Теорема Лефшеца о неподвижной точке

Подсчитывает неподвижные точки непрерывного отображения из компактного топологического пространства в себя.

В математике теорема Лефшеца о неподвижной точке — это формула, которая подсчитывает неподвижные точки непрерывного отображения из компактного топологического пространства в себя посредством следов индуцированных отображений на группах гомологии . Она названа в честь Соломона Лефшеца , который впервые сформулировал ее в 1926 году. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Подсчет подчиняется вмененной кратности в фиксированной точке, называемой индексом фиксированной точки . Слабой версии теоремы достаточно, чтобы показать, что отображение без какой-либо фиксированной точки должно обладать довольно специальными топологическими свойствами (вроде поворота окружности).

Официальное заявление

Для формальной формулировки теоремы пусть

${\displaystyle f\colon X\rightarrow X\,}$

быть непрерывным отображением из компактного триангулируемого пространства в себя. Определим число Лефшеца как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Lambda _{f}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \Lambda _{f}:=\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}\mathrm {tr} (H_{k}(f,\mathbb {Q} )),}$

знакопеременная (конечная) сумма матричных следов линейных отображений, индуцированных на , сингулярные группы гомологии с рациональными коэффициентами . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H_{k}(X,\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle X}$

Простая версия теоремы Лефшеца о неподвижной точке гласит: если

${\displaystyle \Lambda _{f}\neq 0\,}$

тогда имеет по крайней мере одну неподвижную точку, т. е. существует по крайней мере одна в такая, что . Фактически, поскольку число Лефшеца было определено на уровне гомологии, вывод можно расширить, сказав, что любое отображение, гомотопное , также имеет неподвижную точку. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle f}$

Однако следует отметить, что обратное утверждение в общем случае неверно: может быть равно нулю, даже если имеет неподвижные точки, как в случае тождественного отображения на нечетномерных сферах. ${\displaystyle \Lambda _{f}}$ ${\displaystyle f}$

Набросок доказательства

Во-первых, применяя теорему о симплициальной аппроксимации , можно показать, что если не имеет неподвижных точек, то (возможно, после подразделения ) гомотопно симплициальному отображению без неподвижных точек (т. е. оно отправляет каждый симплекс в другой симплекс). Это означает, что диагональные значения матриц линейных отображений, индуцированных на симплициальном цепном комплексе , должны быть все равны нулю. Затем следует отметить, что, в общем случае, число Лефшеца также можно вычислить с помощью чередующейся суммы матричных следов вышеупомянутых линейных отображений (это верно почти по той же причине, по которой эйлерова характеристика имеет определение в терминах групп гомологии ; см. ниже связь с эйлеровой характеристикой). В частном случае симплициального отображения без неподвижных точек все диагональные значения равны нулю, и, таким образом, все следы равны нулю. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Теорема Лефшеца–Хопфа

Более сильная форма теоремы, также известная как теорема Лефшеца–Хопфа , утверждает, что если имеет только конечное число неподвижных точек, то ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{x\in \mathrm {Fix} (f)}\mathrm {ind} (f,x)=\Lambda _{f},}$

где — множество неподвижных точек , а обозначает индекс неподвижной точки . ^[1] Из этой теоремы выводится теорема Пуанкаре–Хопфа для векторных полей, поскольку каждое векторное поле на компактном дифференциальном многообразии естественным образом индуцирует поток . Для каждого — непрерывное отображение, гомотопное тождеству (таким образом, имеют одно и то же число Лефшеца) и для малых индексов неподвижных точек равны индексам нулей векторного поля. ${\displaystyle \mathrm {Fix} (f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathrm {ind} (f,x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi (x,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f_{t}(x)=\varphi (x,t)}$ ${\displaystyle t}$

Связь с эйлеровой характеристикой

Число Лефшеца отображения тождества на конечном комплексе CW можно легко вычислить, понимая, что каждое можно рассматривать как матрицу тождества, и поэтому каждый член следа является просто размерностью соответствующей группы гомологий. Таким образом, число Лефшеца отображения тождества равно знакопеременной сумме чисел Бетти пространства, которая в свою очередь равна характеристике Эйлера . Таким образом, мы имеем ${\displaystyle f_{\ast }}$ ${\displaystyle \chi (X)}$

