Хасаном аль-Уклидиси в 10 веке и в 15 веке. В. Работа Джамшида аль-Каши «Арифематический ключ».

Добавление

сложение дробей стержневого исчисления

1/3+2/5

• Поместите два числителя 1 и 2 на левой стороне счетной доски, а знаменатели 3 и 5 — на правой стороне.
• Умножьте 1 на 5, 2 на 3, чтобы получить 5 и 6, замените числители соответствующими векторными произведениями.
• Умножьте два знаменателя 3 × 5 = 15, поставьте справа внизу.
• Сложите два числителя 5 и 6 = 11, расположенные в правом верхнем углу счетной доски.
• Результат:1/3+2/5"="11/15

Вычитание

вычитание двух стержневых числовых дробей

8/9−1/5

• Запишите стержневые цифры для числителей 1 и 8 с левой стороны счетной доски.
• Положите стержни знаменателей 5 и 9 с правой стороны счетной доски.
• Перекрестно умножьте 1×9=9, 5×8=40, замените соответствующие числители
• Умножьте знаменатели 5 × 9 = 45, поставьте 45 в правом нижнем углу счётной доски, замените знаменатель 5.
• Вычтите 40 − 9 = 31 и положите вверху справа.
• Результат:8/9−1/5"="31/45

Умножение

умножение дроби стержневого исчисления

31/3× 52/5

• Расставьте счетные стержни на 31/3и 52/5на счетной доске в формате таблицы шан, ши, фа.
• Шан, умноженный на Фа, прибавляет к Ши: 3×3+1=10; 5 × 5 + 2 = 27
• Ши умножить на Ши: 10 × 27 = 270
• fa, умноженное на fa:3 × 5 = 15
• ши разделить на фа: 31/3× 52/5= 18

Наивысший общий коэффициент и сокращение дробей

наибольший общий делитель

Алгоритм нахождения старшего общего делителя двух чисел и приведения дроби был изложен в Цзючжан суаньшу . Наибольший общий делитель находится путем последовательного деления с остатками до тех пор, пока два последних остатка не станут идентичными. Анимация справа иллюстрирует алгоритм нахождения наибольшего общего делителя32 450 625/59 056 400и сокращение дроби.

В данном случае HCF равен 25.

Делим числитель и знаменатель на 25. Приведенная дробь равна1 298 025/2 362 256.

Интерполяция

π в дроби

Календарь и математик Хэ Чэнтянь (何承天) использовал метод интерполяции дробей , называемый «гармонизацией делителя дня» (调日法), чтобы получить лучшее приблизительное значение, чем старое, путем итеративного сложения числителей и знаменателей «более слабой» дроби. с «более сильной фракцией». ^[4] Легендарное π = Цзу Чунчжи355/113можно получить методом Хэ Чэнтяня ^[5]

Система линейных уравнений

системные уравнения

В восьмой главе « Прямоугольные массивы Цзючжан Суаньшу» представлен алгоритм решения системы линейных уравнений методом исключения : ^[6]

Задача 8-1: Предположим, у нас есть 3 пачки круп высшего качества, 2 пачки круп среднего качества и пачка круп низкого качества с совокупным весом 39 до. У нас также есть 2, 3 и 1 пачка соответствующих круп на сумму 34 доу; у нас также есть 1,2 и 3 пачки соответствующих круп на общую сумму 26 доу.

Найдите количество круп высшего, среднего и низкого качества. В алгебре эту задачу можно выразить тремя системами уравнений с тремя неизвестными.

${\displaystyle {\begin{cases}3x+2y+z=39\\2x+3y+z=34\\x+2y+3z=26\end{cases}}}$

Эта проблема была решена в Цзючжан Суаньшу с помощью счетных стержней, разложенных на счетной доске в табличном формате, похожем на матрицу 3х4:

Алгоритм:

1. Умножьте центральный столбец на номер высшего качества в правом столбце.
2. Несколько раз вычитайте правый столбец из центрального столбца, пока верхнее число центрального столбца не станет равным 0.
3. умножьте левый столбец на значение верхней строки правого столбца.
4. Несколько раз вычитайте правый столбец из левого столбца, пока верхнее число левого столбца не станет равным 0.
5. После применения описанного выше алгоритма исключения к уменьшенному центральному и левому столбцам матрица была уменьшена до треугольной формы.

