Система отсчета

В физике и астрономии система отсчёта (или система отсчёта ) — это абстрактная система координат , начало , ориентация и масштаб которой указаны в физическом пространстве . Она основана на наборе опорных точек , определяемых как геометрические точки , положение которых идентифицируется как математически (с помощью числовых значений координат), так и физически (обозначается обычными маркерами). ^[1] Важным частным случаем являются инерциальные системы отсчёта , неподвижные или равномерно движущиеся системы.

Для n измерений n + 1 опорных точек достаточно для полного определения опорной системы. Используя прямоугольные декартовы координаты , опорная система может быть определена с опорной точкой в начале координат и опорной точкой на расстоянии одной единицы вдоль каждой из n осей координат . ^{[ необходима цитата ]}

В теории относительности Эйнштейна системы отсчета используются для указания связи между движущимся наблюдателем и наблюдаемым явлением. В этом контексте термин часто становится системой отсчета наблюдения (или системой отсчета наблюдения ), что подразумевает, что наблюдатель находится в состоянии покоя в системе, хотя и не обязательно находится в ее начале . Релятивистская система отсчета включает (или подразумевает) координатное время , которое не равнозначно в различных системах отсчета, движущихся относительно друг друга. Таким образом, ситуация отличается от теории относительности Галилея , в которой все возможные координатные времена по существу эквивалентны. ^{[ необходима цитата ]}

Определение

Необходимость различать различные значения термина «система отсчета» привела к появлению множества терминов. Например, иногда тип системы координат добавляется в качестве модификатора, как в декартовой системе отсчета . Иногда подчеркивается состояние движения, как во вращающейся системе отсчета . Иногда подчеркивается способ, которым оно преобразуется в системы, рассматриваемые как связанные, как в галилеевой системе отсчета . Иногда системы отсчета различаются по масштабу их наблюдений, как в макроскопических и микроскопических системах отсчета . ^[2]

В этой статье термин система отсчета наблюдения используется, когда акцент делается на состоянии движения , а не на выборе координат или характере наблюдений или наблюдательного аппарата. В этом смысле система отсчета наблюдения позволяет изучать влияние движения на целое семейство систем координат, которые могут быть присоединены к этой системе. С другой стороны, система координат может использоваться для многих целей, где состояние движения не является первостепенной задачей. Например, система координат может быть принята для использования симметрии системы. В еще более широкой перспективе формулировка многих проблем в физике использует обобщенные координаты , нормальные моды или собственные векторы , которые только косвенно связаны с пространством и временем. Кажется полезным разделить различные аспекты системы отсчета для обсуждения ниже. Поэтому мы принимаем системы отсчета наблюдения, системы координат и наблюдательное оборудование как независимые концепции, разделенные следующим образом:

Система наблюдения (например, инерциальная система или неинерциальная система отсчета ) — это физическое понятие, связанное с состоянием движения.
Система координат — это математическое понятие, представляющее собой выбор языка, используемого для описания наблюдений. ^[3] Следовательно, наблюдатель в системе отсчета наблюдения может выбрать любую систему координат (декартову, полярную, криволинейную, обобщенную, ...) для описания наблюдений, сделанных в этой системе отсчета. Изменение в выборе этой системы координат не меняет состояние движения наблюдателя и, таким образом, не влечет за собой изменение системы отсчета наблюдения наблюдателя . Эту точку зрения можно найти и в другом месте. ^[4] Что не оспаривает тот факт, что некоторые системы координат могут быть лучшим выбором для некоторых наблюдений, чем другие.

Выбор того, что измерять и с помощью какого прибора наблюдения, — это вопрос, отдельный от состояния движения наблюдателя и выбора системы координат.

^[а]

Системы координат

Хотя термин «система координат» часто используется (особенно физиками) в нетехническом смысле, в математике он имеет точное значение, и иногда именно его имеют в виду и физики.

Система координат в математике — это раздел геометрии или алгебры , ^{[9] [}10 ^] в частности, свойство многообразий (например, в физике, конфигурационных пространств или фазовых пространств ). ^[11]^[12] Координаты точки r в n -мерном пространстве — это просто упорядоченный набор из n чисел: ^[13]^[14]

\mathbf {r} =[x^{1},\ x^{2},\ \dots ,\ x^{n}].

