Спектр (функциональный анализ)

Множество собственных значений матрицы

В математике , в частности в функциональном анализе , спектр ограниченного линейного оператора (или, в более общем смысле, неограниченного линейного оператора ) является обобщением множества собственных значений матрицы . В частности, говорят, что комплексное число находится в спектре ограниченного линейного оператора , если ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$

• либо не имеет теоретико-множественного обратного ;
• или теоретико-множественная обратная величина либо неограничена, либо определена на неплотном подмножестве. ^[1]

Здесь — оператор тождественности . ${\displaystyle I}$

По теореме о замкнутом графике принадлежит спектру тогда и только тогда, когда ограниченный оператор не является биективным на . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T-\lambda I:V\to V}$ ${\displaystyle V}$

Изучение спектров и связанных с ними свойств известно как спектральная теория , которая имеет многочисленные приложения, наиболее заметным из которых является математическая формулировка квантовой механики .

Спектр оператора в конечномерном векторном пространстве — это в точности набор собственных значений. Однако оператор в бесконечномерном пространстве может иметь дополнительные элементы в своем спектре и может не иметь собственных значений. Например, рассмотрим оператор правого сдвига R в гильбертовом пространстве ℓ 2 ,

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots ).}$

У него нет собственных значений, так как если Rx = λx , то, расширяя это выражение, мы видим, что x ₁ =0, x ₂ =0 и т. д. С другой стороны, 0 находится в спектре, поскольку, хотя оператор R  − 0 (т. е. сам R ) обратим, обратный определен на множестве, которое не плотно в ℓ 2 . Фактически, каждый ограниченный линейный оператор в комплексном банаховом пространстве должен иметь непустой спектр.

Понятие спектра распространяется на неограниченные (т.е. не обязательно ограниченные) операторы. Говорят, что комплексное число λ находится в спектре неограниченного оператора, определенного на области определения , если не существует ограниченного обратного оператора, определенного на всей области. Если T замкнуто (что включает случай, когда T ограничено), ограниченность автоматически следует из его существования. ${\displaystyle T:\,X\to X}$ ${\displaystyle D(T)\subseteq X}$ ${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}:\,X\to D(T)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$

Пространство ограниченных линейных операторов B ( X ) в банаховом пространстве X является примером унитальной банаховой алгебры . Поскольку определение спектра не упоминает никаких свойств B ( X ) за исключением тех, которыми обладает любая такая алгебра, понятие спектра может быть обобщено на этот контекст, используя то же самое определение дословно.

Спектр ограниченного оператора

Определение

Пусть — ограниченный линейный оператор, действующий в банаховом пространстве над комплексным скалярным полем , а — тождественный оператор в . Спектр оператора — это множество всех операторов , для которых оператор не имеет обратного, являющегося ограниченным линейным оператором. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T-\lambda I}$

Так как — линейный оператор, то обратный ему линеен, если он существует; и, по теореме об ограниченном обратном , он ограничен. Следовательно, спектр состоит именно из тех скаляров, для которых не является биективным . ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T-\lambda I}$

Спектр данного оператора часто обозначается , а его дополнение, резольвентное множество , обозначается . ( иногда используется для обозначения спектрального радиуса ) ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \sigma (T)}$ ${\displaystyle \rho (T)=\mathbb {C} \setminus \sigma (T)}$ ${\displaystyle \rho (T)}$ ${\displaystyle T}$

Связь с собственными значениями

Если является собственным значением , то оператор не является взаимно-однозначным, и поэтому его обратный оператор не определен. Однако обратное утверждение неверно: оператор может не иметь обратного оператора, даже если не является собственным значением. Таким образом, спектр оператора всегда содержит все его собственные значения, но не ограничивается ими. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \lambda }$

Например, рассмотрим гильбертово пространство , которое состоит из всех бесконечных в обе стороны последовательностей действительных чисел. ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle v=(\ldots ,v_{-2},v_{-1},v_{0},v_{1},v_{2},\ldots )}$

которые имеют конечную сумму квадратов . Оператор двустороннего сдвига просто смещает каждый элемент последовательности на одну позицию; а именно, если , то для каждого целого числа . Уравнение собственных значений не имеет ненулевого решения в этом пространстве, поскольку оно подразумевает, что все значения имеют одинаковое абсолютное значение (если ) или являются геометрической прогрессией (если ); в любом случае сумма их квадратов не будет конечной. Однако оператор необратим, если . Например, последовательность такая, что находится в ; но нет последовательности в такой, что (то есть для всех ). ${\textstyle \sum _{i=-\infty }^{+\infty }v_{i}^{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle u=T(v)}$ ${\displaystyle u_{i}=v_{i-1}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle T(v)=\lambda v}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle \vert \lambda \vert =1}$ ${\displaystyle \vert \lambda \vert \neq 1}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle |\lambda |=1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{i}=1/(|i|+1)}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle (T-I)v=u}$ ${\displaystyle v_{i-1}=u_{i}+v_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Основные свойства

Спектр ограниченного оператора T всегда является замкнутым ограниченным подмножеством комплексной плоскости .

