Связанное состояние

Терминология квантовой физики

Связанное состояние представляет собой совокупность двух или более фундаментальных строительных блоков, таких как частицы, атомы или тела, которые ведут себя как единый объект и в котором для их разделения требуется энергия. ^[1]

В квантовой физике связанное состояние — это квантовое состояние частицы, подверженной потенциалу , при котором частица имеет тенденцию оставаться локализованной в одной или нескольких областях пространства. ^[2] Потенциал может быть внешним или может быть результатом присутствия другой частицы; в последнем случае можно эквивалентно определить связанное состояние как состояние, представляющее две или более частиц, энергия взаимодействия которых превышает полную энергию каждой отдельной частицы. Одним из следствий является то, что при потенциале, исчезающем на бесконечности , состояния с отрицательной энергией должны быть связаны. Энергетический спектр набора связанных состояний чаще всего дискретен, в отличие от состояний рассеяния свободных частиц , которые имеют непрерывный спектр.

Хотя метастабильные состояния с чистой положительной энергией взаимодействия, но большим временем распада, не являются связанными состояниями в строгом смысле, их часто также считают нестабильными связанными состояниями и называют «квазисвязанными состояниями». ^[3] Примерами служат радионуклиды и атомы Ридберга . ^[4]

В релятивистской квантовой теории поля устойчивое связанное состояние n частиц с массами соответствует полюсу в S -матрице с энергией центра масс, меньшей . Неустойчивое связанное состояние проявляется как полюс со сложной энергией центра масс. ${\displaystyle \{m_{k}\}_{k=1}^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{k}m_{k}}$

Примеры

Обзор различных семейств элементарных и составных частиц, а также теорий, описывающих их взаимодействия.

• Протон и электрон могут двигаться раздельно; когда они это делают, общая энергия центра масс положительна, и такую ​​пару частиц можно описать как ионизированный атом. Как только электрон начинает «вращаться» вокруг протона, энергия становится отрицательной, и образуется связанное состояние, а именно атом водорода .  Только связанное состояние с самой низкой энергией, основное состояние , является стабильным. Другие возбужденные состояния нестабильны и распадаются на стабильные (но не другие нестабильные) связанные состояния с меньшей энергией, испуская фотон .
• « Атом » позитрония — это нестабильное связанное состояние электрона и позитрона . Он распадается на фотоны .
• Любое состояние в квантовом гармоническом осцилляторе связано, но имеет положительную энергию. Обратите внимание, что , поэтому нижеследующее не применимо. ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{V_{\text{QHO}}(x)}=\infty }$
• Ядро — это связанное состояние протонов и нейтронов ( нуклонов ).
• Сам протон представляет собой связанное состояние трех кварков (два верхних и один нижний ; один красный , один зеленый и один синий ). Однако, в отличие от случая атома водорода, отдельные кварки никогда не могут быть изолированы. См. конфайнмент .
• Модели Хаббарда и Джейнса–Каммингса–Хаббарда (JCH) поддерживают похожие связанные состояния. В модели Хаббарда два отталкивающихся бозонных атома могут образовывать связанную пару в оптической решетке . ^{[5] [6] [7]} Гамильтониан JCH также поддерживает двухполяритонные связанные состояния, когда взаимодействие фотона и атома достаточно сильное. ^[8]

Определение

Пусть σ -конечное мерное пространство будет вероятностным пространством, связанным с сепарабельным комплексным гильбертовым пространством . Определим однопараметрическую группу унитарных операторов , оператор плотности и наблюдаемую на . Пусть будет индуцированным распределением вероятностей относительно . Тогда эволюция ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \rho =\rho (t_{0})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mu (T,\rho )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho (t_{0})\mapsto [U_{t}(\rho )](t_{0})=\rho (t_{0}+t)}$

связан относительно если ​ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \lim _{R\rightarrow \infty }{\sup _{t\geq t_{0}}{\mu (T,\rho (t))(\mathbb {R} _{>R})}}=0}$,

где . ^{[ сомнительный – обсудить ] [9]} ${\displaystyle \mathbb {R} _{>R}=\lbrace x\in \mathbb {R} \mid x>R\rbrace }$

Квантовая частица находится в связанном состоянии , если ни в какой момент времени она не находится «слишком далеко» от какой-либо конечной области . Например, используя представление волновой функции , это означает ^[10] ${\displaystyle R\subset X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\lim _{R\to \infty }{\mathbb {P} ({\text{particle measured inside }}X\setminus R)}\\&=\lim _{R\to \infty }{\int _{X\setminus R}|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)},\end{aligned}}}$

такой что

${\displaystyle \int _{X}{|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)}<\infty .}$

В общем случае квантовое состояние является связанным состоянием тогда и только тогда, когда оно конечно нормализуемо для всех времен . ^[11] Более того, связанное состояние лежит в пределах чисто точечной части спектра тогда и только тогда, когда оно является собственным вектором . [ ^12] ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Более неформально, «ограниченность» вытекает прежде всего из выбора области определения и характеристик состояния, а не из наблюдаемого. ^{[nb 1]} Для конкретного примера: пусть и пусть будут оператором положения . Даны компактно носимые и . ${\displaystyle H:=L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \rho =\rho (0)\in H}$ ${\displaystyle [-1,1]\subseteq \mathrm {Supp} (\rho )}$

