Доксастическая логика

Тип логики рассуждений об убеждениях

Доксастическая логика — это тип логики , связанной с рассуждениями об убеждениях .

Термин доксастик происходит от древнегреческого δόξα ( doxa , «мнение, убеждение»), из которого также заимствован английский термин doxa («популярное мнение или убеждение»). Обычно в доксастической логике это обозначение означает «Считается, что это так», а набор обозначает набор убеждений . В доксастической логике убеждение рассматривается как модальный оператор . ${\displaystyle {\mathcal {B}}x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {B} :\left\{b_{1},\ldots ,b_{n}\right\}}$

Существует полный параллелизм между человеком, который верит в предположения , и формальной системой , которая выводит предложения. Используя доксастическую логику, можно выразить эпистемический аналог теоремы металогики Гёделя о неполноте , а также теоремы Лёба и других металогических результатов в терминах убеждения. ^[1]

Типы рассуждений

Чтобы продемонстрировать свойства наборов убеждений, Рэймонд Смалльян определяет следующие типы рассуждений:

• Точный мыслитель : ^{[1] [2] [3] [4]} Точный мыслитель никогда не верит никакому ложному утверждению. (модальная аксиома T )

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}p\to p}$

• Неточный мыслитель : ^{[1] [2] [3] [4]} Неточный мыслитель верит как минимум в одно ложное утверждение.

${\displaystyle \exists p:\neg p\wedge {\mathcal {B}}p}$

• Последовательный мыслитель : ^{[1] [2] [3] [4]} Последовательный мыслитель никогда не верит одновременно в утверждение и его отрицание. (модальная аксиома D )

${\displaystyle \neg \exists p:{\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B}}\neg p\quad {\text{or}}\quad \forall p:{\mathcal {B}}p\to \neg {\mathcal {B}}\neg p}$

• Нормальный мыслитель : ^{[1] [2] [3] [4]} Нормальный мыслитель — это тот, кто, веря, также верит , что верит p (модальная аксиома 4 ). ${\displaystyle p,}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {BB}}p}$

Разновидностью этого может быть кто-то, кто, хотя и не верит, в то же время считает , что не верит p (модальная аксиома 5 ). ${\displaystyle p,}$

${\displaystyle \forall p:\neg {\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}(\neg {\mathcal {B}}p)}$

• Необычный мыслитель : ^{[1] [4]} Необычный мыслитель верит в утверждение p, одновременно полагая, что он не верит. Хотя необычный мыслитель может показаться странным психологическим феноменом (см. парадокс Мура ), своеобразный мыслитель обязательно неточен, но не обязательно непоследователен. ${\displaystyle p.}$

${\displaystyle \exists p:{\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B\neg B}}p}$

• Обычный мыслитель : ^{[1] [2] [3] [4]} Обычный мыслитель — это тот, кто, веря , также верит . ${\displaystyle p\to q}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q}$

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q)}$

• Рефлексивный мыслитель : ^{[1] [4]} Рефлексивный мыслитель — это тот, для которого каждое предложение имеет такое предложение , в которое мыслитель верит . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q\equiv ({\mathcal {B}}q\to p)}$

${\displaystyle \forall p\exists q:{\mathcal {B}}(q\equiv ({\mathcal {B}}q\to p))}$

Если рефлексивный мыслитель типа 4 [см. ниже] верит , он поверит стр. Это параллелизм теоремы Лёба для рассуждений. ${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to p}$

• Тщеславный мыслитель : ^{[1] [4]} Тщеславный мыслитель считает, что его убеждения никогда не бывают неточными.

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\neg \exists p(\neg p\wedge {\mathcal {B}}p)]\quad {\text{or}}\quad {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}p\to p)]}$

Переписанный в новой форме, это логически эквивалентно :

${\displaystyle \forall p[{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to p)]}$

Это подразумевает, что:

${\displaystyle \forall p({\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}p)}$

Это показывает, что тщеславный мыслитель всегда является устойчивым мыслителем (см. ниже).

