Модель скользящего среднего

Модель временных рядов

В анализе временных рядов модель скользящего среднего ( модель MA ), также известная как процесс скользящего среднего , является распространенным подходом к моделированию одномерных временных рядов. ^{[1] [2]} Модель скользящего среднего определяет, что выходная переменная перекрестно коррелирует с неидентичной самой себе случайной величиной.

Вместе с моделью авторегрессии (AR) модель скользящего среднего является частным случаем и ключевым компонентом более общих моделей временных рядов ARMA и ARIMA ^[3] , которые имеют более сложную стохастическую структуру. В отличие от модели AR, конечная модель MA всегда стационарна .

Модель скользящего среднего не следует путать со скользящим средним — это отдельная концепция, несмотря на некоторые сходства. ^[1]

Определение

Обозначение MA( q ) относится к модели скользящего среднего порядка q :

${\displaystyle X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\theta _{1}\varepsilon _{t-1}+\cdots +\theta _{q}\varepsilon _{t-q}=\mu +\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}+\varepsilon _{t},}$

где — среднее значение ряда, — коэффициенты модели ^{[ необходим пример ]} и — ошибки. Значение q называется порядком модели MA. Это можно эквивалентно записать в терминах оператора обратного сдвига B как ^[4] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \theta _{1},...,\theta _{q}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{t},\varepsilon _{t-1},...,\varepsilon _{t-q}}$

${\displaystyle X_{t}=\mu +(1+\theta _{1}B+\cdots +\theta _{q}B^{q})\varepsilon _{t}.}$

Таким образом, модель скользящего среднего концептуально представляет собой линейную регрессию текущего значения ряда против текущих и предыдущих (наблюдаемых) членов ошибки белого шума или случайных потрясений. Предполагается, что случайные потрясения в каждой точке взаимно независимы и исходят из одного и того же распределения, обычно нормального распределения , с нулевым расположением и постоянным масштабом.

Интерпретация

Модель скользящего среднего, по сути, представляет собой фильтр с конечной импульсной характеристикой , применяемый к белому шуму, с некоторой дополнительной интерпретацией. ^{[ необходимы разъяснения ]} Роль случайных потрясений в модели MA отличается от их роли в модели авторегрессии (AR) двумя способами. Во-первых, они напрямую передаются на будущие значения временного ряда: например, появляется непосредственно в правой части уравнения для . Напротив, в модели AR не появляется в правой части уравнения , но появляется в правой части уравнения и появляется в правой части уравнения , оказывая лишь косвенное влияние на . Во-вторых, в модели MA шок влияет на значения только для текущего периода и q периодов в будущем; Напротив, в модели AR шок влияет на значения бесконечно далеко в будущем, потому что влияет , который влияет , который влияет , который влияет , и так навсегда (см. Импульсный отклик ). ${\displaystyle \varepsilon _{t-1}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{t-1}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle X_{t-1}}$ ${\displaystyle X_{t-1}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{t-1}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle X_{t+1}}$ ${\displaystyle X_{t+2}}$

Подгонка модели

Подбор модели скользящего среднего обычно сложнее, чем подбор модели авторегрессии . ^[5] Это связано с тем, что члены запаздывающей ошибки не наблюдаются. Это означает, что вместо линейного метода наименьших квадратов необходимо использовать итеративные нелинейные процедуры аппроксимации . Модели скользящего среднего представляют собой линейные комбинации прошлых членов белого шума, тогда как модели авторегрессии представляют собой линейные комбинации прошлых значений временных рядов. ^[6] Модели ARMA сложнее, чем чистые модели AR и MA, поскольку они сочетают в себе компоненты авторегрессии и скользящего среднего. ^[5]

Автокорреляционная функция (ACF) процесса MA( q ) равна нулю при задержке q + 1 и больше. Поэтому мы определяем подходящую максимальную задержку для оценки, исследуя выборочную автокорреляционную функцию, чтобы увидеть, где она становится незначительно отличающейся от нуля для всех задержек, выходящих за пределы определенного лага, который обозначается как максимальный лаг q .

Иногда ACF и частичная автокорреляционная функция (PACF) предполагают, что модель MA будет лучшим выбором модели, а иногда в одной модели следует использовать термины AR и MA (см. Метод Бокса – Дженкинса ).

Модели авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA) являются альтернативой сегментированной регрессии, которую также можно использовать для подбора модели скользящего среднего. ^[7]

Смотрите также

• Модель авторегрессии – скользящего среднего
• Авторегрессионное интегрированное скользящее среднее
• Авторегрессионная модель
• Конечная импульсная характеристика
• Бесконечная импульсная характеристика

Рекомендации

1. Шамуэй, Роберт Х.; Стоффер, Дэвид С. (19 апреля 2017 г.). Анализ временных рядов и его приложения: на примерах R. Спрингер. ISBN 978-3-319-52451-1. ОКЛК  966563984.
2. «2.1 Модели скользящего среднего (модели MA) | STAT 510» . PennState: онлайн-курсы по статистике . Проверено 27 февраля 2023 г.
3. Шамуэй, Роберт Х.; Стоффер, Дэвид С. (17 мая 2019 г.), «Модели ARIMA», Временные ряды: подход к анализу данных с использованием R , Бока-Ратон: CRC Press, Taylor & Francisco Group, 2019.: Chapman and Hall/CRC, стр. 99–128, номер домена : 10.1201/9780429273285-5, ISBN. 978-0-429-27328-5, получено 27 февраля 2023 г.{{citation}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )
4. Бокс, Джордж EP; Дженкинс, Гвилим М.; Рейнзель, Грегори К.; Люнг, Грета М. (2016). Анализ временных рядов: прогнозирование и контроль (5-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons, Incorporated. п. 53. ИСБН 978-1-118-67492-5. ОСЛК  908107438.
5. «Модели авторегрессионного скользящего среднего ARMA (p, q) для анализа временных рядов - Часть 1 | QuantStart» . www.quantstart.com . Проверено 27 февраля 2023 г.
6. «Модели авторегрессионного скользящего среднего ARMA (p, q) для анализа временных рядов - Часть 2 | QuantStart» . www.quantstart.com . Проверено 27 февраля 2023 г.
7. Шаффер, Андреа Л.; Доббинс, Тимоти А.; Пирсон, Салли-Энн (22 марта 2021 г.). «Анализ прерванных временных рядов с использованием моделей авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA): руководство для оценки крупномасштабных медицинских вмешательств». Методология медицинских исследований BMC . 21 (1): 58. дои : 10.1186/s12874-021-01235-8 . ISSN  1471-2288. ПМЦ 7986567 . ПМИД  33752604. 

дальнейшее чтение

• Эндерс, Уолтер (2004). «Стационарные модели временных рядов». Прикладные эконометрические временные ряды (второе изд.). Нью-Йорк: Уайли. стр. 48–107. ISBN 0-471-45173-8.

Внешние ссылки

• Общие подходы к одномерным временным рядам

 Эта статья включает общедоступные материалы Национального института стандартов и технологий.