• Если эволюция состояния «перемещает этот волновой пакет вправо», например, если для всех , то не является связанным состоянием относительно положения. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle [t-1,t+1]\in \mathrm {Supp} (\rho (t))}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle \rho }$
• Если не изменяется во времени, т.е. для всех , то связано по положению. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho (t)=\rho }$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle \rho }$
• В более общем смысле: если эволюция состояния «просто движется внутри ограниченной области», то она ограничена относительно положения. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

Характеристики

Поскольку конечно нормируемые состояния должны лежать в пределах чистой точечной части спектра, связанные состояния должны лежать в пределах чистой точечной части. Однако, как указали Нейман и Вигнер , возможно, что энергия связанного состояния будет расположена в непрерывной части спектра. Это явление называется связанным состоянием в континууме . ^{[13] [14]}

Состояния, связанные с позицией

Рассмотрим одночастичное уравнение Шредингера. Если состояние имеет энергию , то волновая функция ψ удовлетворяет, для некоторого ${\textstyle E<\max {\left(\lim _{x\to \infty }{V(x)},\lim _{x\to -\infty }{V(x)}\right)}}$ ${\displaystyle X>0}$

${\displaystyle {\frac {\psi ^{\prime \prime }}{\psi }}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V(x)-E)>0{\text{ for }}x>X}$

так что ψ экспоненциально подавляется при больших x . Это поведение хорошо изучено для плавно меняющихся потенциалов в приближении ВКБ для волновой функции, где колебательное поведение наблюдается, если правая часть уравнения отрицательна, и растущее/затухающее поведение, если она положительна. ^[15] Следовательно, отрицательные энергетические состояния связаны, если исчезает на бесконечности. ${\displaystyle V(x)}$

Невырожденность в одномерных связанных состояниях

Можно показать, что одномерные связанные состояния невырождены по энергии для хорошо себя ведущих волновых функций, которые затухают до нуля на бесконечности. Это не обязательно справедливо для волновых функций в более высоких измерениях. Благодаря свойству невырожденных состояний одномерные связанные состояния всегда можно выразить как действительные волновые функции.

Теорема об узле

Теорема об узле утверждает, что связанная волновая функция, упорядоченная по возрастанию энергии, имеет ровно узлы, т. е. точки , где . Из-за формы уравнений Шредингера, независимых от времени, невозможно, чтобы физическая волновая функция имела , поскольку она соответствует решению. ^[16] ${\displaystyle n{\text{th}}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle \psi (a)=0\neq \psi '(a)}$ ${\displaystyle \psi (a)=0=\psi '(a)}$ ${\displaystyle \psi (x)=0}$

Требования

Бозон с массой m _χ, опосредующий слабосвязанное взаимодействие , создает потенциал взаимодействия, подобный потенциалу Юкавы ,

${\displaystyle V(r)=\pm {\frac {\alpha _{\chi }}{r}}e^{-{\frac {r}{\lambda \!\!\!{\frac {}{\ }}_{\chi }}}}}$,

где g — константа калибровочной связи, а ƛ _i = ⁠ ${\displaystyle \alpha _{\chi }=g^{2}/4\pi }$ℏ/м _и с⁠ — это приведенная длина волны Комптона . Скалярный бозон создает универсально притягивающий потенциал, тогда как вектор притягивает частицы к античастицам, но отталкивает как пары. Для двух частиц массой m ₁ и m ₂ радиус Бора системы становится

${\displaystyle a_{0}={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}{\alpha _{\chi }}}}$

и дает безразмерное число

${\displaystyle D={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{a_{0}}}=\alpha _{\chi }{\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}}=\alpha _{\chi }{\frac {m_{1}+m_{2}}{m_{\chi }}}}$.

Для того, чтобы первое связанное состояние вообще существовало, . Поскольку фотон безмассовый, D для электромагнетизма бесконечно . Для слабого взаимодействия масса Z -бозона равна ${\displaystyle D\gtrsim 0.8}$91,1876 ± 0,0021 ГэВ/ c ² , что препятствует образованию связанных состояний между большинством частиц, как это97,2 раза больше массы протона иВ 178 000 раз больше массы электрона .

Однако следует отметить, что если бы взаимодействие Хиггса не нарушало электрослабую симметрию в электрослабом масштабе , то слабое взаимодействие SU(2) стало бы удерживающим . ^[17]

Смотрите также

• Уравнение Бете–Солпитера
• Связанное состояние в континууме
• Композитное поле
• Пара Купера
• Резонанс (физика элементарных частиц)
• Теорема Левинсона

Замечания

1. См . пример в разделе Ожидаемое значение (квантовая механика) .