• Нестабильный мыслитель : ^{[1] [4]} Нестабильный мыслитель — это тот, кто считает, что верит в какое-то утверждение, но на самом деле не верит в него. Это столь же странное психологическое явление, как и своеобразие; однако нестабильный мыслитель не обязательно непоследователен.

${\displaystyle \exists p:{\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\wedge \neg {\mathcal {B}}p}$

• Стабильный мыслитель : ^{[1] [4]} Стабильный мыслитель не является нестабильным. То есть для каждого если они верят, то они верят . Обратите внимание, что стабильность — это противоположность нормальности. Мы скажем, что рассуждающий считает, что он устойчив, если он верит в каждое предложение (полагая: «Если я когда-нибудь поверю, что верю , то я действительно поверю »). Это соответствует наличию плотного отношения доступности в семантике Крипке , и любое точное рассуждение всегда стабильно. ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}p}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}p}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {BB}}p\to {\mathcal {B}}p}$

• Скромный рассуждающий : ^{[1] [4]} Скромный рассуждающий — это тот, для кого во всякое суждение верится только в том случае , если они верят . Скромный мыслитель никогда не верит , если не верит . Любой рефлексивный мыслитель четвертого типа скромен. ( Теорема Лёба ) ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to p}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to p)\to {\mathcal {B}}p}$

• Странный мыслитель : ^[4] Странный мыслитель относится к типу G и считает, что они непоследовательны, но ошибается в этом убеждении.
• Робкий мыслитель : ^[4] Робкий мыслитель не верит [боится верить ], если он верит, что вера в ведет к противоречивому убеждению. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}\bot )\to \neg {\mathcal {B}}p}$

Повышение уровня рациональности

• Рассуждающий типа 1 : ^{[1] [2] [3] [4] [5]} Рассуждающий типа 1 обладает полным знанием логики высказываний , т.е. он рано или поздно верит в каждую тавтологию /теорему (любое утверждение, доказуемое таблицами истинности ):

${\displaystyle \vdash _{PC}p\Rightarrow \ \vdash {\mathcal {B}}p}$

Символ означает — это тавтология/теорема, доказуемая в исчислении высказываний. Кроме того, их набор убеждений (прошлое, настоящее и будущее) логически замкнут в рамках modus ponens . Если они когда-нибудь поверят , то они (рано или поздно) поверят : ${\displaystyle \vdash _{PC}p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\to q}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \forall p\forall q:({\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B}}(p\to q))\to {\mathcal {B}}q)}$

Это правило также можно рассматривать как утверждение, что убеждение распространяется на импликацию, поскольку это логически эквивалентно

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to ({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q)}$.

Обратите внимание, что в действительности даже предположение о рассуждении типа 1 может быть слишком сильным в некоторых случаях (см. Парадокс лотереи ).

• Рассуждающий типа 1* : ^{[1] [2] [3] [4]} Рассуждающий типа 1* верит во все тавтологии; их набор убеждений (прошлое, настоящее и будущее) логически замкнут по modus ponens, и для любых пропозиций и если они верят , то они поверят, что если они поверят , то они поверят . Рассудитель типа 1* обладает «немного большим» самосознанием , чем рассуждатель типа 1. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q,}$ ${\displaystyle p\to q,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q)}$

• Рассуждающий типа 2 : ^{[1] [2] [3] [4]} Рассуждающий относится к типу 2, если он принадлежит к типу 1, и если для каждого и они (правильно) полагают: «Если я когда-нибудь поверю в оба и , то Я поверю ». Будучи представителями типа 1, они также верят в логически эквивалентное утверждение: рассуждающий типа 2 знает, что его убеждения закрыты в соответствии с modus ponens. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\to q,}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p\to q)\to ({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q).}$

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(({\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B}}(p\to q))\to {\mathcal {B}}q)}$

• Рассуждение типа 3 : ^{[1] [2] [3] [4]} Рассуждение относится к типу 3, если оно является обычным рассуждением типа 2.

