Смешанное граничное условие

В математике смешанное граничное условие для уравнения с частными производными определяет краевую задачу , в которой решение данного уравнения должно удовлетворять различным граничным условиям на непересекающихся частях границы области , в которой это условие задано. Точнее, в смешанной краевой задаче решение должно удовлетворять граничному условию Дирихле или Неймана взаимоисключающим образом на непересекающихся частях границы.

Например, если дано решение $u$ уравнения в частных производных в области $Ω$ с границей $\partialΩ$ , то говорят, что оно удовлетворяет смешанному граничному условию, если, состоящее из $\partialΩ$ двух непересекающихся частей, $Γ 1$ и $Г 2$ , такой что $\partialΩ = Γ 1 \cup Г 2$ , $u$ проверяет следующие уравнения:

\left.u\right|_{\Гамма _{1}}=u_{0}

\left.{\frac {\partial u}{\partial n}}\right|_{\Gamma _{2}}=g,

где $ты 0$ и $g$ — заданные функции, определенные на этих участках границы. ^[1]

Смешанное граничное условие отличается от граничного условия Робина тем, что последнее требует линейной комбинации , возможно, с поточечно- переменными коэффициентами, граничных условий Дирихле и Неймана, которые должны выполняться на всей границе заданной области.

Историческая справка

М. Виртингер, в приватном разговоре, наряд, обращающий внимание на возникшую проблему: определитель функции $и$ проверки уравнения Лапласа в определенном домене ( $D$ ) étant donné, sur une party ( $S$ ) de la Frontière, les valeurs Периферийные устройства требуемой функции и другие, остающиеся ( $S'$ ) на границе рассматриваемой области, клетки, соответствующие норме . Я предлагаю вам найти самое общее решение этой интересной проблемы. ^[2]
- Станислав Заремба , (Заремба 1910, §1, стр. 313).

Первая краевая задача, удовлетворяющая смешанному граничному условию, была решена Станиславом Зарембой для уравнения Лапласа : по его словам, именно Вильгельм Виртингер предложил ему изучить эту задачу. ^[3]

Смотрите также

Примечания

^ Очевидно, что вовсе не обязательно требовать $u 0$ и $g$ являются функциями: они могут быть распределениями или любыми другими видами обобщенных функций .
^ (Перевод на английский) «Г-н Виртингер в частной беседе обратил мое внимание на следующую проблему: определить одну функцию $u,$ удовлетворяющую уравнению Лапласа в некоторой области ( $D$ ) , зная на части ( $S$ ) ее границы периферийные значения искомой функции, а на оставшейся части ( $S'$ ) рассматриваемой области — значения ее производной по нормали . Я стремлюсь дать общее решение этой интересной проблемы».
^ См. (Заремба 1910, §1, стр. 313).

Ссылки

Фичера, Гаэтано (1949), «Аналитический анализ для решения проблем, связанных с противоречивыми, относительными всеми уравнениями и системами уравнений второго порядка, автодополняющими», Annali della Scuola Normale Superiore , Serie III (на итальянском языке) , 1 (1947) (1–4): 75–100, МР 0035370, Збл 0035.18603В статье « Экзистенциальный анализ решений смешанных краевых задач, связанных с эллиптическим уравнением второго порядка и самосопряженными системами уравнений » (перевод названия на английский язык) Гаэтано Фикера дает первые доказательства теорем существования и единственности для смешанной краевой задачи, включающей общий самосопряженный эллиптический оператор второго порядка в довольно общих областях .
Гуру, Бхаг С.; Хызыроглу, Хусейн Р. (2004), Основы теории электромагнитного поля (2-е изд.), Кембридж, Великобритания – Нью-Йорк: Cambridge University Press , стр. 593, ISBN 0-521-83016-8.
Миранда, Карло (1955), Equazioni alle derivate parziali di typo ellittico , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete – Neue Folge (на итальянском языке), vol. Heft 2 (1-е изд.), Берлин – Геттинген – Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. VIII+222, MR 0087853, Zbl 0065.08503.
Миранда, Карло (1970) [1955], Уравнения с частными производными эллиптического типа , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete – 2 Folge, vol. Группа 2 (2-е исправленное издание), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. XII+370, ISBN 978-3-540-04804-6, MR 0284700, Zbl 0198.14101, перевод с итальянского Зейна К. Моттелера.
Заремба, С. (1910), «Смешанная проблема, относящаяся к уравнению Лапласа», Международный бюллетень Академии наук Краковии. Classe des Sciences Mathématiques et Naturelles , Серия A: Математические науки (на французском языке): 313–344, JFM 41.0854.12, переведено на русский язык как Заремба С. (1946), Об одной смешанной задаче, относящейся к уравнению Лапласа, Успехи математических наук , 1 (3-4(13-14)): 125–146, MR 0025032, Збл 0061.23010.