В математике решето Лежандра , названное в честь Адриана-Мари Лежандра , является простейшим методом в современной теории сит . Он применяет концепцию решета Эратосфена для нахождения верхних или нижних границ количества простых чисел в заданном наборе целых чисел. Поскольку это простое развитие идеи Эратосфена , его иногда называют решетом Лежандра-Эратосфена . [1]
Центральная идея метода выражается следующим тождеством, иногда называемым тождеством Лежандра :
где A — набор целых чисел, P — произведение различных простых чисел, — функция Мёбиуса и множество целых чисел из A , делящихся на d , а S(A, P) определяется как:
т.е. S ( A , P ) — это количество чисел в A без общих с P множителей .
Обратите внимание, что в наиболее типичном случае A — это все целые числа, меньшие или равные некоторому действительному числу X , P — произведение всех простых чисел, меньших или равных некоторому целому числу z < X , и тогда тождество Лежандра принимает вид:
(где обозначает функцию пола ). В этом примере ясен тот факт, что тождество Лежандра выведено из Решета Эратосфена: первый член — это количество целых чисел ниже X , второй член удаляет кратные всем простым числам, третий член возвращает кратные двум простым числам. (которые были ошибочно подсчитаны из-за того, что их «вычеркнули дважды»), но также добавляет обратно числа, кратные трем простым числам, когда их слишком много, и так далее, пока не будут охвачены все (где обозначает количество простых чисел ниже z ) комбинации простых чисел.
После того, как S ( A , P ) рассчитано для этого особого случая, его можно использовать для оценки с помощью выражения
что непосредственно следует из определения S ( A , P ).
Решето Лежандра имеет проблему с дробными частями членов, которые накапливаются в большую ошибку, что означает, что в большинстве случаев сито дает только очень слабые оценки. По этой причине он почти никогда не используется на практике, поскольку его вытесняют другие методы, такие как сито Бруна и сито Сельберга . Однако, поскольку эти более мощные сита являются развитием основных идей сита Лежандра, полезно сначала понять, как это сито работает.