Если бы спектр был пуст, то резольвентная функция

${\displaystyle R(\lambda )=(T-\lambda I)^{-1},\qquad \lambda \in \mathbb {C} ,}$

была бы определена всюду на комплексной плоскости и ограничена. Но можно показать, что резольвентная функция R голоморфна на своей области определения. Согласно векторнозначной версии теоремы Лиувилля , эта функция постоянна, следовательно, везде равна нулю , поскольку она равна нулю на бесконечности. Это было бы противоречием.

Ограниченность спектра следует из разложения в ряд Неймана по λ ; спектр σ ( T ) ограничен || T ||. Аналогичный результат показывает замкнутость спектра.

Граница || T || на спектре может быть несколько уточнена. Спектральный радиус r ( T ) функции T представляет собой радиус наименьшего круга в комплексной плоскости, центр которого находится в начале координат и который содержит спектр σ ( T ) внутри себя, т.е.

${\displaystyle r(T)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (T)\}.}$

Формула спектрального радиуса гласит ^[2] , что для любого элемента банаховой алгебры ${\displaystyle T}$

${\displaystyle r(T)=\lim _{n\to \infty }\left\|T^{n}\right\|^{1/n}.}$

Спектр неограниченного оператора

Определение спектра можно расширить до неограниченных операторов в банаховом пространстве X. Эти операторы больше не являются элементами банаховой алгебры B ( X ).

Определение

Пусть X — банахово пространство и — линейный оператор, определенный на области . Говорят, что комплексное число λ находится в резольвентном множестве (также называемом регулярным множеством ), если оператор ${\displaystyle T:\,D(T)\to X}$ ${\displaystyle D(T)\subseteq X}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T-\lambda I:\,D(T)\to X}$

имеет ограниченный всюду определенный обратный оператор, т.е. если существует ограниченный оператор

${\displaystyle S:\,X\rightarrow D(T)}$

такой что

${\displaystyle S(T-\lambda I)=I_{D(T)},\,(T-\lambda I)S=I_{X}.}$

Тогда комплексное число λ находится в спектре , если λ не находится в резольвентном множестве.

Чтобы λ была в резольвенте (т.е. не в спектре), как и в ограниченном случае, она должна быть биективной, поскольку должна иметь двустороннюю обратную. Как и прежде, если обратная существует, то ее линейность немедленна, но в общем случае она может не быть ограниченной, поэтому это условие должно быть проверено отдельно. ${\displaystyle T-\lambda I}$

По теореме о замкнутом графике ограниченность следует непосредственно из его существования, когда T замкнут . Тогда , как и в ограниченном случае, комплексное число λ лежит в спектре замкнутого оператора T тогда и только тогда, когда не является биективным. Отметим, что класс замкнутых операторов включает все ограниченные операторы. ${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$

Основные свойства

Спектр неограниченного оператора в общем случае является замкнутым, возможно пустым, подмножеством комплексной плоскости. Если оператор T не замкнут , то . ${\displaystyle \sigma (T)=\mathbb {C} }$

Классификация точек спектра

Ограниченный оператор T в банаховом пространстве обратим, т.е. имеет ограниченный обратный, тогда и только тогда, когда T ограничен снизу, т.е. для некоторых и имеет плотную область значений. Соответственно, спектр T можно разделить на следующие части: ${\displaystyle \|Tx\|\geq c\|x\|,}$ ${\displaystyle c>0,}$

1. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$если не ограничено снизу. В частности, это так, если не инъективно , то есть λ является собственным значением. Набор собственных значений называется точечным спектром T и обозначается σ _p ( T ). В качестве альтернативы может быть взаимно однозначным, но все еще не ограниченным снизу. Такое λ не является собственным значением, но все же приближенным собственным значением T (собственные значения сами по себе являются приближенными собственными значениями). Набор приближенных собственных значений (который включает точечный спектр) называется приближенным точечным спектром T и обозначается σ _ap ( T ). ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$
2. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$если не имеет плотного диапазона. Набор таких λ называется спектром сжатия T , обозначаемым . Если не имеет плотного диапазона, но является инъективным, говорят , что λ находится в остаточном спектре T , обозначаемом . ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {res} }(T)}$

Обратите внимание, что приближенный точечный спектр и остаточный спектр не обязательно не пересекаются ^[3] (однако точечный спектр и остаточный спектр пересекаются).