В общем банаховом пространстве эти числа могут быть (например) коэффициентами в функциональном разложении, подобном ряду Фурье . В физической задаче они могут быть пространственно-временными координатами или амплитудами нормальных мод . В конструкции робота они могут быть углами относительных поворотов, линейными смещениями или деформациями суставов . ^[15] Здесь мы предположим, что эти координаты могут быть связаны с декартовой системой координат с помощью набора функций:

x^{j}=x^{j}(x,\ y,\ z,\ \dots ),\quad j=1,\ \dots ,\ n,

где x , y , z и т . д. — n декартовых координат точки. При наличии этих функций координатные поверхности определяются соотношениями:

x^{j}(x,y,z,\dots )=\mathrm {constant} ,\quad j=1,\ \dots ,\ n.

Пересечение этих поверхностей определяет координатные линии . В любой выбранной точке касательные к пересекающимся координатным линиям в этой точке определяют набор базисных векторов { e ₁ , e ₂ , ..., e _n } в этой точке. То есть: ^[16]

\mathbf {e} _{i}(\mathbf {r} )=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} \left(x^{1},\ \dots ,\ x^{i}+\epsilon ,\ \dots ,\ x^{n}\right)-\mathbf {r} \left(x^{1},\ \dots ,\ x^{i},\ \dots ,\ x^{n}\right)}{\epsilon }},\quad i=1,\ \dots ,\ n,

который может быть нормализован до единичной длины. Для более подробной информации см. криволинейные координаты .

Координатные поверхности, координатные линии и базисные векторы являются компонентами системы координат . ^[17] Если базисные векторы ортогональны в каждой точке, то система координат является ортогональной системой координат .

Важным аспектом системы координат является ее метрический тензор g _ik , который определяет длину дуги ds в системе координат через ее координаты: ^[18]

(ds)^{2}=g_{ik}\ dx^{i}\ dx^{k},

где повторяющиеся индексы суммируются.

Как видно из этих замечаний, система координат является математической конструкцией , частью аксиоматической системы . Не существует необходимой связи между системами координат и физическим движением (или любым другим аспектом реальности). Однако системы координат могут включать время в качестве координаты и могут использоваться для описания движения. Таким образом, преобразования Лоренца и преобразования Галилея можно рассматривать как преобразования координат .

Наблюдательная система отсчета

Наблюдательная система отсчета , часто называемая физической системой отсчета , системой отсчета или просто системой отсчета , является физическим понятием, связанным с наблюдателем и состоянием движения наблюдателя. Здесь мы принимаем точку зрения, выраженную Кумаром и Барве: наблюдательная система отсчета характеризуется только своим состоянием движения . ^[19] Однако по этому вопросу нет единодушия. В специальной теории относительности иногда проводится различие между наблюдателем и системой отсчета . Согласно этой точке зрения, система отсчета — это наблюдатель плюс координатная решетка, построенная так, чтобы быть ортонормированным правым набором пространственноподобных векторов, перпендикулярных времениподобному вектору. См. Дорана. ^[20] Этот ограниченный взгляд здесь не используется и не является общепринятым даже при обсуждении теории относительности. ^[21]^[22] В общей теории относительности использование общих систем координат является обычным явлением (см., например, решение Шварцшильда для гравитационного поля вне изолированной сферы ^[23] ).

Существует два типа наблюдаемых систем отсчета: инерциальные и неинерциальные . Инерциальная система отсчета определяется как система, в которой все законы физики принимают свою простейшую форму. В специальной теории относительности эти системы связаны преобразованиями Лоренца , которые параметризуются быстротой . В ньютоновской механике более узкое определение требует только, чтобы выполнялся первый закон Ньютона ; то есть ньютоновская инерциальная система — это система, в которой свободная частица движется по прямой с постоянной скоростью или находится в состоянии покоя. Эти системы связаны преобразованиями Галилея . Эти релятивистские и ньютоновские преобразования выражаются в пространствах общей размерности в терминах представлений группы Пуанкаре и группы Галилея .

В отличие от инерциальной системы отсчета, неинерциальная система отсчета — это система, в которой для объяснения наблюдений необходимо привлекать фиктивные силы . Примером может служить система отсчета наблюдений, центрированная в точке на поверхности Земли. Эта система отсчета вращается вокруг центра Земли, что вводит фиктивные силы, известные как сила Кориолиса , центробежная сила и сила тяготения . (Все эти силы, включая силу тяжести, исчезают в истинно инерциальной системе отсчета, которая является системой свободного падения.)