Ссылки

1. «Связанное состояние - Оксфордский справочник».
2. Бланшар, Филипп; Брюнинг, Эрвин (2015). Математические методы в физике . Биркхойзер. п. 430. ИСБН 978-3-319-14044-5.
3. Sakurai, Jun (1995). "7.8". В Tuan, San (ред.). Modern Quantum Mechanics (пересмотренное издание). Reading, Mass: Addison-Wesley. стр. 418–9. ISBN 0-201-53929-2. Предположим, что барьер бесконечно высок... мы ожидаем связанных состояний с энергией E  > 0. ... Это стационарные состояния с бесконечным временем жизни. В более реалистичном случае конечного барьера частица может быть заперта внутри, но она не может быть заперта вечно. Такое запертое состояние имеет конечное время жизни из-за квантово-механического туннелирования. ... Назовем такое состояние квазисвязанным состоянием , потому что оно было бы честным связанным состоянием, если бы барьер был бесконечно высок.
4. Галлахер, Томас Ф. (1994-09-15). "Силы осцилляторов и время жизни". Rydberg Atoms (1-е изд.). Cambridge University Press. стр. 38–49. doi :10.1017/cbo9780511524530.005. ISBN 978-0-521-38531-2.
5. К. Винклер; Г. Талхаммер; Ф. Ланг; Р. Гримм; Дж. Х. Деншлаг; Эй Джей Дейли; А. Кантиан; HP Бухлер; П. Золлер (2006). «Отталкивающе связанные пары атомов в оптической решетке». Природа . 441 (7095): 853–856. arXiv : cond-mat/0605196 . Бибкод : 2006Natur.441..853W. дои : 10.1038/nature04918. PMID  16778884. S2CID  2214243.
6. Яванайнен, Юха; Одонг Отим; Сандерс, Джером К. (апрель 2010 г.). «Димер двух бозонов в одномерной оптической решетке». Phys. Rev. A. 81 ( 4): 043609. arXiv : 1004.5118 . Bibcode : 2010PhRvA..81d3609J. doi : 10.1103/PhysRevA.81.043609. S2CID  55445588.
7. M. Valiente & D. Petrosyan (2008). "Двухчастичные состояния в модели Хаббарда". J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys . . 41 (16): 161002. arXiv : 0805.1812 . Bibcode :2008JPhB...41p1002V. doi :10.1088/0953-4075/41/16/161002. S2CID  115168045.
8. Макс TC Вонг и CK Лоу (май 2011 г.). "Связанные состояния двух поляритонов в модели Джейнса-Каммингса-Хаббарда". Phys. Rev. A. 83 ( 5). Американское физическое общество : 055802. arXiv : 1101.1366 . Bibcode : 2011PhRvA..83e5802W. doi : 10.1103/PhysRevA.83.055802. S2CID  119200554.
9. Рид, М.; Саймон, Б. (1980). Методы современной математической физики: I: Функциональный анализ . Academic Press. стр. 303. ISBN 978-0-12-585050-6.
10. Густафсон, Стивен Дж.; Сигал, Исраэль Майкл (2020). «Связанные и распадающиеся состояния». Математические концепции квантовой механики . Cham: Springer International Publishing. doi :10.1007/978-3-030-59562-3. ISBN 978-3-030-59561-6. ISSN  0172-5939.
11. Рюэль, Д. (1969). "Замечание о связанных состояниях в теории потенциального рассеяния" (PDF) . Il Nuovo Cimento A. 61 ( 4). Springer Science and Business Media LLC. doi :10.1007/bf02819607. ISSN  0369-3546.
12. Саймон, Б. (1978). «Обзор строгой теории рассеяния». стр. 3.
13. Стиллингер, Фрэнк Х.; Херрик, Дэвид Р. (1975). «Связанные состояния в континууме». Physical Review A. 11 ( 2). Американское физическое общество (APS): 446–454. doi :10.1103/physreva.11.446. ISSN  0556-2791.
14. Сюй, Чиа Вэй; Чжэнь, Бо; Стоун, А. Дуглас; Иоаннопулос, Джон Д.; Солячич, Марин (2016). «Связанные состояния в континууме». Nature Reviews Materials . 1 (9). Springer Science and Business Media LLC. doi : 10.1038/natrevmats.2016.48. hdl : 1721.1/108400 . ISSN  2058-8437.
15. Холл, Брайан С. (2013). Квантовая теория для математиков . Выпускные тексты по математике. Нью-Йорк Гейдельберг$fДордрехт Лондон: Springer. С. 316-320. ISBN 978-1-4614-7115-8.
16. Березин, Ф.А. (1991). Уравнение Шрёдингера. Дордрехт ; Бостон: Издательство Kluwer Academic Publishers. стр. 64–66. ISBN 978-0-7923-1218-5.
17. Клодсон, М.; Фархи, Э.; Джаффе, Р.Л. (1 августа 1986 г.). «Сильно связанная стандартная модель». Physical Review D. 34 ( 3): 873–887. Bibcode : 1986PhRvD..34..873C. doi : 10.1103/PhysRevD.34.873. PMID  9957220.

Дальнейшее чтение

• Бланшар, Филипп; Брюнинг, Эдвард (2015). «Некоторые приложения спектрального представления». Математические методы в физике: распределения, операторы гильбертова пространства, вариационные методы и приложения в квантовой физике (2-е изд.). Швейцария: Springer International Publishing. стр. 431. ISBN 978-3-319-14044-5.