Слабое измерение

В квантовой механике (а также вычислениях и информации ) слабые измерения — это тип квантовых измерений , в результате которого наблюдатель в среднем получает очень мало информации о системе, но при этом очень мало нарушает состояние. ^[1] Согласно теореме Буша ^[2] система обязательно возмущается измерением. В литературе слабые измерения также известны как нерезкие, ^[3] нечеткие, ^{[3] [4]} тусклые, шумные, ^[5] приблизительные и нежные ^[6] измерения. Кроме того, слабые измерения часто путают с отдельной, но связанной концепцией слабого значения . ^[7]

История

О слабых измерениях впервые подумали в контексте слабых непрерывных измерений квантовых систем ^[8] (т.е. квантовой фильтрации и квантовых траекторий ). Физика непрерывных квантовых измерений такова. Рассмотрите возможность использования вспомогательного вещества, например поля или тока , для исследования квантовой системы. Взаимодействие между системой и зондом коррелирует две системы. Обычно взаимодействие лишь слабо коррелирует систему и вспомогательную систему (в частности, унитарный оператор взаимодействия необходимо разложить только до первого или второго порядка в теории возмущений). Измерив вспомогательную систему, а затем используя квантовую теорию измерений, можно определить состояние системы, обусловленное результатами измерения. Чтобы получить надежные измерения, необходимо соединить множество вспомогательных устройств, а затем провести измерения. В пределе, когда существует континуум вспомогательных функций, процесс измерения становится непрерывным во времени. Этот процесс был впервые описан: Майклом Б. Менски; ^{[9] [10]} Вячеслав Белавкин ; ^{[11] [12]} Альберто Баркьелли, Л. Ланц, Г. М. Проспери; ^[13] Баркьелли; ^[14] Пещеры Карлтон ; ^{[15] [16]} Кейвс и Джеральд Дж. Милберн . ^[17] Позже Говард Кармайкл ^[18] и Говард М. Уайзман ^[19] также внесли важный вклад в эту область.

Идею слабого измерения часто ошибочно приписывают Якиру Ахаронову , Давиду Альберту и Льву Вайдману . ^[7] В своей статье они рассматривают пример слабого измерения (и, возможно, придумали фразу «слабое измерение») и используют его, чтобы мотивировать свое определение слабого значения , которое они определили там впервые.

Математика

Не существует общепринятого определения слабого измерения. Один из подходов состоит в том, чтобы объявить слабое измерение обобщенным измерением, в котором некоторые или все операторы Крауса близки к тождественному. ^[20] Нижеприведенный подход заключается в слабом взаимодействии двух систем и последующем измерении одной из них. ^[21] После детализации этого подхода мы проиллюстрируем его примерами.

Слабое взаимодействие и измерение, связанное с вспомогательными устройствами

Рассмотрим систему, которая начинается в квантовом состоянии, и вспомогательную систему, которая начинается в состоянии , объединенное начальное состояние есть . Эти две системы взаимодействуют посредством гамильтониана , который генерирует временную эволюцию (в единицах где ), где – «сила взаимодействия», имеющая единицы обратного времени. Предположим, что время взаимодействия фиксировано и мало, например . Расширение серии дает ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle =|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle }$ ${\displaystyle H=A\otimes B}$ ${\displaystyle U(t)=\exp[-ixtH]}$ ${\displaystyle \hbar =1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t=\Delta t}$ ${\displaystyle \lambda =x\Delta t}$ ${\displaystyle \lambda ^{3}\approx 0}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=I\otimes I-i\lambda H-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}H^{2}+O(\lambda ^{3})\\&\approx I\otimes I-i\lambda A\otimes B-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\otimes B^{2}.\end{aligned}}}$

Поскольку нужно было лишь разложить унитарное взаимодействие до низкого порядка в теории возмущений, мы называем это слабым взаимодействием. Далее, тот факт, что унитарным является преимущественно тождественный оператор, поскольку и малы, означает, что состояние после взаимодействия радикально не отличается от исходного состояния. Комбинированное состояние системы после взаимодействия есть ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ^{2}}$

