Сквиркл

Форма между квадратом и кругом

Квадрат с центром в начале координат ( a = b = 0 ) и малым радиусом r  = 1 : x ⁴ + y ⁴ = 1

Квадрат — это форма, промежуточная между квадратом и кругом . Существует по крайней мере два определения «сквиркла», наиболее распространенное из которых основано на суперэллипс . Слово «сквиркл» — это гибрид слов «квадрат» и «круг». Квадраты нашли применение в дизайне и оптике .

Квадрат на основе суперэллипса

В декартовой системе координат суперэллипс определяется уравнением , где r _a и r _b — большая и малая полуоси , a и b — координаты x и y центра эллипса, а n — положительное число. Затем квадрик определяется как суперэллипс с r a ₌ r b _и n = 4. Его уравнение имеет вид: ^[1] где r — малый радиус квадрика, а большой радиус — геометрическое среднее между квадратом и окружностью. Сравните это с уравнением окружности . Когда квадрик центрирован в начале координат, то a = b = 0 , и он называется специальной квартикой Ламе . $${\displaystyle \left|{\frac {x-a}{r_{a}}}\right|^{n}+\left|{\frac {y-b}{r_{b}}}\right|^{n}=1,}$$ $${\displaystyle \left|x-a\right|^{4}+\left|y-b\right|^{4}=r^{4}}$$

Площадь внутри квадрукла можно выразить через гамма-функцию Γ как ^[1], где r — малый радиус квадрукла, а — постоянная лемнискаты . $${\displaystyle \mathrm {Area} =4r^{2}{\frac {\left(\operatorname {\Gamma } \left(1+{\frac {1}{4}}\right)\right)^{2}}{\operatorname {\Gamma } \left(1+{\frac {2}{4}}\right)}}={\frac {8r^{2}\left(\operatorname {\Gamma } \left({\frac {5}{4}}\right)\right)^{2}}{\sqrt {\pi }}}=\varpi {\sqrt {2}}\,r^{2}\approx 3.708149\,r^{2},}$$ ${\displaystyle \varpi }$

п-норма обозначения

В терминах p -нормы ‖ · ‖ _p на R ² , квадрик можно выразить как: где p = 4 , x _c = ( a , b ) - вектор, обозначающий центр квадрика, и x = ( x , y ) . Фактически, это все еще "круг" точек на расстоянии r от центра, но расстояние определяется по-другому. Для сравнения, обычный круг - это случай p = 2 , тогда как квадрат задается случаем p → ∞ ( норма супремума ), а повернутый квадрат задается p = 1 ( норма такси ). $${\displaystyle \left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{c}\right\|_{p}=r}$$Это позволяет провести прямое обобщение до сферического куба , или sphube , в R ³ или hypersphube в более высоких измерениях. ^[2]

Фернандес-Гуасти squircle

Другой квадрик появился в оптике. ^{[3] [4]} Его можно назвать квадриком Фернандеса-Гуасти, в честь одного из его авторов, чтобы отличить его от квадрика, связанного с суперэллипсами, описанного выше. ^[2] Этот вид квадрика, центрированного в начале координат, можно определить с помощью уравнения: где r — малый радиус квадрика, s — параметр квадратности, а x и y находятся в интервале [− r , r ] . Если s = 0 , уравнение представляет собой окружность; если s = 1 , то это квадрат. Это уравнение допускает плавную параметризацию перехода к квадрату из окружности, не привлекая бесконечность . $${\displaystyle x^{2}+y^{2}-{\frac {s^{2}}{r^{2}}}x^{2}y^{2}=r^{2}}$$

Периодический квадратик

Другой тип квадрокросса возникает из тригонометрии . ^[5] Этот тип квадрокросса является периодическим в R ² и имеет уравнение

$${\displaystyle \cos \left({\frac {s\pi x}{2r}}\right)\cos \left({\frac {s\pi y}{2r}}\right)=\cos \left({\frac {s\pi }{2}}\right)}$$

где r — малый радиус квадрата, s — параметр квадратности, а x и y находятся в интервале [−r, r]. Когда s приближается к 0 в пределе , уравнение становится окружностью. Когда s = 1, уравнение является квадратом. Эту форму можно визуализировать с помощью онлайн-калькуляторов для построения графиков, таких как Desmos . ^[6]

Похожие формы

Квадрат ( синий ) по сравнению с закругленным квадратом ( красный ). (Увеличенное изображение)

Форма, похожая на белую круглую фигуру, называемаяrounded square , может быть получен путем разделения четырех четвертей круга и соединения их свободных концов прямымилиниями, или путем разделения четырех сторон квадрата и соединения их четвертями окружностей. Такая форма очень похожа, но не идентична squircle. Хотя построение rounded square может быть концептуально и физически проще, squircle имеет более простое уравнение и может быть обобщено гораздо легче. Одним из следствий этого является то, что squircle и другие суперэллипсы можно довольно легко масштабировать вверх или вниз. Это полезно, когда, например, кто-то хочет создать вложенные squircles.

