Косые линии

Линии не лежат в одной плоскости

Прямоугольный параллелепипед . Прямая, проходящая через отрезок AD, и прямая, проходящая через отрезок B ₁ B, являются скрещивающимися прямыми, поскольку они не лежат в одной плоскости.

В трехмерной геометрии скрещивающиеся прямые — это две прямые , которые не пересекаются и не параллельны . Простым примером пары скрещивающихся прямых является пара прямых, проходящих через противоположные ребра правильного тетраэдра . Две прямые, которые лежат в одной плоскости, должны либо пересекать друг друга, либо быть параллельными, поэтому скрещивающиеся прямые могут существовать только в трех или более измерениях . Две прямые являются скрещивающимися тогда и только тогда, когда они не являются копланарными .

Общая позиция

Если четыре точки выбраны случайным образом равномерно в пределах единичного куба , они почти наверняка определят пару скрещивающихся прямых. После выбора первых трех точек четвертая точка определит не скрещивающуюся прямую, если и только если она копланарна с первыми тремя точками. Однако плоскость, проходящая через первые три точки, образует подмножество меры ноль куба, и вероятность того, что четвертая точка лежит на этой плоскости, равна нулю. Если это не так, то линии, определяемые точками, будут скрещивающимися.

Аналогично, в трехмерном пространстве очень малое возмущение любых двух параллельных или пересекающихся прямых почти наверняка превратит их в скрещивающиеся прямые. Поэтому любые четыре точки в общем положении всегда образуют скрещивающиеся прямые.

В этом смысле скрещивающиеся прямые являются «обычным» случаем, а параллельные или пересекающиеся прямые — частными случаями.

Формулы

PQ, кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми AB и CD перпендикулярно как AB, так и CD

Тестирование на асимметрию

Если каждая линия в паре скрещивающихся линий определяется двумя точками , через которые она проходит, то эти четыре точки не должны быть копланарными, поэтому они должны быть вершинами тетраэдра ненулевого объема . И наоборот, любые две пары точек, определяющие тетраэдр ненулевого объема, также определяют пару скрещивающихся линий. Поэтому проверка того, определяют ли две пары точек скрещивающиеся линии, заключается в применении формулы для объема тетраэдра в терминах его четырех вершин. Обозначая одну точку как вектор 1×3 a, три элемента которого являются тремя значениями координат точки, и аналогично обозначая b , c , и d для других точек, мы можем проверить, является ли линия, проходящая через a и b, скрещивающейся с линией, проходящей через c и d, проверив, дает ли формула объема тетраэдра ненулевой результат:

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left|\det \left[{\begin{matrix}\mathbf {a} -\mathbf {b} \\\mathbf {b} -\mathbf {c} \\\mathbf {c} -\mathbf {d} \end{matrix}}\right]\right|.}$

Ближайшие точки

Выразим две линии как векторы:

${\displaystyle {\text{Line 1:}}\;\mathbf {v_{1}} =\mathbf {p_{1}} +t_{1}\mathbf {d_{1}} }$

${\displaystyle {\text{Line 2:}}\;\mathbf {v_{2}} =\mathbf {p_{2}} +t_{2}\mathbf {d_{2}} }$

Вектор произведения и перпендикулярен прямым . ${\displaystyle \mathbf {d_{1}} }$ ${\displaystyle \mathbf {d_{2}} }$

${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {d_{2}} }$

Плоскость, образованная переносами прямой 2 вдоль, содержит точку и перпендикулярна . ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {p_{2}} }$ ${\displaystyle \mathbf {n_{2}} =\mathbf {d_{2}} \times \mathbf {n} }$

Таким образом, точка пересечения прямой 1 с вышеупомянутой плоскостью, которая также является точкой на прямой 1, ближайшей к прямой 2, определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {c_{1}} =\mathbf {p_{1}} +{\frac {(\mathbf {p_{2}} -\mathbf {p_{1}} )\cdot \mathbf {n_{2}} }{\mathbf {d_{1}} \cdot \mathbf {n_{2}} }}\mathbf {d_{1}} }$

Аналогично, точка на линии 2, ближайшая к линии 1, определяется выражением (где ) ${\displaystyle \mathbf {n_{1}} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {c_{2}} =\mathbf {p_{2}} +{\frac {(\mathbf {p_{1}} -\mathbf {p_{2}} )\cdot \mathbf {n_{1}} }{\mathbf {d_{2}} \cdot \mathbf {n_{1}} }}\mathbf {d_{2}} }$

Расстояние

Ближайшие точки и образуют кратчайший отрезок, соединяющий линию 1 и линию 2: ${\displaystyle \mathbf {c_{1}} }$ ${\displaystyle \mathbf {c_{2}} }$

${\displaystyle d=\Vert \mathbf {c_{1}} -\mathbf {c_{2}} \Vert .}$

Расстояние между ближайшими точками двух скрещивающихся прямых можно выразить и с помощью других векторов:

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {b} ;}$

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {c} +\mu \mathbf {d} .}$

Здесь вектор x размером 1×3 представляет собой произвольную точку на прямой, проходящей через конкретную точку a , где b представляет направление прямой, а значение действительного числа определяет, где находится точка на прямой, и аналогично для произвольной точки y на прямой, проходящей через конкретную точку c в направлении d . ${\displaystyle \lambda }$

Перекрестное произведение b и d перпендикулярно линиям, как и единичный вектор.

