серия Винер

В математике ряд Винера или разложение Винера G-функционалов берет свое начало в книге Норберта Винера 1958 года . Это ортогональное разложение для нелинейных функционалов, тесно связанное с рядом Вольтерра и имеющее к нему такое же отношение, как ортогональное разложение полиномов Эрмита к степенному ряду . По этой причине оно также известно как разложение Винера–Эрмита . Аналог коэффициентов называется ядрами Винера . Члены ряда ортогональны (некоррелированы) относительно статистического входа белого шума . Это свойство позволяет идентифицировать члены в приложениях методом Ли–Шетцена .

Ряд Винера важен для идентификации нелинейных систем . В этом контексте ряд аппроксимирует функциональное отношение выхода ко всей истории входа системы в любой момент времени. Ряд Винера в основном применялся для идентификации биологических систем, особенно в нейронауке .

Название ряд Винера используется почти исключительно в теории систем . В математической литературе он встречается как разложение Ито (1951), которое имеет другую форму, но полностью эквивалентно ему.

Ряд Винера не следует путать с фильтром Винера — другим алгоритмом, разработанным Норбертом Винером и используемым при обработке сигналов.

Винеровские G-функциональные выражения

Для системы с парой вход/выход , где вход представляет собой белый шум с нулевым средним значением и мощностью A, мы можем записать выход системы как сумму ряда G-функционалов Винера ${\displaystyle (x(t),y(t))}$ ${\displaystyle y(n)=\sum _{p}(G_{p}x)(n)}$

Далее будут даны выражения G-функционалов до пятого порядка: ^{[ необходимы пояснения ]}

{{Объяснить}}

${\displaystyle (G_{0}x)(n)=k_{0}=E\left\{y(n)\right\};}$

${\displaystyle (G_{1}x)(n)=\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{1}-1}k_{1}(\tau _{1})x(n-\tau _{1});}$

${\displaystyle (G_{2}x)(n)=\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{2}-1}k_{2}(\tau _{1},\tau _{2})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})-A\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{2}-1}k_{2}(\tau _{1},\tau _{1});}$

${\displaystyle (G_{3}x)(n)=\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{3}-1}k_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})-3A\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{3}-1}\sum _{\tau _{2}=0}^{N_{3}-1}k_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2})x(n-\tau _{1});}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(G_{4}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{4}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})+{}\\[6pt]&{}-6A\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}\sum _{\tau _{3}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})+3A^{2}\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2});\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(G_{5}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{5}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{5})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})x(n-\tau _{5})+{}\\[6pt]&{}-10A\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{4}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})\\[6pt]&{}+15A^{2}\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{2},\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3})x(n-\tau _{1}).\end{aligned}}}$

Смотрите также

• серия Вольтерра
• Системная идентификация
• Среднее значение, вызванное скачком

Ссылки

• Винер, Норберт (1958). Нелинейные задачи случайной теории . Уайли и MIT Press.
• Ли и Шетцен; Шетцен‡, М. (1965). «Измерение ядер Винера нелинейной системы методом взаимной корреляции». Международный журнал контроля . Первый. 2 (3): 237–254. дои : 10.1080/00207176508905543.
• Ито К. «Множественный интеграл Винера» J. Math. Соц. Япония. 3 1951 157–169
• Мармарелис, П.З.; Нака, К. (1972). «Анализ белого шума нейронной цепи: применение теории Винера». Science . 175 (4027): 1276–1278. Bibcode :1972Sci...175.1276M. doi :10.1126/science.175.4027.1276. PMID  5061252.
• Шетцен, Мартин (1980). Теории Вольтерра и Винера нелинейных систем . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-04455-0.
• Мармарелис, П. З. (1991). «Анализ Винера нелинейной обратной связи». Sensory Systems Annals of Biomedical Engineering . 19 (4): 345–382. doi :10.1007/BF02584316. PMID  1741522.
• Франц, М.; Шёлькопф, Б. (2006). «Объединяющий взгляд на теорию Винера и Вольтерра и регрессию полиномиального ядра». Neural Computation . 18 (12): 3097–3118. doi :10.1162/neco.2006.18.12.3097. PMID  17052160.
• LA Zadeh О представлении нелинейных операторов. IRE Westcon Conv. Record pt.2 1957 105-113.