система Эйлера

В математике система Эйлера представляет собой совокупность совместимых элементов групп когомологий Галуа, индексированных полями . Они были введены Колывагиным (1990) в его работе о точках Хигнера на модулярных эллиптических кривых , которая была мотивирована его более ранней статьей Колывагиным (1988) и работой Тейна (1988). Системы Эйлера названы в честь Леонарда Эйлера, потому что факторы, связывающие различные элементы системы Эйлера, напоминают факторы Эйлера произведения Эйлера .

Системы Эйлера можно использовать для построения аннуляторов групп идеальных классов или групп Сельмера , давая тем самым границы их порядков, что, в свою очередь, привело к глубоким теоремам, таким как конечность некоторых групп Тейта-Шафаревича . Это привело к новому доказательству Карлом Рубином основной гипотезы теории Ивасавы , которое считается более простым, чем первоначальное доказательство, предложенное Барри Мазуром и Эндрю Уайлсом .

Определение

Хотя существует несколько определений особых видов системы Эйлера, похоже, не существует опубликованного определения системы Эйлера, которое охватывало бы все известные случаи. Но грубо сказать, что такое система Эйлера, можно так:

Система Эйлера задается набором элементов c _F . Эти элементы часто индексируются определенными числовыми полями F , содержащими некоторое фиксированное числовое поле K , или чем-то тесно связанным, например, целыми числами без квадратов. Элементы c _F обычно являются элементами некоторой группы когомологий Галуа, такой как H ¹ ( F , T ), где T является p -адическим представлением абсолютной группы Галуа K .
Наиболее важным условием является то, что элементы c _F и c _G для двух разных полей F ⊆ G связаны простой формулой, например:

{\rm {cor}}_{G/F}(c_{G})=\prod _{q\in \Sigma (G/F)}P(\mathrm {Fr} _{q}^ {-1}|{\rm {Hom}}_{O}(T,O(1));\mathrm {Fr} _{q}^{-1})c_{F}

Здесь «фактор Эйлера» P (τ| B ; x ) определяется как элемент det(1-τ x | B ), рассматриваемый как элемент O[ x ], который, когда x случается действовать на B , не является элементом то же самое, что det(1-τ x | B ), рассматриваемый как элемент O.

Могут существовать и другие условия, которым c _F должен удовлетворять, например, условия конгруэнтности.

Казуя Като называет элементы системы Эйлера «арифметическими воплощениями дзета» и описывает свойство системы Эйлера как «арифметическое отражение того факта, что эти воплощения связаны с особыми значениями произведений Эйлера». ^[1]

Примеры

Циклотомные единицы

Для каждого положительного целого числа n без квадратов выберите корень ζ n -й _{степени} из 1, при этом ζ _mn = ζ _m ζ _n для m , n взаимно простых чисел. Тогда круговая система Эйлера — это набор чисел α _n = 1 − ζ _n . Они удовлетворяют отношениям

N_{Q(\zeta _{nl})/Q(\zeta _{l})}(\alpha _{nl})=\alpha _{n}^{F_{l}-1}

\alpha _{nl} \equiv \alpha _{n}

по модулю всех простых чисел выше l

где l — простое число, не делящее n , а F _l — автоморфизм Фробениуса с F _l (ζ _n ) = ζ^л
_н. Колывагин использовал эту систему Эйлера для элементарного доказательства гипотезы Граса .

суммы Гаусса

Эллиптические агрегаты

Очки Хегнера

Колывагин построил систему Эйлера из точек Хегнера эллиптической кривой и использовал ее, чтобы показать, что в некоторых случаях группа Тейта-Шафаревича конечна.