Модель случайного кластера

В статистической механике , теории вероятностей , теории графов и т. д. модель случайного кластера представляет собой случайный граф , который обобщает и объединяет модель Изинга , модель Поттса и модель перколяции . Она используется для изучения случайных комбинаторных структур, электрических сетей и т. д. ^{[1] [2]} Ее также называют моделью RC или иногда представлением FK в честь ее основателей Сиса Фортейна и Пита Кастелейна . ^[3] Модель случайного кластера имеет критический предел, описываемый конформной теорией поля .

Определение

Пусть будет графом , а будет конфигурацией связей на графе, которая отображает каждое ребро в значение либо 0, либо 1. Мы говорим, что связь замкнута на ребре , если , и открыта , если . Если мы позволим быть набором открытых связей, то открытый кластер или кластер FK — это любой связный компонент в объединении набора вершин. Обратите внимание, что открытый кластер может быть одной вершиной (если эта вершина не инцидентна ни одной открытой связи). ${\displaystyle G=(V,E)}$ ${\displaystyle \omega :E\to \{0,1\}}$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle \omega (e)=0}$ ${\displaystyle \omega (e)=1}$ ${\displaystyle A(\omega )=\{e\in E:\omega (e)=1\}}$ ${\displaystyle A(\omega )}$

Предположим, что ребро открыто независимо с вероятностью и закрыто в противном случае, тогда это просто стандартный процесс перколяции Бернулли. Вероятностная мера конфигурации задается как ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \mu (\omega )=\prod _{e\in E}p^{\omega (e)}(1-p)^{1-\omega (e)}.}$

Модель RC является обобщением перколяции, где каждый кластер взвешивается с коэффициентом . При заданной конфигурации мы даем число открытых кластеров или, в качестве альтернативы, число связанных компонентов, образованных открытыми связями. Тогда для любого мера вероятности конфигурации задается как ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle C(\omega )}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \mu (\omega )={\frac {1}{Z}}q^{C(\omega )}\prod _{e\in E}p^{\omega (e)}(1-p)^{1-\omega (e)}.}$

Z — это функция распределения , или сумма по ненормализованным весам всех конфигураций,

${\displaystyle Z=\sum _{\omega \in \Omega }\left\{q^{C(\omega )}\prod _{e\in E(G)}p^{\omega (e)}(1-p)^{1-\omega (e)}\right\}.}$

Функция распределения модели RC является специализацией полинома Тутте , который, в свою очередь, является специализацией многомерного полинома Тутте. ^[4]

Особые ценностид

Параметр случайной кластерной модели может принимать произвольные комплексные значения. Это включает следующие особые случаи: ${\displaystyle q}$

• ${\displaystyle q\to 0}$: линейные сети сопротивления . ^[1]
• ${\displaystyle q<1}$: отрицательно-коррелированная перколяция.
• ${\displaystyle q=1}$: Перколяция Бернулли с . ${\displaystyle Z=1}$
• ${\displaystyle q=2}$: модель Изинга .
• ${\displaystyle q\in \mathbb {Z} ^{+}}$: -state Модель Поттса . ${\displaystyle q}$

Эдвардс-Сокал представительство

Представление Эдвардса-Сокала (ES) ^[5] модели Поттса названо в честь Роберта Г. Эдвардса и Алана Д. Сокала . Оно обеспечивает единое представление моделей Поттса и случайных кластеров в терминах совместного распределения конфигураций спинов и связей.

Пусть будет графом с числом вершин и числом ребер . Обозначим конфигурацию спина как и конфигурацию связи как . Совместная мера задается как ${\displaystyle G=(V,E)}$ ${\displaystyle n=|V|}$ ${\displaystyle m=|E|}$ ${\displaystyle \sigma \in \mathbb {Z} _{q}^{n}}$ ${\displaystyle \omega \in \{0,1\}^{m}}$ ${\displaystyle (\sigma ,\omega )}$

${\displaystyle \mu (\sigma ,\omega )=Z^{-1}\psi (\sigma )\phi _{p}(\omega )1_{A}(\sigma ,\omega ),}$

где — равномерная мера, — мера произведения с плотностью , а — соответствующая нормирующая константа. Важно отметить, что индикаторная функция множества ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi _{p}}$ ${\displaystyle p=1-e^{-\beta }}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle 1_{A}}$

${\displaystyle A=\{(\sigma ,\omega ):\sigma _{i}=\sigma _{j}{\text{ for any edge }}(i,j){\text{ where }}\omega =1\}}$

обеспечивает ограничение, согласно которому связь может быть открыта на ребре только в том случае, если соседние спины находятся в одном и том же состоянии, также известное как правило SW .

