Фазовая скорость

Частотная дисперсия в группах гравитационных волн на поверхности глубокой воды. Красный квадрат ■ движется с фазовой скоростью, а зеленые круги ● распространяются с групповой скоростью . В этом случае глубоководья фазовая скорость в два раза больше групповой скорости . Красный квадрат обгоняет два зеленых круга при движении слева направо по рисунку.

Новые волны, по-видимому, возникают в конце группы волн, увеличиваются в амплитуде, пока не оказываются в центре группы, и исчезают в ее передней части.

Для поверхностных гравитационных волн скорости частиц воды в большинстве случаев намного меньше фазовой скорости.

Фазовая скорость волны — это скорость, с которой волна распространяется в любой среде . Это скорость , с которой распространяется фаза любого частотного компонента волны. Для такого компонента любая заданная фаза волны (например, гребень ) будет казаться движущейся с фазовой скоростью. Фазовая скорость задается в терминах длины волны $λ$ (лямбда) и периода времени $T$ как

v_{\mathrm {p} }={\frac {\lambda {T}}.

Эквивалентно, с точки зрения угловой частоты волны $ω$ , которая определяет угловое изменение за единицу времени, и волнового числа (или углового волнового числа) $k$ , которое представляет угловое изменение за единицу пространства,

v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega {k}}.

Чтобы получить некоторую базовую интуицию для этого уравнения, мы рассмотрим распространяющуюся (косинусоидальную) волну $A cos(kx - ωt)$ . Мы хотим увидеть, как быстро распространяется конкретная фаза волны. Например, мы можем выбрать $kx - ωt = 0$ , фазу первого гребня. Это подразумевает $kx$ $= ω$ $t$ , и поэтому $v$ $=$ $x$ $/$ $t$ $=$ $ω$ $/$ $k$ .

Формально, мы положим фазу $φ = kx - ωt$ и сразу увидим, что $ω = -dφ / d t$ и $k$ $= dφ / d$ $x$ . Итак, сразу следует, что

{\frac {\partial x}{\partial t}}=-{\frac {\partial \phi }{\partial t}}{\frac {\partial x}{\partial \phi }}={\frac {\omega }{k}}.

В результате мы наблюдаем обратную зависимость между угловой частотой и волновым вектором . Если волна имеет колебания с более высокой частотой, длина волны должна быть сокращена, чтобы фазовая скорость оставалась постоянной. ^[2] Кроме того, фазовая скорость электромагнитного излучения может — при определенных обстоятельствах (например, аномальная дисперсия ) — превышать скорость света в вакууме, но это не указывает на какую-либо сверхсветовую информацию или передачу энергии. ^{[ необходима цитата ]} Это было теоретически описано такими физиками, как Арнольд Зоммерфельд и Леон Бриллюэн .

Предыдущее определение фазовой скорости было продемонстрировано для изолированной волны. Однако такое определение можно распространить на биение волн или на сигнал, состоящий из нескольких волн. Для этого необходимо математически записать биение или сигнал как низкочастотную огибающую, умноженную на несущую. Таким образом, фазовая скорость несущей определяет фазовую скорость набора волн. ^[3]

Групповая скорость

Суперпозиция одномерных плоских волн (синего цвета), каждая из которых распространяется с различной фазовой скоростью (обведена синими точками), приводит к образованию гауссовского волнового пакета (красного цвета), который распространяется с групповой скоростью (обведена красной линией).

Групповая скорость совокупности волн определяется как

v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}.

Когда несколько синусоидальных волн распространяются вместе, результирующая суперпозиция волн может привести к образованию волны "конверта", а также волны "несущей", которая лежит внутри конверта. Это обычно происходит в беспроводной связи, когда для передачи данных используется модуляция (изменение амплитуды и/или фазы). Чтобы получить некоторое интуитивное представление об этом определении, мы рассмотрим суперпозицию (косинусоидальных) волн $f(x, t)$ с их соответствующими угловыми частотами и волновыми векторами.

{\begin{aligned}f(x,t)&=\cos(k_{1}x-\omega _{1}t)+\cos(k_{2}x-\omega _{2}t)\\&=2\cos \left({\frac {(k_{2}-k_{1})x-(\omega _{2}-\omega _{1})t}{2}}\right)\cos \left({\frac {(k_{2}+k_{1})x-(\omega _{2}+\omega _{1})t}{2}}\right)\\&=2f_{1}(x,t)f_{2}(x,t).\end{aligned}}

Итак, мы имеем произведение двух волн: огибающей волны, образованной $f$ $1$ , и несущей волны, образованной $f$ $2$ . Мы называем скорость огибающей волны групповой скоростью. Мы видим, что фазовая скорость $f$ $1$ равна

{\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{k_{2}-k_{1}}}.

В случае непрерывного дифференциала это становится определением групповой скорости.

Показатель преломления

В контексте электромагнетизма и оптики частота является некоторой функцией $ω (k)$ волнового числа, поэтому в общем случае фазовая скорость и групповая скорость зависят от конкретной среды и частоты. Отношение между скоростью света c и фазовой скоростью v _p известно как показатель преломления , $n = c / v p = ck / ω$ .

Таким образом, мы можем получить другую форму для групповой скорости для электромагнетизма. Записывая $n$ $=$ $n$ $(ω)$ , быстрый способ вывести эту форму — наблюдать

k={\frac {1}{c}}\omega n(\omega )\implies dk={\frac {1}{c}}\left(n(\omega )+\omega {\frac {\partial }{\partial \omega }}n(\omega )\right)d\omega .

Затем мы можем переставить вышесказанное, чтобы получить

v_{g}={\frac {\partial w}{\partial k}}={\frac {c}{n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}}}.

Из этой формулы видно, что групповая скорость равна фазовой скорости только тогда, когда показатель преломления не зависит от частоты . В этом случае среда называется недисперсионной, в отличие от дисперсионной , где различные свойства среды зависят от частоты $ω$ . Это соотношение известно как дисперсионное соотношение среды. ${\textstyle \partial n/\partial \omega =0}$ $\омега (к)$

Смотрите также

Ссылки

Сноски

^ Немировски, Джонатан; Рехтсман, Микаэль С; Сегев, Мордехай (9 апреля 2012 г.). «Отрицательное давление излучения и отрицательный эффективный показатель преломления через диэлектрическое двулучепреломление». Optics Express . 20 (8): 8907–8914. Bibcode : 2012OExpr..20.8907N. doi : 10.1364/OE.20.008907 . PMID 22513601.
^ "Фаза, группа и скорость сигнала". Mathpages.com . Получено 24.07.2011 .
^ «Фазовая скорость: волны и сигналы». electroagenda.com.

Библиография

Crawford jr., Frank S. (1968). Волны (курс физики в Беркли, том 3) , McGraw-Hill, ISBN 978-0070048607 Бесплатная онлайн-версия
Бриллюэн, Леон (1960), Распространение волн и групповая скорость , Нью-Йорк и Лондон: Academic Press Inc., ISBN 978-0-12-134968-4
Мэйн, Иэн Г. (1988), Вибрации и волны в физике (2-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, стр. 214–216, ISBN 978-0-521-27846-1
Типлер, Пол А.; Ллевеллин, Ральф А. (2003), Современная физика (4-е изд.), Нью-Йорк: WH Freeman and Company, стр. 222–223, ISBN 978-0-7167-4345-3