Система дифференциальных уравнений

Группа дифференциальных уравнений

В математике система дифференциальных уравнений — это конечный набор дифференциальных уравнений . Такая система может быть как линейной , так и нелинейной . Также такая система может быть либо системой обыкновенных дифференциальных уравнений , либо системой уравнений в частных производных .

Линейные системы дифференциальных уравнений

Линейная система ОДУ первого порядка — это система, в которой каждое уравнение имеет первый порядок и зависит от неизвестных функций линейно. Здесь мы рассматриваем системы с равным числом неизвестных функций и уравнений. Их можно записать как

${\displaystyle {\frac {dx_{j}}{dt}}=a_{j1}(t)x_{1}+\ldots +a_{jn}(t)x_{n}+g_{j}(t),\qquad j=1,\ldots ,n}$

где — положительное целое число, а — произвольные функции независимой переменной t. Линейная система ОДУ первого порядка может быть записана в матричной форме: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{ji}(t),g_{j}(t)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\ldots &\vdots \\a_{n1}&&a_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}g_{1}\\g_{2}\\\vdots \\g_{n}\end{bmatrix}},}$

или просто

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {g} (t)}$.

Однородные системы дифференциальных уравнений

Линейная система называется однородной , если для каждого и для всех значений , в противном случае она называется неоднородной. Однородные системы обладают тем свойством, что если являются линейно независимыми решениями системы, то любая их линейная комбинация, , также является решением линейной системы, где являются постоянными. ${\displaystyle g_{j}(t)=0}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {x_{1}} ,\ldots ,\mathbf {x_{p}} }$ ${\displaystyle C_{1}\mathbf {x_{1}} +\ldots +C_{p}\mathbf {x_{p}} }$ ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{p}}$

Случай, когда все коэффициенты постоянны, имеет общее решение: , где — собственное значение матрицы с соответствующими собственными векторами для . Это общее решение применимо только в случаях, когда имеет n различных собственных значений, случаи с меньшим количеством различных собственных значений должны рассматриваться по-другому. ${\displaystyle a_{ji}(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =C_{1}\mathbf {v_{1}} e^{\lambda _{1}t}+\ldots +C_{n}\mathbf {v_{n}} e^{\lambda _{n}t}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Линейная независимость решений

Для произвольной системы ОДУ набор решений называется линейно-независимым, если: ${\displaystyle \mathbf {x_{1}} (t),\ldots ,\mathbf {x_{n}} (t)}$

${\displaystyle C_{1}\mathbf {x_{1}} (t)+\ldots +C_{n}\mathbf {x_{n}} =0\quad \forall t}$ удовлетворяется только для . ${\displaystyle C_{1}=\ldots =C_{n}=0}$

Дифференциальное уравнение второго порядка можно преобразовать в систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка , определив , что дает нам систему первого порядка: ${\displaystyle {\ddot {x}}=f(t,x,{\dot {x}})}$ ${\displaystyle y={\dot {x}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}&=&y\\{\dot {y}}&=&f(t,x,y)\end{cases}}}$

Как и в случае любой линейной системы из двух уравнений, два решения можно назвать линейно-независимыми, если подразумевает , или, что эквивалентно, что не равно нулю. Это понятие распространяется на системы второго порядка, и любые два решения ОДУ второго порядка называются линейно-независимыми, если они линейно-независимы в этом смысле. ${\displaystyle C_{1}\mathbf {x} _{1}+C_{2}\mathbf {x} _{2}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle C_{1}=C_{2}=0}$ ${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}\\{\dot {x}}_{1}&{\dot {x}}_{2}\end{vmatrix}}}$

Переопределенность систем дифференциальных уравнений

Как и любая система уравнений, система линейных дифференциальных уравнений называется переопределенной , если уравнений больше, чем неизвестных. Чтобы переопределенная система имела решение, она должна удовлетворять условиям совместимости. ^[1] Например, рассмотрим систему:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=f_{i},1\leq i\leq m.}$

Тогда необходимыми условиями для того, чтобы система имела решение, являются:

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}=0,1\leq i,k\leq m.}$

См. также: Задача Коши и фундаментальный принцип Эренпрейса .

Нелинейная система дифференциальных уравнений

Возможно, самым известным примером нелинейной системы дифференциальных уравнений являются уравнения Навье–Стокса . В отличие от линейного случая, существование решения нелинейной системы является сложной проблемой (ср. Существование и гладкость Навье–Стокса .)

Другими примерами нелинейных систем дифференциальных уравнений являются уравнения Лотки–Вольтерра .

Дифференциальная система

Дифференциальная система — это способ изучения системы уравнений в частных производных с использованием геометрических идей, таких как дифференциальные формы и векторные поля.

Например, условия совместности переопределенной системы дифференциальных уравнений можно кратко сформулировать в терминах дифференциальных форм (т. е. для того, чтобы форма была точной, она должна быть замкнутой). Подробнее см. в условиях интегрируемости для дифференциальных систем .

Смотрите также

• Интегральная геометрия
• Теорема Картана–Кураниши о продолжении

Примечания

1. «Переопределенная система — Энциклопедия математики».

Ссылки

• Л. Эренпрайс, Универсальность преобразования Радона , Oxford Univ. Press, 2003.
• Громов, М. (1986), Частные дифференциальные отношения, Springer, ISBN 3-540-12177-3 
• М. Кураниши, "Лекции по инволютивным системам уравнений с частными производными", Изд-во Soc. Mat. Сан-Паулу (1967)
• Пьер Шапира, Микродифференциальные системы в комплексной области, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 269, Шпрингер-Верлаг, 1985.

Дальнейшее чтение

• https://mathoverflow.net/questions/273235/a-very-basic-question-about-projections-in-formal-pde-theory
• https://www.encyclepediaofmath.org/index.php/Involutional_system
• https://www.encyclepediaofmath.org/index.php/Complete_system
• https://www.encyclepediaofmath.org/index.php/Partial_ Differential_equations_on_a_manifold