Измерительная аппаратура

Еще одним аспектом системы отсчета является роль измерительного прибора (например, часов и стержней), прикрепленного к раме (см. цитату Нортона выше). Этот вопрос не рассматривается в этой статье и представляет особый интерес в квантовой механике , где связь между наблюдателем и измерением все еще обсуждается (см. проблему измерения ).

В физических экспериментах система отсчета, в которой покоятся лабораторные измерительные приборы, обычно называется лабораторной системой отсчета или просто «лабораторной системой отсчета». Примером может служить система отсчета, в которой покоятся детекторы ускорителя частиц. Лабораторная система отсчета в некоторых экспериментах является инерциальной, но это не обязательно (например, лаборатория на поверхности Земли во многих физических экспериментах не является инерциальной). В экспериментах по физике частиц часто бывает полезно преобразовывать энергии и импульсы частиц из лабораторной системы отсчета, в которой они измеряются, в систему отсчета центра импульса «систему отсчета центра импульса», в которой вычисления иногда упрощаются, поскольку потенциально вся кинетическая энергия, все еще присутствующая в системе отсчета центра импульса, может быть использована для создания новых частиц.

В этой связи можно отметить, что часы и стержни, часто используемые для описания измерительного оборудования наблюдателей в мыслях, на практике заменяются гораздо более сложной и косвенной метрологией , которая связана с природой вакуума и использует атомные часы , которые работают в соответствии со стандартной моделью и которые должны быть скорректированы с учетом гравитационного замедления времени . ^[24] (См. во-вторых , метр и килограмм ).

На самом деле Эйнштейн считал, что часы и стержни были всего лишь удобными измерительными приборами и их следовало заменить более фундаментальными сущностями, основанными, например, на атомах и молекулах. ^[25]

Обобщение

Обсуждение выводится за рамки простых пространственно-временных систем координат Брэдингом и Кастеллани. ^[26] Расширение до систем координат с использованием обобщенных координат лежит в основе гамильтоновых и лагранжевых формулировок ^[27] квантовой теории поля , классической релятивистской механики и квантовой гравитации . ^[28]^[29]^[30]^[31]^[32]

Экземпляры

Другие кадры

Смотрите также

Примечания

^ Вот цитата, применимая к движущимся системам наблюдения и различным связанным с ними евклидовым трехмерным системам координат [ R , R′ и т. д. ]: ^[5] ${\mathfrak {R}}$
Сначала мы введем понятие системы отсчета , которая сама по себе связана с идеей наблюдателя : система отсчета - это, в некотором смысле, «евклидово пространство, переносимое наблюдателем». Давайте дадим более математическое определение:… система отсчета - это… множество всех точек в евклидовом пространстве с движением твердого тела наблюдателя. Говорят, что система отсчета, обозначенная , движется вместе с наблюдателем.… Пространственные положения частиц помечаются относительно системы отсчета путем установления системы координат R с началом O . Соответствующий набор осей, разделяющих движение твердого тела системы , можно считать дающим физическую реализацию . В системе координаты изменяются с R на R′ путем выполнения в каждый момент времени одного и того же преобразования координат над компонентами внутренних объектов (векторов и тензоров), введенными для представления физических величин в этой системе отсчета . ${\mathfrak {R}}$ ${\mathfrak {R}}$ ${\mathfrak {R}}$ ${\mathfrak {R}}$ ${\mathfrak {R}}$
и это о полезности разделения понятий и [ R , R′ и т.д. ]: ^[6] ${\mathfrak {R}}$
Как отметил Бриллюэн, необходимо провести различие между математическими наборами координат и физическими системами отсчета. Незнание такого различия является источником большой путаницы... зависимые функции, такие как скорость, например, измеряются относительно физической системы отсчета, но можно свободно выбрать любую математическую систему координат, в которой задаются уравнения.
и это, также о различии между и [ R , R′ и т.д. ]: ^[7] ${\mathfrak {R}}$
Идея системы отсчета на самом деле совершенно отличается от идеи системы координат. Системы отсчета отличаются только тогда, когда они определяют различные пространства (множества точек покоя ) или времена (множества одновременных событий). Таким образом, идеи пространства, времени, покоя и одновременности неразрывно связаны с идеей системы отсчета. Однако простое смещение начала координат или чисто пространственное вращение пространственных координат приводит к новой системе координат. Таким образом, системы отсчета в лучшем случае соответствуют классам систем координат.
и от Дж. Д. Нортона: ^[8]
В традиционных разработках специальной и общей теории относительности было принято не различать две совершенно разные идеи. Первая — это понятие системы координат, понимаемое просто как гладкое, обратимое присвоение четырех чисел событиям в окрестностях пространства-времени. Вторая, система отсчета, относится к идеализированной системе, используемой для присвоения таких чисел […] Чтобы избежать ненужных ограничений, мы можем отделить эту схему от метрических понятий. […] Для наших целей особенно важно то, что каждая система отсчета имеет определенное состояние движения при каждом событии пространства-времени. […] В контексте специальной теории относительности и до тех пор, пока мы ограничиваемся системами отсчета в инерциальном движении, мало что важного зависит от разницы между инерциальной системой отсчета и инерциальной системой координат, которую она индуцирует. Это удобное обстоятельство немедленно исчезает, как только мы начинаем рассматривать системы отсчета, находящиеся в неравномерном движении даже в рамках специальной теории относительности.… Совсем недавно, чтобы преодолеть очевидные двусмысленности трактовки Эйнштейна, понятие системы отсчета вновь появилось как структура, отличная от системы координат.

