Математическая нотация

Система символического представления

Математическая нотация состоит из использования символов для представления операций , неопределенных чисел , отношений и любых других математических объектов и объединения их в выражения и формулы . Математическая нотация широко используется в математике , науке и технике для представления сложных концепций и свойств в краткой, недвусмысленной и точной форме.

Например, формула физика Альберта Эйнштейна является количественным представлением в математической нотации эквивалентности массы и энергии . ^[1] ${\displaystyle E=mc^{2}}$

Математическая нотация была впервые введена Франсуа Виетом в конце XVI века и значительно расширена в XVII и XVIII веках Рене Декартом , Исааком Ньютоном , Готфридом Вильгельмом Лейбницем и в целом Леонардом Эйлером .

Символы

Использование множества символов является основой математической нотации. Они играют ту же роль, что и слова в естественных языках . Они могут играть разные роли в математической нотации, подобно тому, как глаголы, прилагательные и существительные играют разные роли в предложении.

Буквы как символы

Буквы обычно используются для наименования — на математическом жаргоне , как говорят, представления — математических объектов . Латинский и греческий алфавиты используются широко, но несколько букв других алфавитов также используются спорадически, например, еврейский ⁠ ⁠ ${\displaystyle \aleph }$ , кириллица Ø и хирагана よ. Прописные и строчные буквы считаются разными символами. Для латинского алфавита разные шрифты также предоставляют разные символы. Например, и теоретически могут появляться в одном и том же математическом тексте с шестью разными значениями. Обычно прямой римский шрифт не используется для символов, за исключением символов, представляющих стандартную функцию, например, символа " " синусоидальной функции . ^[2] ${\displaystyle r,R,\mathbb {R} ,{\mathcal {R}},{\mathfrak {r}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle \sin }$

Для того , чтобы иметь больше символов, и для того, чтобы позволить связанным математическим объектам быть представленными связанными символами, часто используются диакритические знаки , нижние и верхние индексы . Например, может обозначать преобразование Фурье производной функции , называемой ${\displaystyle {\hat {f'_{1}}}}$ ${\displaystyle f_{1}.}$

Другие символы

Символы используются не только для обозначения математических объектов. Они могут использоваться для операций , для отношений , для логических связок , для квантификаторов и для других целей. ${\displaystyle (+,-,/,\oplus ,\ldots ),}$ ${\displaystyle (=,<,\leq ,\sim ,\equiv ,\ldots ),}$ ${\displaystyle (\implies ,\land ,\lor ,\ldots ),}$ ${\displaystyle (\forall ,\exists ),}$

Некоторые символы похожи на латинские или греческие буквы, некоторые получены путем деформации букв, некоторые являются традиционными типографскими символами , но многие были специально разработаны для математики.

Выражения

Выражение — это конечная комбинация символов , которая правильно сформирована в соответствии с правилами, зависящими от контекста. В общем, выражение обозначает или именует математический объект и, следовательно, играет в языке математики роль именной группы в естественном языке.

Выражение часто содержит некоторые операторы и, следовательно, может быть оценено действием операторов в нем. Например, — это выражение, в котором оператор может быть оценен для получения результата So, и — это два разных выражения, которые представляют одно и то же число. В этом смысл равенства ${\displaystyle 3+2}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle 5.}$ ${\displaystyle 3+2}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle 3+2=5.}$

Более сложный пример дает выражение , которое можно вычислить как Хотя полученное выражение содержит операторы деления , вычитания и возведения в степень , его нельзя вычислить дальше, поскольку a и b обозначают неопределенные числа. ${\textstyle \int _{a}^{b}xdx}$ ${\textstyle {\frac {b^{2}}{2}}-{\frac {a^{2}}{2}}.}$

История

Числа

Считается, что нотация для представления чисел была впервые разработана по крайней мере 50 000 лет назад ^[3] — ранние математические идеи, такие как счет по пальцам ^[4], также были представлены коллекциями камней, палок, костей, глины, камня, резьбы по дереву и веревок с узлами. Счетная палка — это способ счета, восходящий к верхнему палеолиту . Возможно, самые старые известные математические тексты принадлежат древнему Шумеру . Перепись населения Кипу в Андах и Ишанго Боун из Африки использовали метод счетных меток для учета числовых понятий.

Понятие нуля и введение нотации для него являются важными разработками в ранней математике, которая на столетия предшествовала понятию нуля как числа. Оно использовалось в качестве заполнителя вавилонянами и греками - египтянами , а затем как целое число майя , индийцами и арабами (см. историю нуля ).

Современная нотация

До XVI века математика была по сути риторической , в том смысле, что все, кроме явных чисел, выражалось словами. Однако некоторые авторы, такие как Диофант, использовали некоторые символы в качестве сокращений.

Первое систематическое использование формул, и в частности использование символов ( переменных ) для неопределенных чисел, обычно приписывается Франсуа Виету (16 век). Однако он использовал другие символы, чем те, которые сейчас являются стандартными.