Количество одной пачки крупы низкого качества ${\displaystyle ={\frac {99}{36}}=2{\frac {3}{4}}}$

Из которого легко узнать количество одной пачки круп высшего и среднего качества:

• Одна пачка круп высшего качества = 9 доу. ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$
• Одна пачка средних хлопьев = 4 до. ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$

Извлечение квадратного корня

Алгоритм извлечения квадратного корня был описан в Jiuzhang Suanshu и с небольшими различиями в терминологии в Sunzi Suanjing .

извлечение квадратного корня из 234567 в Суньцзы Суаньцзин

извлечение квадратного корня Кушьяром ибн Лаббаном

Анимация показывает алгоритм извлечения стержневого исчисления аппроксимации квадратного корня из алгоритма из главы 2 задачи 19 Суньцзы Суаньцзин: ${\displaystyle {\sqrt {234567}}\approx 484{\tfrac {311}{968}}}$

Теперь есть квадрат площадью 234567, найдите одну сторону квадрата . ^[7]

Алгоритм следующий:

• Установите на счетной доске во втором ряду сверху число 234567 с именем ши.
• Установите маркер 1 на позиции 10000 в 4-й строке с именем xia fa.
• Оцените первую цифру квадратного корня как цифру 4 счетного стержня, поместите ее в верхний ряд ( шань ) на позицию сотен,
• Умножьте шанг 4 на сяфа 1, поместите произведение 4 в 3-й ряд с именем клык фа.
• Умножьте шанг на клык фа , вычтите произведение 4x4=16 из ши : 23-16=7, оставьте цифру 7.
• Удвойте клык fa 4, чтобы он стал цифрой 8, сдвиньте на одну позицию вправо и измените вертикальную 8 на горизонтальную 8 после перемещения вправо.
• Переместите ся фа на две позиции вправо.
• Оцените вторую цифру шанг как 8: поставьте цифру 8 на десятую позицию в верхнем ряду.
• Умножьте ся фа на новую цифру шан и прибавьте к клык фа.

.

• 8 называет 8 = 64, вычтите 64 из цифры «74» в верхнем ряду, оставив один стержень на самой старшей цифре.
• удвойте последнюю цифру клыка fa 8, прибавьте 80 = 96
• Переместите клык fa 96 на одну позицию вправо, измените соглашение; переместите xia fa «1» на две позиции вправо.
• Оцените третью цифру Шан как 4.
• Умножьте новую цифру шанг 4 на ся фа 1 в сочетании с клыком фа , чтобы получить 964.
• вычтите последовательно 4*9=36,4*6=24,4*4=16 из ши , оставив 311
• удвойте последнюю цифру 4 слова «fang fa» на 8 и объедините ее с «fang fa».
• результат ${\displaystyle {\sqrt {234567}}\approx 484{\tfrac {311}{968}}}$

Математик династии Северная Сун Цзя Сянь разработал аддитивный мультипликативный алгоритм для извлечения квадратного корня , в котором он заменил традиционное «удвоение» «фан фа» добавлением цифры «шан » к цифре «фан фа» , с тем же эффектом.

Извлечение кубического корня

Аддитивный мультипликативный метод Цзя Сяня извлечения кубического корня

Цзючжан суаньшу vol iv «шаогуан» предоставил алгоритм извлечения кубического корня.

〔一九〕今有積一百八十六萬八百六十七尺。問為立方幾何？答曰:一百二十三尺。

Задача 19: У нас есть 1860867 кубических хи, какова длина стороны? Ответ: 123 чи.

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1860867}}=123}$

Математик Цзя Сянь из династии Северная Сун изобрел метод, аналогичный упрощенной форме схемы Горнера , для извлечения кубического корня. На анимации справа показан алгоритм Цзя Сяня для решения задачи 19 в книге Цзючжан суаньшу, том 4.

Полиномиальное уравнение

Алгоритм «Хорнера» Цинь Цзюшао.