${\displaystyle |\Psi '\rangle =\left(I\otimes I-i\lambda A\otimes B-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\otimes B^{2}\right)|\Psi \rangle .}$

Теперь мы выполняем измерение вспомогательного устройства, чтобы узнать о системе. Это называется измерением, связанным с вспомогательным устройством. Будем рассматривать измерения в базисе (по вспомогательной системе) такие, что . Воздействие измерения на обе системы описывается действием проекторов на совместное состояние . Из квантовой теории измерений мы знаем условное состояние после измерения. ${\displaystyle |q\rangle }$ ${\textstyle \sum _{q}|q\rangle \langle q|=I}$ ${\displaystyle \Pi _{q}=I\otimes |q\rangle \langle q|}$ ${\displaystyle |\Psi '\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi _{q}\rangle &={\frac {\Pi _{q}|\Psi '\rangle }{\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}\\&={\frac {I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }{\mathcal {N}}}|\psi \rangle \otimes |q\rangle ,\end{aligned}}}$

где – нормировочный коэффициент волновой функции. Обратите внимание, что состояние вспомогательной системы записывает результаты измерения. Объект является оператором в системном гильбертовом пространстве и называется оператором Крауса . ${\textstyle {\mathcal {N}}={\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}$ ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$

По отношению к операторам Крауса состояние объединенной системы после измерения равно

${\displaystyle |\Psi _{q}\rangle ={\frac {M_{q}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{q}^{\dagger }M_{q}|\psi \rangle }}}\otimes |q\rangle .}$

Объекты являются элементами так называемой POVM и должны подчиняться так, чтобы сумма соответствующих вероятностей равнялась единице: . Поскольку вспомогательная система больше не коррелирует с основной системой, она просто записывает результаты измерения, и мы можем отслеживать их. Это дает условное состояние только первичной системы: ${\displaystyle E_{q}=M_{q}^{\dagger }M_{q}}$ ${\textstyle \sum _{q}E_{q}=I}$ ${\textstyle \sum _{q}\Pr(q|\psi )=\sum _{q}\langle \psi |E_{q}|\psi \rangle =1}$

${\displaystyle |\psi _{q}\rangle ={\frac {M_{q}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{q}^{\dagger }M_{q}|\psi \rangle }}},}$

который мы до сих пор обозначаем результатом измерения . Действительно, эти соображения позволяют вывести квантовую траекторию . ${\displaystyle q}$

Примеры операторов Крауса

Мы будем использовать канонический пример гауссовых операторов Крауса, данный Баркьелли, Ланцем, Проспери; ^[13] и Кейвс и Милберн. ^[17] Возьмем , где положение и импульс в обеих системах имеют обычное каноническое коммутационное соотношение . Возьмем начальную волновую функцию вспомогательной функции так, чтобы она имела гауссово распределение. ${\displaystyle H=x\otimes p}$ ${\displaystyle [x,p]=i}$

${\displaystyle |\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dq'\exp[-q'^{2}/(4\sigma ^{2})]|q'\rangle .}$

Волновая функция положения вспомогательной

${\displaystyle \Phi (q)=\langle q|\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-q^{2}/(4\sigma ^{2})].}$

Операторы Крауса (по сравнению с обсуждением выше, мы установили ) ${\displaystyle \lambda =1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M(q)&=\langle q|\exp[-ix\otimes p]|\Phi \rangle \\&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-(q-x)^{2}/(4\sigma ^{2})],\end{aligned}}}$

в то время как соответствующие элементы POVM

${\displaystyle {\begin{aligned}E(q)&=M_{q}^{\dagger }M_{q}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp[-(q-x)^{2}/(2\sigma ^{2})],\end{aligned}}}$