Позднее Рене Декарт (17 век) ввел современные обозначения для переменных и уравнений ; в частности, использование для неизвестных величин и для известных ( констант ). Он также ввел обозначение i и термин «мнимая» для мнимой единицы . ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle a,b,c}$

В XVIII и XIX веках произошла стандартизация математических обозначений, используемых сегодня. Леонард Эйлер был ответственен за многие из обозначений, используемых в настоящее время: функциональное обозначение e для основания натурального логарифма, для суммирования и т. д. ^[5] Он также популяризировал использование π для постоянной Архимеда (предложенной Уильямом Джонсом на основе более ранней записи Уильяма Отреда ). ^[6] ${\displaystyle f(x),}$ ${\textstyle \sum }$

С тех пор было введено много новых обозначений, часто специфичных для определенной области математики. Некоторые обозначения названы в честь их изобретателей, например, обозначение Лейбница , символ Лежандра , соглашение о суммировании Эйнштейна и т. д.

Набор текста

Общие системы набора текста , как правило, не очень подходят для математической нотации. Одна из причин заключается в том, что в математической нотации символы часто располагаются в двумерных фигурах, например:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{n}}{n!}}.}$

TeX — это математически ориентированная система набора текста, созданная в 1978 году Дональдом Кнутом . Она широко используется в математике через свое расширение LaTeX и является фактическим стандартом. (Вышеприведенное выражение написано на LaTeX.)

Совсем недавно появился еще один подход к математическому набору текста — MathML . Однако он не очень хорошо поддерживается в веб-браузерах, которые являются его основной целью.

Международный стандарт математической нотации

Международный стандарт ISO 80000-2 (ранее ISO 31-11 ) определяет символы для использования в математических уравнениях. Стандарт требует использования курсивных шрифтов для переменных (например, E = mc ² ) и римских (прямых) шрифтов для математических констант (например, e или π).

Математическая нотация, не основанная на латинице

Современная арабская математическая нотация основана в основном на арабском алфавите и широко используется в арабском мире , особенно в довузовском образовании . (В западной нотации используются арабские цифры , но арабская нотация также заменяет латинские буквы и связанные с ними символы арабской вязью.)

В дополнение к арабской нотации, математика также использует греческие буквы для обозначения широкого спектра математических объектов и переменных. В некоторых случаях используются также некоторые еврейские буквы (например, в контексте бесконечных кардиналов ).

Некоторые математические обозначения в основном диаграммные, и поэтому почти полностью независимы от скрипта. Примерами являются графические обозначения Пенроуза и диаграммы Коксетера–Дынкина .

Математические обозначения на основе шрифта Брайля, используемые слепыми людьми, включают шрифт Брайля Немета и шрифт Брайля GS8 .

Смотрите также

• Злоупотребление нотацией
• Begriffsschrift
• Словарь математических символов
  • Символ опасного изгиба Бурбаки
• История математической нотации
• ИСО 31-11
• ИСО 80000-2
• Обозначение Кнута со стрелкой вверх
• Математические буквенно-цифровые символы
• Математическая формула
• Обозначения в теории вероятности и статистике
• Язык математики
• Научная нотация
• Семасиография
• Таблица математических символов
• Векторная нотация
• Современная арабская математическая нотация

Ссылки

1. Эйнштейн, Альберт (1905). «Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?». Аннален дер Физик (на немецком языке). 323 (13): 639–641. дои : 10.1002/andp.19053231314. ISSN  0003-3804.
2. ИСО 80000-2:2019
3. Ивс, Говард (1990). Введение в историю математики (6-е изд.). С. 9. ISBN 978-0-03-029558-4.
4. Ифра, Жорж (2000). Всеобщая история чисел: от доисторических времен до изобретения компьютера . Перевод: Беллос, Дэвид; Хардинг, Э. Ф.; Вуд, Софи; Монк, Ян. John Wiley and Sons . стр. 48. ISBN 0-471-39340-1.(Примечание. Ифра подкрепляет свой тезис цитатами из идиоматических фраз из языков по всему миру. Он отмечает, что люди научились считать на руках. Он показывает, например, изображение Боэция (жившего в 480–524 или 525 годах), считающего на пальцах.)
5. Бойер, Карл Бенджамин ; Мерцбах, Ута С. (1991). История математики. John Wiley & Sons . стр. 442–443. ISBN 978-0-471-54397-8.
6. Арндт, Йорг; Хенель, Кристоф (2006). Пи на свободе. Спрингер-Верлаг . п. 166. ИСБН 978-3-540-66572-4.

Дальнейшее чтение

• Флориан Каджори , История математических обозначений (1929), 2 тома. ISBN 0-486-67766-4 
• Мазур, Джозеф (2014), Просветляющие символы: краткая история математической нотации и ее скрытых сил. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-15463-3 

Внешние ссылки

• Раннее использование различных математических символов
• Математическая нотация ASCII. Как набирать математические обозначения в любом текстовом редакторе.
• Математика как язык в Cut-the-Knot
• Стивен Вольфрам : Математическая нотация: прошлое и будущее. Октябрь 2000 г. Стенограмма основного доклада, представленного на MathML и математика в Интернете: MathML International Conference.