Случайное поле

В физике и математике случайное поле — это случайная функция в произвольной области (обычно многомерном пространстве, таком как ). То есть это функция , которая принимает случайное значение в каждой точке (или некоторой другой области). Иногда его также считают синонимом стохастического процесса с некоторым ограничением на его набор индексов. То есть, по современным определениям, случайное поле — это обобщение стохастического процесса , где базовый параметр больше не должен быть действительным или целочисленным «временем», а может вместо этого принимать значения, которые являются многомерными векторами или точками на некотором многообразии . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

Формальное определение

При заданном вероятностном пространстве случайное поле со значениями X представляет собой набор случайных величин со значениями X, индексированных элементами в топологическом пространстве T. То есть случайное поле F представляет собой набор ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

${\displaystyle \{F_{t}:t\in T\}}$

где каждый из них является случайной величиной со значением X. ${\displaystyle F_{t}}$

Примеры

В своей дискретной версии случайное поле представляет собой список случайных чисел, индексы которых отождествляются с дискретным набором точек в пространстве (например, n- мерном евклидовом пространстве ). Предположим, что есть четыре случайные величины, , , , и , расположенные в двумерной сетке в точках (0,0), (0,2), (2,2) и (2,0) соответственно. Предположим, что каждая случайная величина может принимать значение -1 или 1, а вероятность значения каждой случайной величины зависит от ее непосредственно смежных соседей. Это простой пример дискретного случайного поля. ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X_{3}}$ ${\displaystyle X_{4}}$

В более общем смысле, значения, которые может принимать каждый из них, могут быть определены в непрерывной области. В более крупных сетках также может быть полезно думать о случайном поле как о случайной величине «со значением функции», как описано выше. В квантовой теории поля это понятие обобщается до случайного функционала , который принимает случайные значения в пространстве функций (см. интеграл Фейнмана ). ${\displaystyle X_{i}}$

Существует несколько видов случайных полей, среди которых марковское случайное поле (MRF), гиббсовское случайное поле , условное случайное поле (CRF) и гауссовское случайное поле . В 1974 году Джулиан Бесаг предложил метод аппроксимации, основанный на соотношении между MRF и гиббсовскими RF. ^{[ необходима цитата ]}

Примеры свойств

MRF демонстрирует свойство Маркова

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},j\in \partial _{i}),\,}$

для каждого выбора значений . Здесь каждое из них является набором соседей . Другими словами, вероятность того, что случайная величина принимает значение, зависит от ее ближайших соседних случайных величин. Вероятность случайной величины в MRF ^{[ необходимо разъяснение ]} определяется как ${\displaystyle (x_{j})_{j}}$ ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i})={\frac {P(X_{i}=x_{i},\partial _{i})}{\sum _{k}P(X_{i}=k,\partial _{i})}},}$

где сумма (может быть интегралом) берется по возможным значениям k. ^{[ необходимо пояснение ]} Иногда бывает трудно точно вычислить эту величину.

Приложения

При использовании в естественных науках значения в случайном поле часто пространственно коррелируют. Например, смежные значения (т. е. значения со смежными индексами) не отличаются так сильно, как значения, которые находятся дальше друг от друга. Это пример ковариационной структуры , многие различные типы которой могут быть смоделированы в случайном поле. Одним из примеров является модель Изинга , в которой иногда взаимодействия ближайших соседей включены только в качестве упрощения для лучшего понимания модели.

Распространенное использование случайных полей — в создании компьютерной графики, особенно той, которая имитирует естественные поверхности, такие как вода и земля . Случайные поля также использовались в моделях подземного грунта, как в ^[2]

В нейронауке , особенно в исследованиях функциональной визуализации мозга, связанных с задачами , с использованием ПЭТ или фМРТ , статистический анализ случайных полей является одной из распространенных альтернатив коррекции для множественных сравнений, чтобы найти области с действительно значимой активацией. ^[3] В более общем плане случайные поля могут использоваться для коррекции эффекта поиска в другом месте при статистическом тестировании, где доменом является пространство параметров , в котором выполняется поиск. ^[4]

Они также используются в приложениях машинного обучения (см. графические модели ).

Тензорнозначные случайные поля

Случайные поля очень полезны при изучении природных процессов методом Монте-Карло , в котором случайные поля соответствуют естественным пространственно изменяющимся свойствам. Это приводит к тензорным случайным полям ^{[ необходимо разъяснение ],} в которых ключевую роль играет статистический элемент объема (SVE), представляющий собой пространственную ячейку, по которой можно усреднить свойства; когда SVE становится достаточно большим, его свойства становятся детерминированными, и можно восстановить представительный элемент объема (RVE) детерминированной физики сплошной среды. Второй тип случайных полей, которые появляются в теориях сплошной среды, — это поля зависимых величин (температура, смещение, скорость, деформация, вращение, объемные и поверхностные силы, напряжение и т. д.). ^{[5] [ необходимо разъяснение ]}

Смотрите также

• Ковариация
• Кригинг
• Вариограмма
• Ресель
• Случайный процесс
• Система взаимодействующих частиц
• Стохастические клеточные автоматы

Ссылки

1. Ванмарке, Эрик (2010). Случайные поля: анализ и синтез . World Scientific Publishing Company. ISBN 978-9812563538.
2. Карденас, IC (2023). «Двумерный подход к количественной оценке стратиграфической неопределенности по данным скважин с использованием неоднородных случайных полей». Инженерная геология . doi : 10.1016/j.enggeo.2023.107001 .
3. Worsley, KJ; Evans, AC; Marrett, S.; Neelin, P. (ноябрь 1992 г.). «Трехмерный статистический анализ для исследований активации мозгового кровотока в мозге человека». Журнал мозгового кровотока и метаболизма . 12 (6): 900–918. doi : 10.1038/jcbfm.1992.127 . ISSN  0271-678X. PMID  1400644.
4. Вителлс, Офер; Гросс, Эйлам (2011). «Оценка значимости сигнала в многомерном поиске». Astroparticle Physics . 35 : 230–234. arXiv : 1105.4355 . doi : 10.1016/j.astropartphys.2011.08.005.
5. Маляренко, Анатолий; Остоя-Стажевски, Мартин (2019). Тензорнозначные случайные поля для физики сплошной среды . Cambridge University Press. ISBN 9781108429856.

Дальнейшее чтение

• Adler, RJ & Taylor, Jonathan (2007). Случайные поля и геометрия . Springer. ISBN 978-0-387-48112-8.
• Besag, JE (1974). «Пространственное взаимодействие и статистический анализ решетчатых систем». Журнал Королевского статистического общества . Серия B. 36 (2): 192–236. doi :10.1111/j.2517-6161.1974.tb00999.x.
• Гриффит, Дэвид (1976). «Случайные поля». В Кемени, Джон Г .; Снелл, Лори ; Кнапп, Энтони У. (ред.). Счетные цепи Маркова (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-90177-9.
• Давар Хошневисан (2002). Многопараметрические процессы: Введение в случайные поля . Springer. ISBN 0-387-95459-7.