Различные формы усеченного круга

Другая похожая форма — усеченный круг , граница пересечения областей , ограниченных квадратом и концентрической окружностью, диаметр которой больше длины стороны квадрата и меньше длины диагонали квадрата (так что каждая фигура имеет внутренние точки, которые не находятся внутри другой). Такие формы лишены касательной непрерывности, которой обладают как суперэллипсы, так и скругленные квадраты.

Скругленный куб можно определить в терминах суперэллипсоидов .

Использует

Квадраты полезны в оптике . Если свет проходит через двумерную квадратную апертуру, центральное пятно в дифракционной картине может быть близко смоделировано квадратом или суперкругом. Если используется прямоугольная апертура, пятно может быть аппроксимировано суперэллипсом . [ ^4]

Сквирклы также использовались для создания обеденных тарелок . Квадратная тарелка имеет большую площадь (и, таким образом, может вместить больше еды), чем круглая с тем же радиусом, но по-прежнему занимает то же количество места в прямоугольном или квадратном шкафу. ^[7]

Многие модели телефонов Nokia были разработаны с кнопочной панелью тачпада в форме квадрата, ^{[8] [9]} как и второе поколение Microsoft Zune . ^[10] Apple использует приближение к квадрупольному (на самом деле квинтик суперэллипс) для иконок в iOS , iPadOS , macOS и кнопках «Домой» некоторых устройств Apple. ^[11] Одной из форм адаптивных иконок, представленных в операционной системе Android «Oreo», является квадрупольный. ^[12] Samsung использует квадрупольные иконки в своем программном оверлее Android One UI , а также в Samsung Experience и TouchWiz . ^[13]

Итальянский производитель автомобилей Fiat использовал многочисленные квадратики в дизайне интерьера и экстерьера третьего поколения Panda . ^[14]

Смотрите также

• Астроида
• Эллипс
• Эллипсоид
• L ^p пространства
• Овальный
• Squround
• Суперяйцо

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Squircle". MathWorld .
2. Чемберлен Фонг (2016). «Сквиркулярные вычисления». arXiv : 1604.02174 [math.GM].
3. М. Фернандес Гуасти (1992). «Аналитическая геометрия некоторых прямолинейных фигур». Int. J. Educ. Sci. Technol . 23 : 895–901.
4. М. Фернандес Гуасти; А. Мелендес Кобаррубиас; Ф. Дж. Ренеро Каррильо; А. Корнехо Родригес (2005). «Форма пикселей ЖК-дисплея и картины дифракции в дальнем поле» (PDF) . Оптик . 116 (6): 265–269. Бибкод : 2005Оптик.116..265F. дои : 10.1016/j.ijleo.2005.01.018 . Проверено 20 ноября 2006 г.
5. C. Fong (2022). «Визуализация неявных сферических поверхностей». arXiv : 2210.15232 [cs.GR].
6. «Периодический квадрик в Десмосе».
7. "Squircle Plate". Kitchen Contraptions. Архивировано из оригинала 1 ноября 2006 года . Получено 20 ноября 2006 года .
8. Дизайнер Nokia Марк Делани упоминает squircle в видео о классических дизайнах телефонов Nokia: Nokia 6700 – маленькое черное платье телефонов. Архивировано из оригинала 6 января 2010 года . Получено 9 декабря 2009 года . Смотрите 3:13 в видео
   
9. "Клейтон Миллер оценивает формы на платформах мобильных телефонов" . Получено 2 июля 2011 г.
10. Марсал, Кэти (2 сентября 2009 г.). «Microsoft прекращает выпуск жестких дисков, «squircle» из линейки Zune». Apple Insider . Получено 25 августа 2022 г.
11. "Охота на Сквиркл" . Получено 23 мая 2022 г.
12. "Адаптивные иконки" . Получено 15 января 2018 г. .
13. "OneUI". Разработчики Samsung . Получено 2022-04-14 .
14. "PANDA DESIGN STORY" (PDF) . Получено 30 декабря 2018 г. .

Внешние ссылки

• Какова площадь Squircle? на YouTube Мэтта Паркера
• Онлайн-калькулятор для суперкруга и суперэллипса
• Веб-генератор суперкругов