В следующих подразделах приводится более подробная информация о трех частях σ ( T ), описанных выше.

Спектр точек

Если оператор не является инъективным (то есть существует некоторый ненулевой x с T ( x ) = 0), то он, очевидно, необратим. Поэтому, если λ является собственным значением T , то обязательно λ  ∈  σ ( T ). Множество собственных значений T также называется точечным спектром T , обозначаемым σ _p ( T ). Некоторые авторы называют замыкание точечного спектра чистым точечным спектром , в то время как другие просто рассматривают ^{[4] [5]} ${\displaystyle \sigma _{pp}(T)={\overline {\sigma _{p}(T)}}}$ ${\displaystyle \sigma _{pp}(T):=\sigma _{p}(T).}$

Приблизительный точечный спектр

В более общем смысле, по ограниченной обратной теореме , T необратим, если он не ограничен снизу; то есть, если нет c  > 0 такого, что || Tx || ≥  c || x || для всех x ∈ X. Таким образом, спектр включает в себя множество приближенных собственных значений , которые являются такими λ , что T - λI не ограничено снизу; эквивалентно, это множество λ , для которых существует последовательность единичных векторов x ₁ , x ₂ , ... , для которых

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|Tx_{n}-\lambda x_{n}\|=0}$.

Набор приближенных собственных значений известен как приближенный точечный спектр и обозначается как . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ap} }(T)}$

Легко видеть, что собственные значения лежат в приближенном точечном спектре.

Например, рассмотрим сдвиг вправо R , определяемый формулой ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\quad j\in \mathbb {Z} ,}$

где — стандартный ортонормированный базис в . Прямой расчет показывает, что R не имеет собственных значений, но каждое λ с является приближенным собственным значением; пусть x _n будет вектором ${\displaystyle {\big (}e_{j}{\big )}_{j\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle |\lambda |=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}(\dots ,0,1,\lambda ^{-1},\lambda ^{-2},\dots ,\lambda ^{1-n},0,\dots )}$

можно видеть, что || x _n || = 1 для всех n , но

${\displaystyle \|Rx_{n}-\lambda x_{n}\|={\sqrt {\frac {2}{n}}}\to 0.}$

Поскольку R — унитарный оператор, его спектр лежит на единичной окружности. Следовательно, приближенный точечный спектр R — это его полный спектр.

Этот вывод справедлив и для более общего класса операторов. Унитарный оператор является нормальным . По спектральной теореме ограниченный оператор в гильбертовом пространстве H является нормальным тогда и только тогда, когда он эквивалентен (после отождествления H с пространством) оператору умножения . Можно показать, что приближенный точечный спектр ограниченного оператора умножения равен его спектру. ${\displaystyle L^{2}}$

Дискретный спектр

Дискретный спектр определяется как множество нормальных собственных значений или, что эквивалентно, как множество изолированных точек спектра, таких, что соответствующий проектор Рисса имеет конечный ранг. Таким образом, дискретный спектр является строгим подмножеством точечного спектра, т.е. ${\displaystyle \sigma _{d}(T)\subset \sigma _{p}(T).}$

Непрерывный спектр

Множество всех λ, для которых инъективно и имеет плотный диапазон, но не сюръективно, называется непрерывным спектром T , обозначаемым . Непрерывный спектр , таким образом, состоит из тех приближенных собственных значений, которые не являются собственными значениями и не лежат в остаточном спектре. То есть, ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathbb {c} }(T)}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {c} }(T)=\sigma _{\mathrm {ap} }(T)\setminus (\sigma _{\mathrm {r} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T))}$.