Статистику спинов Поттса можно восстановить из статистики кластера (и наоборот) благодаря следующим особенностям представления ES: ^[2]

• Предельной мерой спинов является мера Больцмана q - состояния модели Поттса при обратной температуре . ${\displaystyle \mu (\sigma )}$ ${\displaystyle \beta }$
• Предельной мерой связей является случайная кластерная мера с параметрами q и p. ${\displaystyle \phi _{p,q}(\omega )}$
• Условная мера спина представляет собой равномерно случайное распределение состояний спина, которые постоянны на каждом связанном компоненте структуры связей . ${\displaystyle \mu (\sigma \,|\,\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$
• Условная мера связей представляет собой процесс перколяции (с отношением p ) на подграфе, образованном ребрами, где выровнены соседние спины. ${\displaystyle \phi _{p,q}(\omega \,|\,\sigma )}$ ${\displaystyle G}$
• В случае модели Изинга вероятность того, что две вершины находятся в одном и том же связанном компоненте структуры связей, равна двухточечной корреляционной функции спинов , ^[6] записанной как . ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \sigma _{i}{\text{ and }}\sigma _{j}}$ ${\displaystyle \phi _{p,q}(i\leftrightarrow j)=\langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle }$

Разочарование

Существует несколько осложнений представления ES, когда в спиновой модели присутствует фрустрация (например, модель Изинга с ферромагнитными и антиферромагнитными связями в одной и той же решетке). В частности, больше нет соответствия между статистикой спина и статистикой кластера, ^[7] и длина корреляции модели RC будет больше, чем длина корреляции спиновой модели. Это является причиной неэффективности алгоритма SW для моделирования фрустрированных систем.

Двумерный случай

Если базовый граф является планарным графом , то существует двойственность между моделями случайных кластеров на и на двойственном графе . ^[8] На уровне функции распределения двойственность читается как ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{*}}$

${\displaystyle {\tilde {Z}}_{G}(q,v)=q^{|V|-|E|-1}v^{|E|}{\tilde {Z}}_{G^{*}}\left(q,{\frac {q}{v}}\right)\qquad {\text{with}}\qquad v={\frac {p}{1-p}}\quad {\text{and}}\quad {\tilde {Z}}_{G}(q,v)=(1-p)^{-|E|}Z_{G}(q,v)}$

На самодвойственном графе, таком как квадратная решетка , фазовый переход может произойти только при самодвойственной связи . ^[9] ${\displaystyle v_{\text{self-dual}}={\sqrt {q}}}$

Модель случайного кластера на плоском графе можно переформулировать как модель цикла на соответствующем медиальном графе . Для конфигурации модели случайного кластера соответствующая конфигурация цикла представляет собой набор самоизбегающих циклов, которые отделяют кластеры от двойственных кластеров. В подходе матрицы переноса модель цикла записывается в терминах алгебры Темперли-Либа с параметром . В двух измерениях модель случайного кластера, таким образом, тесно связана с моделью O(n) , которая также является моделью цикла. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \delta =q}$

В двух измерениях критическая случайная кластерная модель описывается конформной теорией поля с центральным зарядом

${\displaystyle c=13-6\beta ^{2}-6\beta ^{-2}\qquad {\text{with}}\qquad q=4\cos ^{2}(\pi \beta ^{2})\ .}$

Известные точные результаты включают конформные измерения полей, которые определяют, принадлежит ли точка кластеру FK или спиновому кластеру . В терминах индексов Каца эти конформные измерения соответственно и , что соответствует фрактальным измерениям и кластеров. ${\displaystyle 2h_{0,{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle 2h_{{\frac {1}{2}},0}}$ ${\displaystyle 2-2h_{0,{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle 2-2h_{{\frac {1}{2}},0}}$