Ссылки

^ Ковалевский, Дж.; Мюллер , Иван И. (1989). "Введение". Системы отсчета . Библиотека астрофизики и космической науки. Т. 154. Дордрехт: Springer Netherlands. стр. 1–12. doi :10.1007/978-94-009-0933-5_1. ISBN 978-94-010-6909-0. ISSN 0067-0057.
^ Различие между макроскопическими и микроскопическими рамками проявляется, например, в электромагнетизме, где конститутивные соотношения различных временных и длинных масштабов используются для определения плотности тока и заряда, входящих в уравнения Максвелла . См., например, Курт Эдмунд Офстун (2006). Распространение электромагнитных и оптических импульсов 1: Спектральные представления во временно-дисперсионных средах. Springer. стр. 165. ISBN 0-387-34599-X.. Эти различия также появляются в термодинамике. См. Пол МакЭвой (2002). Классическая теория. MicroAnalytix. стр. 205. ISBN 1-930832-02-8..
^ В самых общих чертах, система координат — это набор дуг x ⁱ = x ⁱ ( t ) в комплексной группе Ли ; см. Лев Семенович Понтрягин (1986). Л. С. Понтрягин: Избранные труды. Т. 2: Топологические группы (3-е изд.). Гордон и Брич. стр. 429. ISBN 2-88124-133-6.. Менее абстрактно, система координат в пространстве n-мерностей определяется в терминах базисного набора векторов { e ₁ , e ₂ ,... e _n }; см. Edoardo Sernesi; J. Montaldi (1993). Линейная алгебра: геометрический подход. CRC Press. стр. 95. ISBN 0-412-40680-2.Таким образом, система координат представляет собой математическую конструкцию, язык, который может быть связан с движением, но не имеет обязательной связи с движением.
^ JX Zheng-Johansson; Per-Ivar Johansson (2006). Объединение классической, квантовой и релятивистской механики и четырех сил. Nova Publishers. стр. 13. ISBN 1-59454-260-0.
^ Жан Саленсон; Стивен Лайл (2001). Справочник по механике сплошных сред: общие концепции, термоупругость. Springer. стр. 9. ISBN 3-540-41443-6.
^ Патрик Корнилл (Ахлеш Лахтакиа, редактор) (1993). Очерки о формальных аспектах электромагнитной теории. World Scientific. стр. 149. ISBN 981-02-0854-5. {{cite book}}: |author=имеет общее название ( помощь )
^ Нерлих, Грэм (1994). Что объясняет пространство-время: метафизические эссе о пространстве и времени. Cambridge University Press. стр. 64. ISBN 0-521-45261-9.
^ Джон Д. Нортон (1993). Общая ковариантность и основы общей теории относительности: восемь десятилетий спора, Rep. Prog. Phys. , 56 , стр. 835-7.
^ Уильям Баркер; Роджер Хоу (2008). Непрерывная симметрия: от Евклида до Клейна. Американское математическое общество. стр. 18 и далее. ISBN 978-0-8218-3900-3.
^ Арлан Рамсей; Роберт Д. Рихтмайер (1995). Введение в гиперболическую геометрию . Springer. стр. 11. ISBN 0-387-94339-0. система координат аксиом геометрии.
^ Согласно Хокингу и Эллису: «Многообразие — это пространство, локально похожее на евклидово пространство в том смысле, что оно может быть покрыто координатными пятнами. Эта структура позволяет определить дифференциацию, но не различает различные системы координат. Таким образом, единственными понятиями, определяемыми структурой многообразия, являются те, которые не зависят от выбора системы координат». Стивен В. Хокинг; Джордж Фрэнсис Рейнер Эллис (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени. Cambridge University Press. стр. 11. ISBN 0-521-09906-4.Математическое определение таково: связное хаусдорфово пространство M называется n -мерным многообразием, если каждая точка M содержится в открытом множестве, гомеоморфном открытому множеству в евклидовом n -мерном пространстве.
