Правильная выпуклая функция

В математическом анализе , в частности в таких областях, как выпуклый анализ и оптимизация , правильной выпуклой функцией называется расширенная вещественная выпуклая функция с непустой областью определения , которая никогда не принимает значения и также не является тождественно равной ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty .}$

В выпуклом анализе и вариационном анализе обычно ищется точка (в области), в которой некоторая заданная функция минимизируется, где имеет значение в расширенной числовой прямой ^[1] Такая точка, если она существует, называется точкой глобального минимума функции, а ее значение в этой точке называется глобальным минимумом ( значением ) функции. Если функция принимает в качестве значения, то обязательно является глобальным минимальным значением, и задача минимизации может быть решена; в конечном счете, это причина, по которой определение « собственной » требует, чтобы функция никогда не принимала в качестве значения. Предполагая это, если область функции пуста или если функция тождественно равна, то задача минимизации снова имеет немедленный ответ. Расширенная вещественная функция, для которой задача минимизации не решается ни одним из этих трех тривиальных случаев, — это как раз те, которые называются собственнными . Многие (хотя и не все) результаты, гипотезы которых требуют, чтобы функция была собственнной, добавляют это требование специально для исключения этих тривиальных случаев. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}.}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$

Если же проблема — это проблема максимизации (что было бы ясно указано, например, тем, что функция вогнутая , а не выпуклая), то определение « собственной » определяется аналогичным (хотя и технически иным) образом, но с той же целью: исключить случаи, когда на проблему максимизации можно ответить немедленно. В частности, вогнутая функция называется собственной, если ее отрицание , являющееся выпуклой функцией, является собственной в смысле, определенном выше. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle -g,}$

Определения

Предположим, что — функция, принимающая значения на расширенной числовой прямой. Если — выпуклая функция или ищется точка минимума , то называется собственной , если ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)>-\infty }$     для каждого ${\displaystyle x\in X}$

и если также существует некоторая точка такая, что ${\displaystyle x_{0}\in X}$

${\displaystyle f\left(x_{0}\right)<+\infty .}$

То есть функция является правильной , если она никогда не достигает значения и ее эффективная область непуста. ^[2] Это означает, что существует такое значение , при котором и также никогда не равно Выпуклые функции, которые не являются правильными, называются неправильными выпуклыми функциями. ^[3] ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -\infty .}$

Собственно вогнутая функция по определению — это любая функция, такая что является собственно выпуклой функцией. Явно, если является вогнутой функцией или если ищется точка максимума , то называется собственно, если ее область определения не пуста, она никогда не принимает значение и не тождественно равна ${\displaystyle g:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle f:=-g}$ ${\displaystyle g:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle +\infty ,}$ ${\displaystyle -\infty .}$

Характеристики

Для каждой правильной выпуклой функции существуют некоторые и такие, что ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to [-\infty ,\infty ],}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)\geq x\cdot b-r}$

для каждого ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

Сумма двух собственных выпуклых функций является выпуклой, но не обязательно собственной. ^[4] Например, если множества и являются непустыми выпуклыми множествами в векторном пространстве , то характеристические функции и являются собственными выпуклыми функциями, но если то тождественно равно ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle B\subset X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle I_{A}}$ ${\displaystyle I_{B}}$ ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ ${\displaystyle I_{A}+I_{B}}$ ${\displaystyle +\infty .}$

Инфинимальная свертка двух правильно выпуклых функций является выпуклой, но не обязательно правильно выпуклой. ^[5]

Смотрите также

• Эффективный домен

Цитаты

1. Рокафеллар и Ветс 2009, стр. 1–28.
2. Aliprantis, CD; Border, KC (2007). Анализ бесконечных измерений: Путеводитель для путешествующих автостопом (3-е изд.). Springer. стр. 254. doi :10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0.
3. Рокафеллар, Р. Тиррелл (1997) [1970]. Выпуклый анализ . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. стр. 24. ISBN 978-0-691-01586-6.
4. Бойд, Стивен (2004). Выпуклая оптимизация . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. стр. 79. ISBN 978-0-521-83378-3.
5. Иоффе, Александр Давидович; Тихомиров, Владимир Михайлович (2009), Теория экстремальных задач, Исследования по математике и ее приложениям, т. 6, Северная Голландия, стр. 168, ISBN 9780080875279.

Ссылки

• Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уэтс, Роджер Ж.-Б. (26 июня 2009 г.). Вариационный анализ . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 317. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. OCLC  883392544.