Установлен уровень

Подмножество области определения функции, в которой ее значение равно

( n − 1) -мерные множества уровня для функций вида f ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) = a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + ⋯ + a _n x _n где a ₁ , a ₂ , …, a _n — константы в ( n + 1) -мерном евклидовом пространстве для n = 1, 2, 3 .

( n - 1) -мерные множества уровня нелинейных функций f ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) в ( n + 1) -мерном евклидовом пространстве для n = 1, 2, 3 .

В математике множество уровней действительной функции f от n действительных переменных — это набор , в котором функция принимает заданное постоянное значение c , то есть:

${\displaystyle L_{c}(f)=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid f(x_{1},\ldots ,x_{n})=c\right\}~,}$

Когда количество независимых переменных равно двум, набор уровней называется кривой уровня , также известной как контурная линия или изолиния ; таким образом, кривая уровня — это совокупность всех действительных решений уравнения с двумя переменными x ₁ и x ₂ . Когда n = 3 , множество уровней называется поверхностью уровня (или изоповерхностью ); таким образом, поверхность уровня — это совокупность всех действительных корней уравнения с тремя переменными x ₁ , x ₂ и x ₃ . Для более высоких значений n набор уровней представляет собой гиперповерхность уровня , набор всех действительных корней уравнения с n > 3 переменными.

Набор уровней является частным случаем волокна .

Альтернативные названия

Пересечения поверхностей уровня координатной функции узлом- трилистником . Красные кривые расположены ближе всего к зрителю, а желтые кривые — дальше всего.

Наборы уровней отображаются во многих приложениях, часто под разными именами. Например, неявная кривая — это кривая уровня, которую рассматривают независимо от соседних с ней кривых, подчеркивая, что такая кривая определяется неявным уравнением . Аналогично поверхность уровня иногда называют неявной поверхностью или изоповерхностью .

Также используется название изоконтур, что означает контур равной высоты. В различных областях применения изоконтуры получили специфические названия, указывающие зачастую на характер значений рассматриваемой функции, такие как изобара , изотерма , изогона , изохрона , изокванта и кривая безразличия .

Примеры

Рассмотрим двумерное евклидово расстояние:

$${\displaystyle d(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$

окружностьсферуметрическом пространстве ${\displaystyle L_{r}(d)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (3,4)\in L_{5}(d)}$ ${\displaystyle d(3,4)=5}$ ${\displaystyle (3,4)}$ ${\displaystyle (M,m)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle L_{r}(y\mapsto m(x,y))}$

Вторым примером является график функции Химмельблау, показанный на рисунке справа. Каждая показанная кривая представляет собой кривую уровня функции, и они расположены логарифмически: если кривая представляет , кривая непосредственно «внутри» представляет , а кривая непосредственно «снаружи» представляет . ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle L_{x/10}}$ ${\displaystyle L_{10x}}$

Логарифмический график кривой уровня функции Химмельблау ^[1]

Наборы уровней в сравнении с градиентом

Рассмотрим функцию f , график которой имеет вид холма. Синие кривые — наборы уровней; красные кривые следуют направлению градиента. Осторожный путешественник следует голубыми тропами; смелый путешественник следует красными тропами. Обратите внимание, что синие и красные пути всегда пересекаются под прямым углом.

Теорема : Если функция f дифференцируема, градиент f в точке либо равен нулю, либо перпендикулярен множеству уровня f в этой точке.

Чтобы понять, что это значит, представьте, что два туриста находятся в одном и том же месте на горе. Один из них смелый и решает идти в ту сторону, где склон самый крутой. Другой более осторожен и не хочет ни подниматься, ни спускаться, выбирая путь, который остается на той же высоте. По нашей аналогии, приведенная выше теорема гласит, что два туриста пойдут в направлениях, перпендикулярных друг другу.

Следствием этой теоремы (и ее доказательства) является то, что если f дифференцируемо , множество уровня является гиперповерхностью и многообразием вне критических точек f . В критической точке множество уровня может быть сведено к точке (например, при локальном экстремуме f ) или может иметь особенность , такую ​​как точка самопересечения или точка возврата .

Наборы подуровней и суперуровней

Набор формы

${\displaystyle L_{c}^{-}(f)=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})\leq c\right\}}$

называется набором подуровней f (или, альтернативно, набором нижнего уровня или траншеей f ) . Строгое множество подуровней f — это

${\displaystyle \left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})<c\right\}}$

Сходным образом

${\displaystyle L_{c}^{+}(f)=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})\geq c\right\}}$

называется набором суперуровня f ( или, альтернативно, набором верхнего уровня f ). И строгий набор суперуровней f равен

${\displaystyle \left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})>c\right\}}$

Множества подуровней играют важную роль в теории минимизации . По теореме Вейерштрасса из ограниченности некоторого непустого множества подуровней и полунепрерывности снизу функции следует, что функция достигает минимума. Выпуклость всех множеств подуровней характеризует квазивыпуклые функции . ^[2]

Смотрите также

• Эпиграф
• Метод установки уровня
• Набор уровней (структуры данных)

Рекомендации

1. Симионеску, Пенсильвания (2011). «Некоторые достижения в визуализации ограниченных функций и неравенств двух переменных». Журнал вычислительной техники и информатики в технике . 11 (1). дои : 10.1115/1.3570770.
2. Кивил, Кшиштоф К. (2001). «Сходимость и эффективность субградиентных методов квазивыпуклой минимизации». Математическое программирование, серия А. Берлин, Гейдельберг: Springer. 90 (1): 1–25. дои : 10.1007/PL00011414. ISSN  0025-5610. MR  1819784. S2CID  10043417.