Слово (теория групп)

В теории групп слово — это любое записанное произведение элементов группы и их обратных. Например, если x , y и z — элементы группы G , то xy , z ⁻ 1xzz и y ⁻ 1zxx ⁻ 1yz ⁻¹ — слова из множества { x ,  y ,  z }. Два разных слова могут иметь одинаковое значение в G , ^[1] или даже в каждой группе. ^[2] Слова играют важную роль в теории свободных групп и представлений и являются центральными объектами изучения в комбинаторной теории групп .

Определения

Пусть G — группа, а S — подмножество G. Слово в S — это любое выражение вида

${\displaystyle s_{1}^{\varepsilon _{1}}s_{2}^{\varepsilon _{2}}\cdots s_{n}^{\varepsilon _{n}}}$

где s ₁ ,..., s _n — элементы S , называемые генераторами , и каждое ε _i равно ±1. Число n известно как длина слова.

Каждое слово в S представляет элемент G , а именно произведение выражения. По соглашению, уникальный элемент идентичности ^[3] может быть представлен пустым словом , которое является уникальным словом нулевой длины.

Обозначение

При написании слов принято использовать экспоненциальную запись в качестве сокращения. Например, слово

${\displaystyle xxy^{-1}zyzzzx^{-1}x^{-1}\,}$

можно записать как

${\displaystyle x^{2}y^{-1}zyz^{3}x^{-2}.\,}$

Последнее выражение само по себе не является словом — это просто более короткая запись оригинала.

При работе с длинными словами может быть полезно использовать верхнюю черту для обозначения обратных элементов S. Используя обозначение верхней черты, приведенное выше слово будет записано следующим образом:

${\displaystyle x^{2}{\overline {y}}zyz^{3}{\overline {x}}^{2}.\,}$

Сокращенные слова

Любое слово, в котором генератор появляется рядом со своим собственным обратным ( xx ⁻¹ или x ⁻¹ x ), можно упростить, опустив лишнюю пару:

${\displaystyle y^{-1}zxx^{-1}y\;\;\longrightarrow \;\;y^{-1}zy.}$

Эта операция известна как редукция , и она не изменяет элемент группы, представленный словом. Редукция может рассматриваться как отношения (определенные ниже), которые следуют из аксиом группы .

Сокращенное слово — это слово, которое не содержит избыточных пар. Любое слово можно упростить до сокращенного слова, выполнив последовательность сокращений:

${\displaystyle xzy^{-1}xx^{-1}yz^{-1}zz^{-1}yz\;\;\longrightarrow \;\;xyz.}$

Результат не зависит от порядка выполнения сокращений.

Слово циклически сокращено тогда и только тогда, когда каждая циклическая перестановка слова сокращена.

Операции над словами

Произведение двух слов получается путем конкатенации:

${\displaystyle \left(xzyz^{-1}\right)\left(zy^{-1}x^{-1}y\right)=xzyz^{-1}zy^{-1}x^{-1}y.}$

Даже если сократить два слова, произведение может и не сократиться.

Обратное слово получается путем инвертирования каждого генератора и изменения порядка элементов на обратный :

${\displaystyle \left(zy^{-1}x^{-1}y\right)^{-1}=y^{-1}xyz^{-1}.}$

Произведение слова на его обратное можно свести к пустому слову:

${\displaystyle zy^{-1}x^{-1}y\;y^{-1}xyz^{-1}=1.}$

Вы можете переместить генератор из начала в конец слова с помощью спряжения :

${\displaystyle x^{-1}\left(xy^{-1}z^{-1}yz\right)x=y^{-1}z^{-1}yzx.}$

Генерация набора группы

Подмножество S группы G называется порождающим множеством , если каждый элемент G может быть представлен словом из S.

Когда S не является порождающим множеством для G , множество элементов, представленных словами в S, является подгруппой G , известной как подгруппа G, порожденная S , и обычно обозначаемой . Это наименьшая подгруппа G , которая содержит элементы S. ${\displaystyle \langle S\rangle }$

Нормальные формы

Нормальная форма для группы G с порождающим множеством S — это выбор одного сокращенного слова в S для каждого элемента G. Например:

• Слова 1, i , j , ij являются нормальной формой для четверной группы Клейна с S = { i ,   j }, а 1 представляет собой пустое слово (единичный элемент для группы).
• Слова 1, r , r ² , ..., r ^n-1 , s , sr , ..., sr ^n-1 являются нормальной формой для диэдральной группы Dih _n с S = { s ,   r } и 1, как указано выше.
• Множество слов вида x ^m y ⁿ для m,n  ∈  Z является нормальной формой для прямого произведения циклических групп ⟨ x ⟩ и ⟨ y ⟩ с S = { x ,   y }.
• Множество редуцированных слов в S является единственной нормальной формой для свободной группы над S.

Отношения и презентации

Если S — порождающий набор для группы G , отношение — это пара слов в S , которые представляют один и тот же элемент G. Обычно они записываются в виде уравнений, например, Набор отношений определяет G , если каждое отношение в G логически следует из таковых при использовании аксиом для группы . Представление для G — это пара , где S — порождающий набор для G , а — определяющий набор отношений. ${\displaystyle x^{-1}yx=y^{2}.\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \langle S\mid {\mathcal {R}}\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Например, четверная группа Клейна может быть определена представлением

${\displaystyle \langle i,j\mid i^{2}=1,\,j^{2}=1,\,ij=ji\rangle .}$

Здесь 1 обозначает пустое слово, представляющее элемент идентичности.

Бесплатные группы

Если S — любое множество, то свободная группа над S — это группа с представлением . То есть свободная группа над S — это группа, порожденная элементами S , без дополнительных соотношений. Каждый элемент свободной группы может быть записан однозначно как сокращенное слово в S . ${\displaystyle \langle S\mid \;\rangle }$

Смотрите также

• Текстовая задача (математика)
• Текстовая задача для групп

Примечания

1. например, f _d r ₁ и r ₁ f _c в группе квадратных симметрий
2. например, xy и xzz ⁻¹ y
3. Уникальность единичного элемента и обратных элементов

Ссылки

• Эпштейн, Дэвид ; Кэннон, Дж. В.; Холт, Д. Ф.; Леви, С. В. Ф.; Патерсон, М. С.; Терстон , ВП (1992). Обработка текстов в группах . AK Peters. ISBN 0-86720-244-0..
• Новиков, П.С. (1955). «Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в теории групп». Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова . 44 : 1–143.
• Робинсон, Дерек Джон Скотт (1996). Курс теории групп . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94461-3.
• Ротман, Джозеф Дж. (1995). Введение в теорию групп . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94285-8.
• Шупп, Пол Э ; Линдон, Роджер К. (2001). Комбинаторная теория групп . Берлин: Шпрингер. ISBN 3-540-41158-5.
• Солитэр, Дональд ; Магнус, Вильгельм ; Каррасс, Абрахам (2004). Комбинаторная теория групп: представления групп в терминах генераторов и отношений . Нью-Йорк: Довер. ISBN 0-486-43830-9.
• Стиллвелл, Джон (1993). Классическая топология и комбинаторная теория групп . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97970-0.