которые подчиняются . Альтернативное представление часто встречается в литературе. Используя спектральное представление оператора положения , мы можем написать ${\textstyle \int dq\,E(q)=I}$ ${\textstyle x=\int x'dx'|x'\rangle \langle x'|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M(q)&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dx'\exp[-(q-x')^{2}/(4\sigma ^{2})]|x'\rangle \langle x'|,\\E(q)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int dx'\exp[-(q-x')^{2}/(2\sigma ^{2})]|x'\rangle \langle x'|.\end{aligned}}}$

Заметить, что . ^[17] То есть в определенном пределе эти операторы ограничиваются строгим измерением положения; для других значений мы называем измерение конечной силой; и при , мы говорим, что измерение слабое. ${\textstyle \lim _{\sigma \to 0}E(q)=|x=q\rangle \langle x=q|}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma \to \infty }$

Компромисс между получением информации и помехами

Как говорилось выше, теорема Буша ^[2] препятствует бесплатному обеду: не может быть получения информации без помех. Однако компромисс между получением информации и помехами охарактеризовали многие авторы, в том числе К. А. Фукс и Ашер Перес ; ^[22] Фукс; ^[23] Фукс и К.А. Джейкобс; ^[24] и К. Банашек. ^[25]

Недавно соотношение компромисса между получением информации и помехами было исследовано в контексте так называемой «леммы о мягком измерении». ^{[6] [26]}

Приложения

С самого начала было ясно, что слабое измерение в основном будет использоваться для управления с обратной связью или адаптивных измерений квантовых систем. Действительно, это мотивировало большую часть работы Белавкина, и явный пример был приведен Кейвсом и Милберном. Первым применением адаптивных слабых измерений был приемник Долинар ^[27] , который был реализован экспериментально. ^{[28] [29]} Еще одним интересным применением слабых измерений является использование слабых измерений с последующим унитарным, возможно, обусловленным результатом слабого измерения, для синтеза других обобщенных измерений. ^[20] Книга Уайзмана и Милберна ^[21] является хорошим справочником по многим современным разработкам.

дальнейшее чтение

• Статья Брюна ^[1]
• Статья Джейкобса и Стека ^[30]
• Квантовая теория измерений и ее приложения, К. Джейкобс (Cambridge Press, 2014) ISBN  9781107025486
• Квантовые измерения и контроль, Х. М. Уайзман и Г. Дж. Милберн (Cambridge Press, 2009) ^[21]
• Статья Тамира и Коэна ^[31]