Математик династии Северная Сун Цзя Сянь изобрел схему Горнера для решения простого уравнения 4-го порядка вида

${\displaystyle x^{4}=a}$

Математик династии Южная Сун Цинь Цзюшао усовершенствовал метод Горнера Цзя Сяня для решения полиномиальных уравнений до 10-го порядка. Ниже приведен алгоритм решения

${\displaystyle -x^{4}+15245x^{2}-6262506.25=0}$в его «Математическом трактате в девяти разделах», том 6, задача 2. ^[8]

Это уравнение было расположено снизу вверх со счетными стержнями на счетной доске в табличной форме.

Алгоритм:

1. Расположите коэффициенты в табличной форме: константа — ши, коэффициент х — шанлянь, коэффициент — и юй; выровняйте числа по рангу единицы. ${\displaystyle x^{4}}$
2. Продвинутый Шан Лянь, два ранга
3. Продвигайтесь на три ранга вперед
4. Оценка шанс=20
5. пусть ся лянь = шан * и юй
6. let fu lian=shang *yi yu
7. объединить Фу Лянь с Шан Лянем
8. let fang=шанг * шан лянь
9. вычесть шанг*фан из ши
10. добавить шан * и ю к ся лянь
11. уберите Ся Лянь на 3 ранга, уберите И Юй на 4 ранга
12. Вторая цифра Шан — 0.
13. объединить Шан Лянь с клыком
14. объединить И Ю с Ся Лянь
15. Прибавьте и юй к фу лянь, вычтите результат из клыка, пусть результат будет знаменателем.
16. найдите наибольший общий делитель = 25 и упростите дробь ${\displaystyle {\frac {32450625}{59056400}}}$
17. решение ${\displaystyle x=20{\frac {1298205}{2362256}}}$

Тянь Юань Шу

Тянь юань шу в Ли Чжи: Игу яньдуань

Математик династии Юань Ли Чжи разработал стержневое исчисление в Тянь юань шу.

Пример Ли Чжи Цюань Хайцзин том II, задача 14, уравнение с одним неизвестным:

${\displaystyle -x^{2}-680x+96000=0}$

元

Полиномиальные уравнения четырех неизвестных

факсимиле Чжу Шицзе: Нефритовое зеркало четырех неизвестных

Математик Чжу Шицзе развил стержневое исчисление, включив в него полиномиальные уравнения с двумя-четырьмя неизвестными.

Например, полиномы трех неизвестных:

Уравнение 1: ${\displaystyle -y-z-y^{2}*x-x+xyz=0}$

太

Уравнение 2: ${\displaystyle -y-z+x-x^{2}+xz=0}$

Уравнение 3: ${\displaystyle y^{2}-z^{2}+x^{2}=0;}$

太

После последовательного исключения двух неизвестных полиномиальное уравнение трех неизвестных сводилось к полиномиальному уравнению одного неизвестного:

${\displaystyle x^{4}-6x^{3}+4x^{2}+6x-5=0}$

Решено х=5;

При этом игнорируются 3 других ответа, 2 повторяются.

Смотрите также

• Китайская математика
• Счетные стержни

Рекомендации

1. Ронан и Нидхэм, Краткий обзор науки и цивилизации в Китае, том 2, глава 1, Математика
2. * Хо Пэн Йоке, Ли, Ци и Шу ISBN  0-486-41445-0
3. Лам Лэй Ён, стр. 87-88.
4. Жан-Клод Марцлофф, История китайской математики, стр. 281.
5. У Вэньцзюнь, изд. Большая серия истории китайской математики, том 4, стр. 125
6. Жан-Клод Марцлофф, История китайской математики, стр. 249-257.
7. Лэй Лэй Юн, Анг Тянь Се, Мимолетные шаги, стр. 66-73
8. Жан-Клод Марцлофф, История китайской математики, стр. 233-246.

• Лам Лэй Ён (蓝丽蓉) Анг Тянь Се (洪天赐), Мимолетные шаги, World Scientific ISBN 981-02-3696-4 
• Жан-Клод Марцлофф, История китайской математики ISBN 978-3-540-33782-9