Склерономный

Механическая система, ограничения которой не зависят от времени

Механическая система является склерономной, если уравнения связей не содержат времени как явной переменной и уравнения связей могут быть описаны обобщенными координатами. Такие связи называются склерономными связями. Противоположностью склерономности является реономность .

Приложение

В трехмерном пространстве частица с массой и скоростью имеет кинетическую энергию ${\displaystyle m\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$ ${\displaystyle T\,\!}$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}\,\!.}$

Скорость — это производная положения по времени . Используйте цепное правило для нескольких переменных : ${\displaystyle r\,\!}$ ${\displaystyle t\,\!}$

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\,\!.}$

где - обобщенные координаты . ${\displaystyle q_{i}\,\!}$

Поэтому,

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\left(\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}\,\!.}$

Тщательно переставляя термины, ^[1]

${\displaystyle T=T_{0}+T_{1}+T_{2}\,\!:}$

${\displaystyle T_{0}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}\,\!,}$

${\displaystyle T_{1}=\sum _{i}\ m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\,\!,}$

${\displaystyle T_{2}=\sum _{i,j}\ {\frac {1}{2}}m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\,\!,}$

где , , — однородные функции степени 0, 1 и 2 по обобщенным скоростям соответственно . Если эта система склерономна, то положение не зависит явно от времени: ${\displaystyle T_{0}\,\!}$ ${\displaystyle T_{1}\,\!}$ ${\displaystyle T_{2}\,\!}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=0\,\!.}$

Следовательно, не исчезает только один член: ${\displaystyle T_{2}\,\!}$

${\displaystyle T=T_{2}\,\!.}$

Кинетическая энергия является однородной функцией степени 2 по обобщенным скоростям.

Пример: маятник

Простой маятник

Как показано справа, простой маятник — это система, состоящая из груза и струны. Струна прикреплена на верхнем конце к шарниру, а на нижнем конце — к грузу. Поскольку струна нерастяжима, ее длина постоянна. Следовательно, эта система является склерономной; она подчиняется склерономному ограничению

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-L=0\,\!,}$

где - положение груза, - длина струны. ${\displaystyle (x,y)\,\!}$ ${\displaystyle L\,\!}$

Простой маятник с колеблющейся точкой опоры

Возьмем более сложный пример. Обратитесь к следующему рисунку справа. Предположим, что верхний конец струны прикреплен к точке вращения, совершающей простое гармоническое движение.

${\displaystyle x_{t}=x_{0}\cos \omega t\,\!,}$

где — амплитуда, — угловая частота, — время. ${\displaystyle x_{0}\,\!}$ ${\displaystyle \omega \,\!}$ ${\displaystyle t\,\!}$

Хотя верхний конец струны не фиксирован, длина этой нерастяжимой струны все еще остается постоянной. Расстояние между верхним концом и грузом должно оставаться тем же. Следовательно, эта система является реономной, поскольку подчиняется ограничению, явно зависящему от времени

${\displaystyle {\sqrt {(x-x_{0}\cos \omega t)^{2}+y^{2}}}-L=0\,\!.}$

Смотрите также

• Лагранжева механика
• Голономная система
• Неголономная система
• Реономный
• Массовая матрица

Ссылки

1. Голдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (3-е изд.). Соединенные Штаты Америки: Addison Wesley. стр. 25. ISBN 0-201-65702-3.