Например, , , , инъективно и имеет плотный диапазон, но . Действительно, если при таком, что , не обязательно иметь , и тогда . ${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle e_{j}\mapsto e_{j}/j}$ ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathrm {Ran} (A)\subsetneq l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\textstyle x=\sum _{j\in \mathbb {N} }c_{j}e_{j}\in l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle c_{j}\in \mathbb {C} }$ ${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }|c_{j}|^{2}<\infty }$ ${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }\left|jc_{j}\right|^{2}<\infty }$ ${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }jc_{j}e_{j}\notin l^{2}(\mathbb {N} )}$

Спектр сжатия

Множество для , для которого не имеет плотного диапазона, известно как спектр сжатия T и обозначается . ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)}$

Остаточный спектр

Множество для которого является инъективным, но не имеет плотного диапазона , известно как остаточный спектр T и обозначается как : ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)=\sigma _{\mathrm {cp} }(T)\setminus \sigma _{\mathrm {p} }(T).}$

Оператор может быть инъективным, даже ограниченным снизу, но все еще необратимым. Правый сдвиг на , , , является таким примером. Этот оператор сдвига является изометрией , поэтому ограничен снизу 1. Но он необратим, поскольку не является сюръективным ( ), и, более того, не плотен в ( ). ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\,j\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle e_{1}\not \in \mathrm {Ran} (R)}$ ${\displaystyle \mathrm {Ran} (R)}$ ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle e_{1}\notin {\overline {\mathrm {Ran} (R)}}}$

Периферийный спектр

Периферийный спектр оператора определяется как множество точек его спектра, имеющих модуль, равный его спектральному радиусу. ^[6]

Основной спектр

Существует пять подобных определений существенного спектра замкнутого плотно определенного линейного оператора, которые удовлетворяют ${\displaystyle A:\,X\to X}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)\subset \sigma (A).}$

Все эти спектры совпадают в случае самосопряженных операторов. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(A),\ 1\leq k\leq 5}$

1. Существенный спектр определяется как множество точек спектра, таких что не является полуфредгольмовым . (Оператор является полуфредгольмовым, если его область значений замкнута и его ядро ​​или коядро (или оба) конечномерны.) Пример 1: для оператора , (потому что область значений этого оператора не замкнута: область значений не включает все из , хотя его замыкание включает). Пример 2: для , для любого (потому что и ядро, и коядро этого оператора бесконечномерны). ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A-\lambda I}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$ ${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle A:\,e_{j}\mapsto e_{j}/j,~j\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(N)}$ ${\displaystyle N:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle N:\,v\mapsto 0}$ ${\displaystyle v\in l^{2}(\mathbb {N} )}$
2. Существенный спектр определяется как множество точек спектра, таких, что оператор либо имеет бесконечномерное ядро, либо имеет область значений, которая не замкнута. Его также можно охарактеризовать в терминах критерия Вейля : существует последовательность в пространстве X такая, что , и такая, что не содержит сходящейся подпоследовательности . Такая последовательность называется сингулярной последовательностью (или сингулярной последовательностью Вейля ). Пример: для оператора , если j четно и когда j нечетно (ядро бесконечномерно; коядро нульмерно). Обратите внимание, что . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A-\lambda I}$ ${\displaystyle (x_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \Vert x_{j}\Vert =1}$ ${\textstyle \lim _{j\to \infty }\left\|(A-\lambda I)x_{j}\right\|=0,}$ ${\displaystyle (x_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(B)}$ ${\displaystyle B:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle B:\,e_{j}\mapsto e_{j/2}}$ ${\displaystyle e_{j}\mapsto 0}$ ${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(B)}$
3. Существенный спектр определяется как множество точек спектра, таких что не является фредгольмовым . (Оператор фредгольмов, если его область значений замкнута, а его ядро ​​и коядро конечномерны.) Пример: для оператора , (ядро нульмерно, коядро бесконечномерно). Обратите внимание, что . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A-\lambda I}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(J)}$ ${\displaystyle J:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle J:\,e_{j}\mapsto e_{2j}}$ ${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(J)}$
4. Существенный спектр определяется как множество точек спектра, таких, что не является фредгольмовым с индексом ноль. Его также можно охарактеризовать как наибольшую часть спектра A , которая сохраняется компактными возмущениями. Другими словами, ; здесь обозначает множество всех компактных операторов на X . Пример: где — оператор сдвига вправо, , для (его ядро ​​равно нулю, его коядро одномерно). Обратите внимание, что . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A-\lambda I}$ ${\textstyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)=\bigcap _{K\in B_{0}(X)}\sigma (A+K)}$ ${\displaystyle B_{0}(X)}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(R)}$ ${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1}}$ ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(R)}$
5. Существенный спектр — это объединение со всеми компонентами , которые не пересекаются с резольвентным множеством . Его также можно охарактеризовать как . Пример: рассмотрим оператор , для , . Так как , то . Для любого с область значений плотна, но не замкнута, следовательно, граница единичного круга находится в первом типе существенного спектра: . Для любого с имеет замкнутую область значений, одномерное ядро ​​и одномерное коядро, поэтому хотя для ; таким образом, для . Существует два компонента : и . Компонента не имеет пересечения с резольвентным множеством; по определению, . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma (A)}$ ${\displaystyle \sigma (A)\setminus \sigma _{\mathrm {d} }(A)}$
   ${\displaystyle T:\,l^{2}(\mathbb {Z} )\to l^{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle T:\,e_{j}\mapsto e_{j-1}}$ ${\displaystyle j\neq 0}$ ${\displaystyle T:\,e_{0}\mapsto 0}$ ${\displaystyle \Vert T\Vert =1}$ ${\displaystyle \sigma (T)\subset {\overline {\mathbb {D} _{1}}}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle T-zI}$ ${\displaystyle \partial \mathbb {D} _{1}\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle T-zI}$ ${\displaystyle z\in \sigma (T)}$ ${\displaystyle z\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq 4}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)=\partial \mathbb {D} _{1}}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq 4}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$ ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\,|z|>1\}}$ ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\,|z|<1\}}$ ${\displaystyle \{|z|<1\}}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)=\sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)\cup \{z\in \mathbb {C} :\,|z|<1\}=\{z\in \mathbb {C} :\,|z|\leq 1\}}$