История и применение

Модели RC были введены в 1969 году Фортуином и Кастелейном , в основном для решения комбинаторных задач. ^{[1] [10] [6]} В честь их основателей их иногда называют моделями FK . ^[3] В 1971 году они использовали их для получения неравенства FKG . После 1987 года интерес к модели и ее приложениям в статистической физике возродился. Она стала источником вдохновения для алгоритма Свендсена–Вана, описывающего временную эволюцию моделей Поттса. ^[11] Майкл Айзенман и соавторы использовали ее для изучения фазовых границ в одномерных моделях Изинга и Поттса. ^{[12] [10]}

Смотрите также

• полином Тутте
• модель Изинга
• Случайный график
• Алгоритм Свендсена–Ванга
• FKG неравенство

Ссылки

1. Fortuin; Kasteleyn (1972). "О модели случайных кластеров: I. Введение и связь с другими моделями". Physica . 57 (4): 536. Bibcode :1972Phy....57..536F. doi :10.1016/0031-8914(72)90045-6.
2. Grimmett (2002). "Модели случайных кластеров". arXiv : math/0205237 .
3. Newman, Charles M. (1994), Grimmett, Geoffrey (ред.), "Неупорядоченные системы Изинга и случайные кластерные представления", Вероятность и фазовый переход , NATO ASI Series, Дордрехт: Springer Netherlands, стр. 247–260, doi :10.1007/978-94-015-8326-8_15, ISBN 978-94-015-8326-8, получено 2021-04-18
4. Сокал, Алан (2005). «Многомерный полином Тутта (модель Псевдо Поттса) для графов и матроидов». Surveys in Combinatorics 2005. С. 173–226. arXiv : math/0503607 . doi :10.1017/CBO9780511734885.009. ISBN 9780521615235. S2CID  17904893.
5. Эдвардс, Роберт Г.; Сокал, Алан Д. (1988-09-15). «Обобщение представления Фортуина-Кастелейна-Свендсена-Ванга и алгоритм Монте-Карло». Physical Review D. 38 ( 6): 2009–2012. Bibcode :1988PhRvD..38.2009E. doi :10.1103/PhysRevD.38.2009. PMID  9959355.
6. Kasteleyn, PW; Fortuin, CM (1969). "Фазовые переходы в решеточных системах со случайными локальными свойствами". Приложение к журналу Physical Society of Japan . 26 : 11. Bibcode : 1969JPSJS..26...11K.
7. Cataudella, V.; Franzese, G.; Nicodemi, M.; Scala, A.; Coniglio, A. (1994-03-07). «Критические кластеры и эффективная динамика для моделей фрустрированного спина». Physical Review Letters . 72 (10): 1541–1544. Bibcode :1994PhRvL..72.1541C. doi :10.1103/PhysRevLett.72.1541. hdl : 2445/13250 . PMID  10055635.
8. Wu, FY (1982-01-01). «Модель Поттса». Reviews of Modern Physics . 54 (1). Американское физическое общество (APS): 235–268. Bibcode : 1982RvMP...54..235W. doi : 10.1103/revmodphys.54.235. ISSN  0034-6861.
9. Беффара, Винсент; Дюминиль-Копен, Хьюго (27.11.2013). "Самодвойственная точка двумерной модели случайного кластера имеет решающее значение для $q\geq 1$". arXiv : 1006.5073 [math.PR].
10. Grimmett. Модель случайного кластера (PDF) .
11. Свендсен, Роберт Х.; Ван, Цзянь-Шэн (1987-01-12). «Неуниверсальная критическая динамика в моделировании Монте-Карло». Physical Review Letters . 58 (2): 86–88. Bibcode :1987PhRvL..58...86S. doi :10.1103/PhysRevLett.58.86. PMID  10034599.
12. Aizenman, M.; Chayes, JT; Chayes, L.; Newman, CM (апрель 1987 г.). «Фазовая граница в разбавленных и случайных ферромагнетиках Изинга и Поттса». Journal of Physics A: Mathematical and General . 20 (5): L313–L318. Bibcode : 1987JPhA...20L.313A. doi : 10.1088/0305-4470/20/5/010. ISSN  0305-4470.

Внешние ссылки

• Модель случайных кластеров – Wolfram MathWorld