${\displaystyle \Lambda _{\mathrm {id} }=\chi (X).\ }$

Связь с теоремой Брауэра о неподвижной точке

Теорема Лефшеца о неподвижной точке обобщает теорему Брауэра о неподвижной точке , которая утверждает, что каждое непрерывное отображение из -мерного замкнутого единичного круга в должно иметь по крайней мере одну неподвижную точку. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D^{n}}$ ${\displaystyle D^{n}}$

Это можно увидеть следующим образом: компактно и триангулируемо, все его группы гомологии, за исключением , равны нулю, и каждое непрерывное отображение индуцирует тождественное отображение , след которого равен единице; все это вместе означает, что не равно нулю для любого непрерывного отображения . ${\displaystyle D^{n}}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle f\colon D^{n}\to D^{n}}$ ${\displaystyle f_{*}\colon H_{0}(D^{n},\mathbb {Q} )\to H_{0}(D^{n},\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \Lambda _{f}}$ ${\displaystyle f\colon D^{n}\to D^{n}}$

Исторический контекст

Лефшец представил свою теорему о неподвижной точке в (Lefschetz 1926). Лефшец сосредоточился не на неподвижных точках отображений, а на том, что сейчас называется точками совпадения отображений.

Для двух отображений и из ориентируемого многообразия в ориентируемое многообразие той же размерности число совпадений Лефшеца и определяется как ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \Lambda _{f,g}=\sum (-1)^{k}\mathrm {tr} (D_{X}\circ g^{*}\circ D_{Y}^{-1}\circ f_{*}),}$

где то же, что и выше, — гомоморфизм, индуцированный на группах когомологий с рациональными коэффициентами, а и — изоморфизмы двойственности Пуанкаре для и соответственно. ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle g_{*}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle D_{X}}$ ${\displaystyle D_{Y}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Лефшец доказал, что если число совпадений не равно нулю, то и имеют точку совпадения. Он отметил в своей статье, что если позволить и позволить быть тождественным отображением, то получится более простой результат, который мы теперь знаем как теорему о неподвижной точке. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X=Y}$ ${\displaystyle g}$

Фробениус

Пусть будет многообразием , определенным над конечным полем с элементами , и пусть будет базисной заменой на алгебраическое замыкание . Эндоморфизм Фробениуса (часто геометрический Фробениус или просто Фробениус ), обозначаемый как , отображает точку с координатами в точку с координатами . Таким образом, неподвижные точки являются в точности точками с координатами в ; множество таких точек обозначается как . Формула следа Лефшеца верна в этом контексте и гласит: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle F_{q}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{1}^{q},\ldots ,x_{n}^{q}}$ ${\displaystyle F_{q}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X(k)}$

${\displaystyle \#X(k)=\sum _{i}(-1)^{i}\mathrm {tr} (F_{q}^{*}|H_{c}^{i}({\bar {X}},\mathbb {Q} _{\ell })).}$

Эта формула включает след Фробениуса на этальных когомологиях с компактными носителями со значениями в поле -адических чисел, где — простое число, взаимно простое с . ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle q}$

Если является гладким и равноразмерным , эту формулу можно переписать в терминах арифметики Фробениуса , которая действует как обратная функция для когомологий: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Phi _{q}}$ ${\displaystyle F_{q}}$

${\displaystyle \#X(k)=q^{\dim X}\sum _{i}(-1)^{i}\mathrm {tr} ((\Phi _{q}^{-1})^{*}|H^{i}({\bar {X}},\mathbb {Q} _{\ell })).}$

Эта формула использует обычные когомологии, а не когомологии с компактными носителями.

Формулу следа Лефшеца можно также обобщить на алгебраические стеки над конечными полями.

Смотрите также

• Теоремы о неподвижной точке
• Дзета-функция Лефшеца
• Голоморфная формула Лефшеца для неподвижной точки

Примечания

1. Дольд, Альбрехт (1980). Лекции по алгебраической топологии . Т. 200 (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-10369-1. МР  0606196., Предложение VII.6.6.

Ссылки

• Лефшец, Соломон (1926). «Пересечения и преобразования комплексов и многообразий». Труды Американского математического общества . 28 (1): 1–49. doi : 10.2307/1989171 . JSTOR  1989171. MR  1501331.
• Лефшец, Соломон (1937). «О формуле неподвижной точки». Annals of Mathematics . 38 (4): 819–822. doi :10.2307/1968838. JSTOR  1968838. MR  1503373.

Внешние ссылки

• «Формула Лефшеца», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]