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p}$

• Рассудитель 4-го типа : ^{[1] [2] [3] [4] [5]} Рассудитель относится к 4-му типу, если он принадлежит к 3-му типу и при этом считает себя нормальным.

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p)]}$

• Рассудитель типа G : ^{[1] [4]} Рассудитель типа 4, считающий себя скромным.

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to p)\to {\mathcal {B}}p)]}$

Самореализующиеся убеждения

Для систем мы определяем рефлексивность как означающую, что для любого (на языке системы) существует такое , что доказуемо в системе. Теорема Лёба (в общей форме) состоит в том, что для любой рефлексивной системы типа 4, если она доказуема в системе, то и ^{[1] [4]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q\equiv {\mathcal {B}}q\to p}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to p}$ ${\displaystyle p.}$

Непостоянство веры в свою стабильность

Если последовательный рефлексивный мыслитель 4-го типа считает, что они стабильны, то они станут нестабильными. Другими словами, если устойчивый рефлексивный мыслитель 4-го типа считает, что они стабильны, то они станут непоследовательными. Почему это? Предположим, что устойчивый рефлексивный мыслитель 4-го типа считает, что они стабильны. Мы покажем, что они (рано или поздно) поверят каждому утверждению (и, следовательно, будут непоследовательны). Возьмем любое предложение. Рассуждающий полагает, что, следовательно, согласно теореме Лёба, они поверят (потому что они верят, где находится это предложение , и поэтому они будут верить, какое предложение является ). Будучи стабильными, они тогда поверят ^{[1] [4]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}p,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}p}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}r\to r,}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}p,}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}p}$ ${\displaystyle p.}$

Смотрите также

• Философский портал

• Эпистемическая модальная логика
• Пересмотр убеждений
• Общее знание (логика)
• Джордж Булос
• Яакко Хинтикка
• Модальная логика
• Раймонд Смалльян

Рекомендации

1. Smullyan, Raymond M. , (1986) Логики, которые рассуждают о себе, Материалы конференции 1986 года по теоретическим аспектам рассуждений о знании, Монтерей (Калифорния), Morgan Kaufmann Publishers Inc., Сан-Франциско (Калифорния), стр. 341 –352
2. https://web.archive.org/web/20070930165226/http://cs.wwc.edu/KU/Logic/Book/book/node17.html Вера, знание и самосознание ^{[ мертвая ссылка ]}
3. https://web.archive.org/web/20070213054220/http://moonbase.wwc.edu/~aabyan/Logic/Modal.html Модальная логика ^{[ неработающая ссылка ]}
4. Smullyan, Raymond M. , (1987) Forever Undecided , Alfred A. Knopf Inc.
5. Род Гирл, Возможные миры , McGill-Queen's University Press (2003) ISBN  0-7735-2668-4 ISBN 978-0773526686 

дальнейшее чтение

• Линдстрем, ул.; Рабинович, Вл. (1999). «DDL Unlimited. Динамическая доксастическая логика для интроспективных агентов». Эркеннтнис . 51 (2–3): 353–385. дои : 10.1023/А: 1005577906029. S2CID  116984078.
• Лински, Л. (1968). «Об интерпретации доксастической логики». Журнал философии . 65 (17): 500–502. дои : 10.2307/2024352. JSTOR  2024352.
• Сегерберг, Кр. (1999). «Логика по умолчанию как динамическая доксастическая логика». Эркеннтнис . 50 (2–3): 333–352. дои : 10.1023/А: 1005546526502. S2CID  118747031.
• Вансинг, Х. (2000). «Сведение доксастической логики к логике действия». Эркеннтнис . 53 (1–2): 267–283. дои : 10.1023/А: 1005666218871. S2CID  58939606.