Рекомендации

1. Тодд А. Брун (2002). «Простая модель квантовых траекторий». Являюсь. Дж. Физ . 70 (7): 719–737. arXiv : Quant-ph/0108132 . Бибкод : 2002AmJPh..70..719B. дои : 10.1119/1.1475328. S2CID  40746086.
2. Пол Буш (2009). Дж. Кристиан; В.Мирвольд (ред.). «Нет информации без помех»: квантовые ограничения измерений . Приглашенный доклад «Квантовая реальность, релятивистская причинность и замыкание эпистемического круга: Международная конференция в честь Эбнера Шимони», Институт Периметр, Ватерлоо, Онтарио, Канада, 18–21 июля 2006 г. Vol. 73. Springer-Verlag, 2008. стр. 229–256. arXiv : 0706.3526 . дои : 10.1007/978-1-4020-9107-0. ISBN 978-1-4020-9106-3. ISSN  1566-659Х. {{cite book}}: |journal=игнорируется ( помощь )
3. Гаддер, Стэн (2005). «Невозмущение для нечетких квантовых измерений». Нечеткие множества и системы . 155 (1): 18–25. дои : 10.1016/j.fss.2005.05.009.
4. Ашер Перес (1993). Квантовая теория, концепции и методы . Клювер. п. 387. ИСБН 978-0-7923-2549-9.
5. А. Н. Коротков (2003). «Шумное квантовое измерение твердотельных кубитов: байесовский подход». В Ю. В. Назарове (ред.). Квантовый шум в мезоскопической физике . Спрингер Нидерланды. стр. 205–228. arXiv : cond-mat/0209629 . дои : 10.1007/978-94-010-0089-5_10. ISBN 978-1-4020-1240-2. S2CID  9025386.
6. А. Винтер (1999). «Теорема кодирования и сильное обратное для квантовых каналов». IEEE Транс. Инф. Теория . 45 (7): 2481–2485. arXiv : 1409.2536 . дои : 10.1109/18.796385. S2CID  15675016.
7. Якир Ахаронов; Дэвид З. Альберт и Лев Вайдман (1988). «Как результат измерения компоненты спина частицы со спином 1/2 может оказаться равным 100». Письма о физических отзывах . 60 (14): 1351–1354. Бибкод : 1988PhRvL..60.1351A. doi :10.1103/PhysRevLett.60.1351. PMID  10038016. S2CID  46042317.
8. А. Клерк; М. Деворет; С. Гирвин; Ф. Марквардт; Р. Шелькопф (2010). «Введение в квантовый шум, измерение и усиление». Преподобный Мод. Физ . 82 (2): 1155–1208. arXiv : 0810.4729 . Бибкод : 2010RvMP...82.1155C. doi : 10.1103/RevModPhys.82.1155. S2CID  119200464.
9. М.Б. Менский (1979). «Квантовые ограничения для непрерывного наблюдения осциллятора». Физ. Преподобный Д. 20 (2): 384–387. Бибкод : 1979PhRvD..20..384M. doi :10.1103/PhysRevD.20.384.
10. М.Б. Менский (1979). «Квантовые ограничения на измерение параметров движения макроскопического осциллятора». Журнал Экспериментальной и теоретической физики . 77 (4): 1326–1339. Бибкод : 1979JETP...50..667M.
11. В. П. Белавкин (1980). «Квантовая фильтрация марковских сигналов с белым квантовым шумом». Радиотехника и Электроника . 25 : 1445–1453.
12. В. П. Белавкин (1992). «Квантовые непрерывные измерения и апостериорный коллапс CCR». Коммун. Математика. Физ . 146 (3): 611–635. arXiv : math-ph/0512070 . Бибкод : 1992CMaPh.146..611B. дои : 10.1007/bf02097018. S2CID  17016809.
13. А. Барчелли; Л. Ланц; ГМ Проспери (1982). «Модель макроскопического описания и непрерывных наблюдений в квантовой механике». Иль Нуово Чименто Б. 72 (1): 79–121. Бибкод : 1982NCimB..72...79B. дои : 10.1007/BF02894935. S2CID  124717734.
14. А. Баркьелли (1986). «Теория измерений и стохастические дифференциальные уравнения в квантовой механике». Физ. Преподобный А. 34 (3): 1642–1649. Бибкод : 1986PhRvA..34.1642B. doi : 10.1103/PhysRevA.34.1642. ПМИД  9897442.
15. Карлтон М. Кейвс (1986). «Квантовая механика измерений, распределенных во времени. Формулировка, интегральная по траекториям». Физ. Преподобный Д. 33 (6): 1643–1665. Бибкод : 1986PhRvD..33.1643C. doi :10.1103/PhysRevD.33.1643. ПМИД  9956814.
