Перемещение по методу наименьших квадратов

Перемещение метода наименьших квадратов — это метод восстановления непрерывных функций из набора неорганизованных точечных выборок посредством расчета взвешенной меры наименьших квадратов, смещенной в сторону области вокруг точки, в которой запрашивается восстановленное значение.

В компьютерной графике метод скользящих наименьших квадратов полезен для восстановления поверхности по набору точек. Часто он используется для создания 3D-поверхности из облака точек посредством понижающей или повышающей дискретизации .

В численном анализе для учета вкладов геометрии, где трудно получить дискретизацию, также использовались и обобщались методы скользящих наименьших квадратов для решения УЧП на искривленных поверхностях и других геометриях. ^{[1] [2] [3]} Сюда входят численные методы, разработанные для искривленных поверхностей для решения скалярных параболических уравнений в уравнениях ^{[1] [3]} и векторных гидродинамических уравнений в уравнениях. ^[2]

В машинном обучении методы перемещения наименьших квадратов также использовались для разработки классов моделей и методов обучения. Сюда входят методы функциональной регрессии ^[4] и подходы нейронной сети и операторной регрессии, такие как GMLS-Nets. ^[5]

Определение

Вот 2D пример. Круги — это образцы, а многоугольник — линейная интерполяция. Синяя кривая представляет собой гладкую аппроксимацию третьего порядка.

Рассмотрим функцию и набор точек выборки . Затем скользящая аппроксимация степени методом наименьших квадратов в этой точке минимизирует взвешенную ошибку наименьших квадратов. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S=\{(x_{i},f_{i})|f(x_{i})=f_{i}\}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tilde {p}}(x)}$ ${\displaystyle {\tilde {p}}}$

${\displaystyle \sum _{i\in I}(p(x_{i})-f_{i})^{2}\theta (\|x-x_{i}\|)}$

по всем полиномам степени в . – вес, стремящийся к нулю при . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \theta (s)}$ ${\displaystyle s\to \infty }$

В примере . Гладкий интерполятор «порядка 3» является квадратичным интерполятором. ${\displaystyle \theta (s)=e^{-s^{2}}}$

Смотрите также

• Локальная регрессия
• Метод диффузного элемента
• Скользящее среднее

Рекомендации

1. Лян, Цзянь; Чжао, Хункай (январь 2013 г.). «Решение уравнений в частных производных на облаках точек». Журнал SIAM по научным вычислениям . 35 (3): А1461–А1486. Бибкод : 2013SJSC...35A1461L. дои : 10.1137/120869730. S2CID  9984491.
2. Гросс, Би Джей; Траск, Н.; Кубери, П.; Ацбергер, П.Дж. (15 мая 2020 г.). «Бессеточные методы на многообразиях для гидродинамических потоков на искривленных поверхностях: подход обобщенного скользящего наименьших квадратов (GMLS)». Журнал вычислительной физики . 409 : 109340. arXiv : 1905.10469 . Бибкод : 2020JCoPh.40909340G. дои : 10.1016/j.jcp.2020.109340. S2CID  166228451.
3. Гросс, Би Джей; Кубери, П.; Ацбергер, П.Дж. (15 марта 2022 г.). «Статистика времени первого прохождения на поверхностях общей формы: решатели PDE для поверхностей с использованием обобщенных скользящих наименьших квадратов (GMLS)». Журнал вычислительной физики . 453 : 110932. arXiv : 2102.02421 . Бибкод : 2022JCoPh.45310932G. дои : 10.1016/j.jcp.2021.110932. ISSN  0021-9991. S2CID  231802303.
4. Ван, Хун-Ян; Сян, Дао-Хун; Чжоу, Дин-Сюань (1 марта 2010 г.). «Подвижный метод наименьших квадратов в теории обучения». Журнал теории приближения . 162 (3): 599–614. дои : 10.1016/j.jat.2009.12.002 . ISSN  0021-9045.
5. Траск, Натаниэль; Патель, Рави Г.; Гросс, Бен Дж.; Ацбергер, Пол Дж. (13 сентября 2019 г.). «GMLS-Nets: основа для обучения на неструктурированных данных». arXiv : 1909.05371 [cs.LG].

• Степень аппроксимации перемещения по методу наименьших квадратов Дэвид Левин, Mathematics of Computing, Volume 67, 1517–1531, 1998 [1]
• Аппроксимация подвижной поверхности отклика методом наименьших квадратов: Применения в области рецептур и обработки металлов Петр Брайткопф; Хаким Насер; Ален Рассиньё; Пьер Вийон, Компьютеры и конструкции, том 83, 17–18, 2005 г.
• Обобщение метода конечных элементов: диффузная аппроксимация и диффузные элементы, Б. Нейролес, Г. Тузо. Пьер Вийон, П., Вычислительная механика, том 10, стр. 307–318, 1992 г.

Внешние ссылки

• Максимально краткое введение в методы наименьших квадратов, взвешенные наименьшие квадраты и скользящие наименьшие квадраты для аппроксимации и интерполяции разбросанных данных