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {b} \times \mathbf {d} }{|\mathbf {b} \times \mathbf {d} |}}}$

Тогда перпендикулярное расстояние между линиями равно ^[1]

${\displaystyle d=|\mathbf {n} \cdot (\mathbf {c} -\mathbf {a} )|.}$

(если | b × d | равно нулю, то прямые параллельны и этот метод использовать нельзя).

Более двух строк

Конфигурации

Конфигурация скрещивающихся линий — это набор линий, в котором все пары скрещиваются. Две конфигурации называются изотопными, если возможно непрерывно преобразовать одну конфигурацию в другую, сохраняя на протяжении всего преобразования инвариант, что все пары линий остаются скрещивающимися. Легко видеть, что любые две конфигурации из двух линий изотопны, а конфигурации с одинаковым числом линий в измерениях выше трех всегда изотопны, но существуют множественные неизотопные конфигурации из трех или более линий в трех измерениях. ^[2] Число неизотопных конфигураций из n линий в R ³ , начиная с n = 1, равно

1, 1, 2, 3, 7, 19, 74, ... (последовательность A110887 в OEIS ).

Линейчатые поверхности

Расслоение проективного пространства скрещивающимися прямыми на вложенных гиперболоидах .

Если вращать линию L вокруг другой линии M наклонно, но не перпендикулярно ей, то поверхность вращения, заметаемая L, является гиперболоидом с одной полосой . Например, три гиперболоида, видимые на иллюстрации, могут быть образованы таким образом путем вращения линии L вокруг центральной белой вертикальной линии M. Копии L внутри этой поверхности образуют регулус ; гиперболоид также содержит второе семейство линий, которые также наклонены к M на том же расстоянии, что и L от него, но с противоположным углом, которые образуют противоположный регулус. Два регулуса отображают гиперболоид как линейчатую поверхность .

Аффинное преобразование этой линейчатой ​​поверхности создает поверхность, которая в общем случае имеет эллиптическое поперечное сечение, а не круглое поперечное сечение, полученное вращением L вокруг L'; такие поверхности также называются гиперболоидами с одной полосой и снова управляются двумя семействами взаимно скрещивающихся линий. Третий тип линейчатой ​​поверхности — гиперболический параболоид . Подобно гиперболоиду с одной полосой, гиперболический параболоид имеет два семейства скрещивающихся линий; в каждом из двух семейств линии параллельны общей плоскости, хотя и не друг другу. Любые три скрещивающиеся линии в R ³ лежат ровно на одной линейчатой ​​поверхности одного из этих типов. ^[3]

Теорема Галлуччи

Если три скрещивающиеся прямые пересекают три другие скрещивающиеся прямые, то любая трансверсаль первой группы из трех пересекает любую трансверсаль второй группы. ^{[4] [5]}

Косые плоскости в более высоких измерениях

В пространстве более высокой размерности плоскость размерности k называется k -плоскостью. Таким образом, линия может также называться 1-плоскостью.

Обобщая концепцию скрещивающихся прямых на d -мерное пространство, i -плоскость и j -плоскость могут быть скрещивающимися, если i + j < d . Как и в случае с прямыми в 3-мерном пространстве, скрещивающиеся плоскости — это те, которые не являются ни параллельными, ни пересекающимися.

В аффинном d -пространстве две плоскости любой размерности могут быть параллельны. Однако в проективном пространстве параллельности не существует; две плоскости должны либо пересекаться, либо быть скошенными. Пусть I будет множеством точек на i -плоскости, а J будет множеством точек на j -плоскости. В проективном d -пространстве, если i + j ≥ d, то пересечение I и J должно содержать ( i + j − d )-плоскость. ( 0 -плоскость является точкой.)

В любой геометрии, если I и J пересекаются в k -плоскости, при k ≥ 0 , то точки I ∪ J определяют ( i + j − k )-плоскость.

Смотрите также

• Расстояние между двумя параллельными прямыми
• Теорема Петерсена–Морли

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. , «Расстояние между линиями», MathWorld
2. Виро, Юлия Дроботухина; Виро, Олег (1990), «Конфигурации скрещивающихся прямых» (PDF) , Ленинградский математический журнал , 1 (4): 1027–1050. Исправленная версия на английском языке: arXiv :math.GT/0611374
3. Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Челси, стр. 13–17, ISBN 0-8284-1087-9
4. Коксетер, HSM (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), John Wiley & Sons , стр. 257
5. Дж. Галлуччи (1906), «Studio della figura delle otto rette e sue applicazioni alla geometria del тетраэдро и alla teoria della configurazioni», Rendiconto dell'Accademia della Scienza Fisiche e Matematiche , 3-я серия, 12 : 49–79

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Скрещивающиеся линии», MathWorld