16. Карлтон М. Кейвс (1987). «Квантовая механика измерений, распределенных во времени. II. Связи между формулировками». Физ. Преподобный Д. 35 (6): 1815–1830. Бибкод : 1987PhRvD..35.1815C. doi :10.1103/PhysRevD.35.1815. ПМИД  9957858.
17. Карлтон М. Кейвс; Дж. Дж. Милберн (1987). «Квантово-механическая модель для непрерывных измерений положения» (PDF) . Физ. Преподобный А. 36 (12): 5543–5555. Бибкод : 1987PhRvA..36.5543C. doi : 10.1103/PhysRevA.36.5543. ПМИД  9898842.
18. Кармайкл, Ховард (1993). Подход открытых систем к квантовой оптике, Конспект лекций по физике . Спрингер .
19. Уайзман, Говард Марк (1994). Квантовые траектории и обратная связь (доктор философии). Университет Квинсленда .
20. О. Орешков; Т. А. Брун (2005). «Слабые измерения универсальны». Физ. Преподобный Летт . 95 (11): 110409. arXiv : quant-ph/0503017 . Бибкод : 2005PhRvL..95k0409O. doi : 10.1103/PhysRevLett.95.110409. PMID  16196989. S2CID  43706272.
21. Wiseman, Ховард М.; Милберн, Джерард Дж. (2009). Квантовые измерения и контроль . Кембридж ; Нью-Йорк : Издательство Кембриджского университета . стр. 460. ISBN. 978-0-521-80442-4.
22. CA Фукс; А. Перес (1996). «Нарушение квантового состояния против прироста информации: отношения неопределенности для квантовой информации». Физ. Преподобный А. 53 (4): 2038–2045. arXiv : Quant-ph/9512023 . Бибкод : 1996PhRvA..53.2038F. doi :10.1103/PhysRevA.53.2038. PMID  9913105. S2CID  28280831.
23. CA Фукс (1996). «Прирост информации против нарушения состояния в квантовой теории». arXiv : Quant-ph/9611010 . Бибкод : 1996quant.ph.11010F. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
24. CA Фукс; К.А. Джейкобс (2001). «Информационные компромиссные соотношения для квантовых измерений конечной силы». Физ. Преподобный А. 63 (6): 062305. arXiv : quant-ph/0009101 . Бибкод : 2001PhRvA..63f2305F. doi : 10.1103/PhysRevA.63.062305. S2CID  119476175.
25. К. Банашек (2006). «Нарушение квантового состояния против прироста информации: отношения неопределенности для квантовой информации». Открытая система. Инф. Дин . 13 : 1–16. arXiv : Quant-ph/0006062 . doi : 10.1007/s11080-006-7263-8. S2CID  35809757.
26. Т. Огава; Х. Нагаока (1999). «Сильное обращение к теореме квантового канального кодирования». IEEE Транс. Инф. Теория . 45 (7): 2486–2489. arXiv : Quant-ph/9808063 . Бибкод : 2002quant.ph..8139O. дои : 10.1109/18.796386. S2CID  1360955.
27. С. Дж. Долинар (1973). «Оптимальный приемник для квантового канала с двоичным когерентным состоянием» (PDF) . Ежеквартальный отчет о работе исследовательской лаборатории электроники Массачусетского технологического института . 111 : 115–120.
28. Р.Л. Кук; Пи Джей Мартин; Дж. М. Геремия (2007). «Оптическая когерентная дискриминация состояний с использованием квантового измерения с обратной связью». Природа . 446 (11): 774–777. Бибкод : 2007Natur.446..774C. дои : 10.1038/nature05655. PMID  17429395. S2CID  4381249.
29. Ф. Е. Бесерра; Дж. Фан; Г. Баумгартнер; Дж. Голдхар; Дж. Т. Кослоски; А. Мигдалл (2013). «Экспериментальная демонстрация приемника, превосходящего стандартный квантовый предел для распознавания множественных неортогональных состояний». Природная фотоника . 7 (11): 147–152. Бибкод : 2013NaPho...7..147B. дои : 10.1038/nphoton.2012.316. S2CID  41194236.
30. К. Джейкобс; Д. А. Штек (2006). «Простое введение в непрерывные квантовые измерения». Современная физика . 47 (5): 279–303. arXiv : Quant-ph/0611067 . Бибкод : 2006ConPh..47..279J. дои : 10.1080/00107510601101934. S2CID  33746261.
31. Боаз Тамир; Элиаху Коэн (2013). «Введение в слабые измерения и слабые значения». Кванта . 2 (1): 7–17. дои : 10.12743/quanta.v2i1.14 .