Непрерывность (теория вероятностей)

В теории вероятностей две последовательности вероятностных мер называются смежными, если асимптотически они имеют один и тот же носитель . Таким образом, понятие смежности расширяет понятие абсолютной непрерывности на последовательности мер.

Эта концепция была первоначально введена Ле Камом (1960) как часть его основополагающего вклада в развитие асимптотической теории в математической статистике . Он наиболее известен своими общими концепциями локальной асимптотической нормальности и смежности. ^[1]

Определение

Пусть – последовательность измеримых пространств , каждое из _{которых} снабжено двумя _мерами Pn и Qn . ${\displaystyle (\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})}$

• Мы говорим, что _Q n _смежно относительно P n ₍ обозначается Q _n ◁ P _n ) , если для каждой последовательности An измеримых множеств _из P _n ( An ) → 0 влечет Q _n ( An ₎ → 0 .
• Последовательности P _n и Q _n называются взаимно смежными или двусмежными (обозначаются Q _n ◁▷ P _n ), если обе Q _n смежны относительно P _n и P _n смежны относительно Q _n . ^[2]

Понятие непрерывности тесно связано с понятием абсолютной непрерывности . Мы говорим, что мера Q абсолютно непрерывна относительно P ( обозначается Q ≪ P ), если для любого измеримого множества A из P ( A ) = 0 следует Q ( A ) = 0 . То есть Q абсолютно непрерывен относительно P , если носитель Q является подмножеством носителя P , за исключением случаев, когда это неверно, включая, например, меру, которая концентрируется на открытом множестве, поскольку ее носитель равен Это замкнутое множество, и оно присваивает границе нулевую меру, поэтому другая мера может концентрироваться на границе и, таким образом, иметь поддержку, содержащуюся в поддержке первой меры, но они будут взаимно сингулярны. Подводя итог, можно сказать, что утверждение об абсолютной преемственности в предыдущем предложении неверно. Свойство смежности заменяет это требование асимптотическим: Qn _{является смежным} относительно Pn _, если «предельный носитель» _Qn является подмножеством предельного носителя Pn . По вышеизложенной логике это утверждение также неверно.

Однако возможно, что каждая из мер _Qn будет абсолютно непрерывной относительно Pn _, а последовательность Qn _не будет непрерывной относительно Pn _.

Фундаментальная теорема Радона–Никодима для абсолютно непрерывных мер утверждает, что если Q абсолютно непрерывен относительно P , то Q имеет плотность относительно P , обозначаемую как ƒ = d Q ⁄ d P , такую, что для любого измеримого множества A

${\displaystyle Q(A)=\int _{A}f\,\mathrm {d} P,\,}$

что интерпретируется как возможность «реконструировать» меру Q, зная меру P и производную ƒ . Аналогичный результат существует для смежных последовательностей мер и дается третьей леммой Ле Кама .

Характеристики

• Для случая всех n это применимо . ${\displaystyle (P_{n},Q_{n})=(P,Q)}$ ${\displaystyle Q_{n}\triangleleft P_{n}\Leftrightarrow Q\ll P}$
• Возможно, это верно для всех n без . ^[3] ${\displaystyle P_{n}\ll Q_{n}}$ ${\displaystyle P_{n}\triangleleft Q_{n}}$

Первая лемма Ле Кама

Для двух последовательностей мер на измеримых пространствах следующие утверждения эквивалентны: ^[4] ${\displaystyle (P_{n}){\text{ and }}(Q_{n})}$ ${\displaystyle (\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})}$

• ${\displaystyle P_{n}\triangleleft Q_{n}}$
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q_{n}}{\mathrm {d} P_{n}}}{\overset {P_{n}}{\,\longrightarrow \,}}U{\text{ along a subsequence }}\Rightarrow P(U>0)=1}$
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P_{n}}{\mathrm {d} Q_{n}}}{\overset {Q_{n}}{\,\longrightarrow \,}}V{\text{ along a subsequence }}\Rightarrow E(V)=1}$
• ${\displaystyle T_{n}{\overset {P_{n}}{\,\longrightarrow \,}}0\,\Rightarrow \,T_{n}{\overset {Q_{n}}{\,\longrightarrow \,}}0}$для любой статистики . ${\displaystyle T_{n}:\Omega _{n}\rightarrow \mathbb {R} }$

где и – случайные величины на . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P){\text{ and }}(\Omega ',{\mathcal {F}}',Q)}$

Интерпретация

Теорема Прохорова говорит нам, что для данной последовательности вероятностных мер каждая подпоследовательность имеет следующую подпоследовательность, которая слабо сходится . Первая лемма Ле Кама показывает, что свойства связанных предельных точек определяют, применима ли смежность или нет. Это можно понять по аналогии с неасимптотическим понятием абсолютной непрерывности меры . ^[5]

Приложения

• Эконометрика ^[6]

Смотрите также

• Асимптотическая теория (статистика)
• Непрерывность (значения)
• Вероятностное пространство

Примечания

1. Вулфовиц Дж. (1974) Рецензия на книгу Джорджа Г. Руссаса «Непрерывность вероятностных мер: некоторые приложения в статистике», Журнал Американской статистической ассоциации , 69, 278–279 jstor
2. ван дер Ваарт (1998, стр. 87)
3. «Непрерывность: примеры» (PDF) .
4. ван дер Ваарт (1998, стр. 88)
5. Ваарт А.В. ван дер. Асимптотическая статистика. Издательство Кембриджского университета; 1998.
6. Веркер, Бас (июнь 2005 г.). «Продвинутые темы финансовой эконометрики» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 30 апреля 2006 г. Проверено 12 ноября 2009 г.

Рекомендации

• Гаек, Дж.; Шидак, З. (1967). Теория ранговых тестов . Нью-Йорк: Академическая пресса.
• Ле Кам, Люсьен (1960). «Локально асимптотически нормальные семейства распределений». Публикации Калифорнийского университета по статистике . 3 : 37–98.
• Руссас, Джордж Г. (2001) [1994], «Непрерывность вероятностных мер», Энциклопедия математики , EMS Press
• ван дер Ваарт, AW (1998). Асимптотическая статистика . Издательство Кембриджского университета.

Дополнительная литература

• Руссас, Джордж Г. (1972), Неразрывность вероятностных мер: некоторые приложения в статистике , CUP, ISBN 978-0-521-09095-7 . 
• Скотт, DJ (1982) Неразрывность вероятностных мер, Австралийский и новозеландский статистический журнал , 24 (1), 80–88.

Внешние ссылки

• Асимптопия непрерывности: 17 октября 2000 г., Дэвид Поллард
• Асимптотическая нормальность при смежности в случае зависимости
• Центральная предельная теорема при смежных альтернативах
• Суперэффективность, непрерывность, локальная сеть, регулярность, теоремы свертки
• Проверка статистических гипотез
• Необходимые и достаточные условия смежности и полного асимптотического разделения вероятностных мер Р. Ш. Липцер и др. 1982 Усс. Математика. Выж. 37 107–136
• Бессознательное как бесконечные множества Игнасио Матте Бланко, Эрик (FRW) Рейнер
• «Непрерывность вероятностных мер», Дэвид Дж. Скотт, Университет Ла Троб.
• «О концепции смежности», Холл, Лойнс