Пример: атом водорода

Атом водорода является примером различных типов спектров. Оператор Гамильтона атома водорода , , с областью имеет дискретный набор собственных значений (дискретный спектр , который в этом случае совпадает с точечным спектром , поскольку нет собственных значений, встроенных в непрерывный спектр), которые могут быть вычислены по формуле Ридберга . Их соответствующие собственные функции называются собственными состояниями , или связанными состояниями . Результат процесса ионизации описывается непрерывной частью спектра (энергия столкновения/ионизации не «квантуется»), представленной (она также совпадает с существенным спектром ). ^{[ требуется цитата ] [ требуется пояснение ]} ${\displaystyle H=-\Delta -{\frac {Z}{|x|}}}$ ${\displaystyle Z>0}$ ${\displaystyle D(H)=H^{1}(\mathbb {R} ^{3})}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(H)}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(H)}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cont} }(H)=[0,+\infty )}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} }(H)=[0,+\infty )}$

Спектр сопряженного оператора

Пусть X — банахово пространство и замкнутый линейный оператор с плотной областью определения . Если X* — сопряженное пространство X , а — эрмитово сопряженное пространство T , то ${\displaystyle T:\,X\to X}$ ${\displaystyle D(T)\subset X}$ ${\displaystyle T^{*}:\,X^{*}\to X^{*}}$

${\displaystyle \sigma (T^{*})={\overline {\sigma (T)}}:=\{z\in \mathbb {C} :{\bar {z}}\in \sigma (T)\}.}$

Теорема  —  Для ограниченного (или, в более общем смысле, замкнутого и плотно определенного) оператора T ,

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)={\overline {\sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}}$.

В частности, . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)\subset {\overline {\sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}\subset \sigma _{\mathrm {r} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T)}$

Доказательство

Предположим, что не плотно в X. По теореме Хана–Банаха существует ненулевой элемент , который обращается в нуль на . Для всех x ∈ X , ${\displaystyle \mathrm {Ran} (T-\lambda I)}$ ${\displaystyle \varphi \in X^{*}}$ ${\displaystyle \mathrm {Ran} (T-\lambda I)}$

${\displaystyle \langle \varphi ,(T-\lambda I)x\rangle =\langle (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi ,x\rangle =0.}$

Следовательно, и является собственным значением T* . ${\displaystyle (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi =0\in X^{*}}$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$

Наоборот, предположим, что является собственным значением T* . Тогда существует ненулевое значение, такое что , т.е. ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$ ${\displaystyle \varphi \in X^{*}}$ ${\displaystyle (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi =0}$

${\displaystyle \forall x\in X,\;\langle (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi ,x\rangle =\langle \varphi ,(T-\lambda I)x\rangle =0.}$

Если плотно в X , то φ должен быть нулевым функционалом, противоречие. Утверждение доказано. ${\displaystyle \mathrm {Ran} (T-\lambda I)}$