^ Сигэюки Морита; Теруко Нагасе; Кацуми Номидзу (2001). Геометрия дифференциальных форм . Книжный магазин Американского математического общества. п. 12. ISBN 0-8218-1045-6. система координат аксиом геометрии.
^ Гранино Артур Корн; Тереза М. Корн (2000). Математический справочник для ученых и инженеров: определения, теоремы и формулы для справок и обзоров. Courier Dover Publications. стр. 169. ISBN 0-486-41147-8.
^ См. определение Encarta. Архивировано 31 октября 2009 г.
^ Кацу Яманэ (2004). Моделирование и генерация движений человеческих фигур. Springer. С. 12–13. ISBN 3-540-20317-6.
^ Ахиллеус Папапетру (1974). Лекции по общей теории относительности. Springer. стр. 5. ISBN 90-277-0540-2.
^ Уилфорд Здунковски; Андреас Ботт (2003). Динамика атмосферы. Cambridge University Press. стр. 84. ISBN 0-521-00666-X.
^ А. И. Борисенко; И. Е. Тарапов; Ричард А. Сильверман (1979). Векторный и тензорный анализ с приложениями. Courier Dover Publications. стр. 86. ISBN 0-486-63833-2.
^ См. Арвинд Кумар; Шриш Барве (2003). Как и почему в базовой механике. Orient Longman. стр. 115. ISBN 81-7371-420-7.
^ Крис Доран; Энтони Ласенби (2003). Геометрическая алгебра для физиков. Cambridge University Press. стр. §5.2.2, стр. 133. ISBN 978-0-521-71595-9..
^ Например, Мёллер утверждает: «Вместо декартовых координат мы, очевидно, можем с тем же успехом использовать общие криволинейные координаты для фиксации точек в физическом пространстве.…теперь мы введем общие «криволинейные» координаты x ⁱ в четырехмерном пространстве…». К. Мёллер (1952). Теория относительности . Oxford University Press. стр. 222 и стр. 233.
^ AP Lightman; WH Press; RH Price; SA Teukolsky (1975). Сборник задач по теории относительности и гравитации . Princeton University Press. стр. 15. ISBN 0-691-08162-X. релятивистские общие координаты.
^ Ричард Л. Фабер (1983). Дифференциальная геометрия и теория относительности: введение. CRC Press. стр. 211. ISBN 0-8247-1749-X.
^ Ричард Вольфсон (2003). Просто Эйнштейн. WW Norton & Co. стр. 216. ISBN 0-393-05154-4.
^ См. Гвидо Рицци; Маттео Лука Руджеро (2003). Относительность во вращающихся системах отсчета. Спрингер. п. 33. ISBN 1-4020-1805-3..
^ Кэтрин Брэдинг ; Елена Кастеллани (2003). Симметрии в физике: философские размышления. Cambridge University Press. стр. 417. ISBN 0-521-82137-1.
^ Оливер Дэвис Джонс (2005). Аналитическая механика для теории относительности и квантовой механики. Oxford University Press. Глава 16. ISBN 0-19-856726-X.
^ Дональд Т. Гринвуд (1997). Классическая динамика (Переиздание издания 1977 года под редакцией Prentice-Hall). Courier Dover Publications. стр. 313. ISBN 0-486-69690-1.
^ Мэтью А. Трамп; WC Schieve (1999). Классическая релятивистская динамика многих тел. Springer. стр. 99. ISBN 0-7923-5737-X.
^ Александр Соломонович Компанеец (2003). Теоретическая физика (Переиздание 2-го изд. 1962 г.). Courier Dover Publications. С. 118. ISBN 0-486-49532-9.
^ M Srednicki (2007). Квантовая теория поля. Cambridge University Press. Глава 4. ISBN 978-0-521-86449-7.
^ Карло Ровелли (2004). Квантовая гравитация. Cambridge University Press. стр. 98 и далее. ISBN 0-521-83733-2.