Мы также получаем с помощью следующего аргумента: X изометрически вкладывается в X** . Следовательно, для каждого ненулевого элемента в ядре существует ненулевой элемент в X** , который исчезает на . Таким образом, не может быть плотным. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(T)\subset {\overline {\sigma _{\mathrm {r} }(T^{*})\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \mathrm {Ran} (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)}$ ${\displaystyle \mathrm {Ran} (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)}$

Более того, если X рефлексивен, то имеем . ${\displaystyle {\overline {\sigma _{\mathrm {r} }(T^{*})}}\subset \sigma _{\mathrm {p} }(T)}$

Спектры отдельных классов операторов

Компактные операторы

Если T — компактный оператор или, в более общем случае, несущественный оператор , то можно показать, что спектр счетен, что ноль — единственная возможная точка накопления и что любое ненулевое λ в спектре является собственным значением.

Квазинильпотентные операторы

Ограниченный оператор является квазинильпотентным, если as (другими словами, если спектральный радиус A равен нулю). Такие операторы можно было бы эквивалентно охарактеризовать условием ${\displaystyle A:\,X\to X}$ ${\displaystyle \lVert A^{n}\rVert ^{1/n}\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle \sigma (A)=\{0\}.}$

Примером такого оператора является , для . ${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle e_{j}\mapsto e_{j+1}/2^{j}}$ ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$

Самосопряженные операторы

Если X — гильбертово пространство , а T — самосопряженный оператор (или, в более общем смысле, нормальный оператор ), то замечательный результат, известный как спектральная теорема, дает аналог теоремы о диагонализации для нормальных конечномерных операторов (например, эрмитовых матриц).

Для самосопряженных операторов можно использовать спектральные меры , чтобы определить разложение спектра на абсолютно непрерывную, чисто точечную и сингулярную части.

Спектр реального оператора

Определения резольвенты и спектра можно распространить на любой непрерывный линейный оператор, действующий в банаховом пространстве над действительным полем (вместо комплексного поля ) посредством его комплексификации . В этом случае мы определяем резольвентное множество как множество всех таких , что обратимо как оператор, действующий в комплексифицированном пространстве ; затем мы определяем . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \rho (T)}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T_{\mathbb {C} }-\lambda I}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \sigma (T)=\mathbb {C} \setminus \rho (T)}$

Реальный спектр

Действительный спектр непрерывного линейного оператора, действующего в действительном банаховом пространстве , обозначаемый , определяется как множество всех для которых не является обратимым в действительной алгебре ограниченных линейных операторов, действующих в . В этом случае имеем . Отметим, что действительный спектр может совпадать или не совпадать с комплексным спектром. В частности, действительный спектр может быть пустым. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathbb {R} }(T)}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (T)\cap \mathbb {R} =\sigma _{\mathbb {R} }(T)}$

Спектр унитальной банаховой алгебры

Пусть B — комплексная банахова алгебра, содержащая единицу e . Тогда мы определяем спектр σ ( x ) (или, более явно, σ _B ( x )) элемента x из B как множество тех комплексных чисел λ, для которых λe  −  x необратим в B . Это расширяет определение для ограниченных линейных операторов B ( X ) в банаховом пространстве X , поскольку B ( X ) — унитальная банахова алгебра.

Смотрите также

• Основной спектр
• Дискретный спектр (математика)
• Самосопряженный оператор
• Псевдоспектр
• Резольвентный набор

Примечания

1. Крейсциг, Эрвин. Вводный функциональный анализ с приложениями .
2. Теорема 3.3.3 Кадисона и Рингроуза, 1983, Основы теории операторных алгебр, т. I: Элементарная теория , Нью-Йорк: Academic Press, Inc.
3. «Непустое пересечение между приближенным точечным спектром и остаточным спектром».
4. Тешль 2014, стр. 115.
5. Саймон 2005, стр. 44.
6. Заанен, Адриан К. (2012). Введение в теорию операторов в пространствах Рисса. Springer Science & Business Media. стр. 304. ISBN 9783642606373. Получено 8 сентября 2017 г. .

Ссылки

• Дейлс и др., Введение в банаховы алгебры, операторы и гармонический анализ , ISBN 0-521-53584-0 
• «Спектр оператора», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Саймон, Барри (2005). Ортогональные многочлены на единичной окружности. Часть 1. Классическая теория . Публикации коллоквиума Американского математического общества. Том 54. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-3446-6. МР  2105088.
• Тешль, Г. (2014). Математические методы в квантовой механике . Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-1704-8.