Согласованная система единиц — это система единиц измерения, используемая для выражения физических величин, которые определены таким образом, что уравнения, связывающие числовые значения, выраженные в единицах системы, имеют точно такую же форму, включая числовые множители, как и соответствующие уравнения, напрямую связывающие величины. [1] [2] Это система, в которой каждая величина имеет уникальную единицу, или система, в которой не используются коэффициенты пересчета . [3]
Когерентная производная единица — это производная единица , которая для данной системы величин и для выбранного набора основных единиц является произведением степеней основных единиц, причем коэффициент пропорциональности равен единице. [1]
Если система величин имеет уравнения, связывающие величины, а связанная с ней система единиц имеет соответствующие основные единицы, причем для каждой основной величины существует только одна единица, то она является когерентной тогда и только тогда, когда каждая производная единица системы является когерентной.
Концепция когерентности была разработана в середине девятнадцатого века, среди прочих, Кельвином и Джеймсом Клерком Максвеллом и продвигалась Британской научной ассоциацией . Концепция была первоначально применена к системе единиц сантиметр-грамм-секунда (CGS) в 1873 году и к системе единиц фут-фунт-секунда (FPS) в 1875 году. Международная система единиц (СИ) была разработана в 1960 году вокруг принципа когерентности.
В системе СИ производная единица м/с является когерентной производной единицей для скорости или скорости [4] : 139 , но км / ч не является когерентной производной единицей. Скорость или скорость определяется изменением расстояния, деленным на изменение времени. Производная единица м/с использует основные единицы системы СИ. [1] Производная единица км/ч требует числовых коэффициентов для связи с основными единицами СИ:1000 м/км и3600 с/ч .
В системе СГС м/с не является когерентной производной единицей. Числовой множительДля выражения м/с в системе СГС необходимо 100 см/м .
Самые ранние единицы измерения, придуманные человечеством, не имели никакой связи друг с другом. [ требуется ссылка ] Поскольку и понимание человечеством философских концепций , и организация общества развивались, единицы измерения были стандартизированы — сначала отдельные единицы измерения имели одинаковое значение во всем сообществе , затем различным единицам одной и той же величины (например, футам и дюймам) была дана фиксированная связь. За исключением Древнего Китая , где единицы емкости и массы были связаны с семенами красного проса , существует мало свидетельств связи различных величин до эпохи Просвещения . [5]
История измерения длины восходит к ранней цивилизации Ближнего Востока (10000 до н. э. – 8000 до н. э.). Археологи смогли реконструировать единицы измерения, использовавшиеся в Месопотамии , Индии , еврейской культуре и многих других. Археологические и другие свидетельства показывают, что во многих цивилизациях соотношения между различными единицами для одного и того же количества меры были скорректированы таким образом, чтобы они были целыми числами. Во многих ранних культурах, таких как Древний Египет , не всегда использовались кратные 2, 3 и 5 — египетский царский локоть составлял 28 пальцев или 7 рук . [6] В 2150 году до нашей эры аккадский император Нарам-Суэн рационализировал вавилонскую систему мер, скорректировав соотношения многих единиц измерения до кратных 2, 3 или 5, например, в шу-си ( пальце ) было 6 ше ( ячменных зерен ), а в куше ( локте ) — 30 шу-си . [7]
Несоизмеримые величины имеют разные физические измерения , что означает, что их добавление или вычитание не имеет смысла. Например, добавление массы объекта к его объему не имеет физического смысла. Однако новые величины (и, как таковые, единицы) могут быть получены путем умножения и возведения в степень других единиц. Например, единицей СИ для силы является ньютон , который определяется как кг⋅м⋅с −2 . Поскольку когерентная производная единица — это та, которая определяется посредством умножения и возведения в степень других единиц, но не умножается ни на какой масштабный коэффициент, кроме 1, паскаль является когерентной единицей давления (определяется как кг⋅м −1 ⋅с −2 ), но бар (определяется как100 000 кг⋅м −1 ⋅с −2 ) не является.
Обратите внимание, что когерентность данной единицы зависит от определения базовых единиц. Если стандартная единица длины изменится так, что она станет короче на фактор100 000 , то бар будет когерентной производной единицей. Однако когерентная единица остается когерентной (а некогерентная единица остается некогерентной), если базовые единицы переопределяются в терминах других единиц с числовым множителем, всегда равным единице.
Концепция когерентности была введена в метрическую систему только в третьей четверти девятнадцатого века; в своей первоначальной форме метрическая система была некогерентной — в частности, литр был равен 0,001 м3 , а ар (откуда мы получаем гектар ) был равен 100 м2 . Однако предшественник концепции когерентности присутствовал в том, что единицы массы и длины были связаны друг с другом через физические свойства воды, грамм был разработан как масса одного кубического сантиметра воды при ее температуре замерзания. [8]
Система СГС имела две единицы энергии: эрг , которая была связана с механикой , и калория , которая была связана с тепловой энергией , поэтому только одна из них (эрг, эквивалентный г⋅см 2 /с 2 ) могла иметь когерентную связь с базовыми единицами. Напротив, когерентность была целью разработки СИ, в результате чего была определена только одна единица энергии – джоуль . [ 9]
Каждый вариант метрической системы имеет определенную степень согласованности — различные производные единицы напрямую связаны с базовыми единицами без необходимости промежуточных коэффициентов преобразования. [1] Дополнительным критерием является то, что, например, в согласованной системе единицы силы , энергии и мощности выбираются таким образом, чтобы уравнения
придерживаться без введения постоянных множителей. После того, как набор когерентных единиц был определен, другие соотношения в физике, которые используют эти единицы, будут автоматически верны — уравнение массы и энергии Эйнштейна , E = mc 2 , не требует посторонних констант, когда выражается в когерентных единицах. [10]
Айзек Азимов писал: «В системе СГС единичная сила описывается как сила, которая создаст ускорение 1 см/сек2 при массе 1 г. Следовательно, единичная сила равна 1 см/сек2 , умноженному на 1 г». [11] Это независимые утверждения. Первое является определением; второе — нет. Первое подразумевает, что константа пропорциональности в законе силы имеет величину, равную единице; второе подразумевает, что она безразмерна. Азимов использует их оба вместе, чтобы доказать, что это чистое число один.
Вывод Азимова не является единственно возможным. В системе, которая использует единицы фут (ft) для длины, секунду (s) для времени, фунт (lb) для массы и фунт-силу (lbf) для силы, закон, связывающий силу ( F ), массу ( m ) и ускорение ( a ), имеет вид F = 0,031081 ma . Поскольку константа пропорциональности здесь безразмерна, а единицы в любом уравнении должны уравновешиваться без какого-либо числового множителя, кроме единицы, то отсюда следует, что 1 lbf = 1 lb⋅ft/s 2 . Этот вывод кажется парадоксальным с точки зрения конкурирующих систем, согласно которым F = ma и 1 lbf = 32,174 lb⋅ft/s 2 . Хотя фунт-сила является когерентной производной единицей в этой системе согласно официальному определению, сама система не считается когерентной из-за наличия константы пропорциональности в законе силы.
Вариант этой системы применяет единицу с2 / фут к константе пропорциональности. Это приводит к отождествлению фунта-силы с фунтом. Фунт тогда является как базовой единицей массы, так и последовательной производной единицей силы. К константе пропорциональности можно применить любую единицу по своему усмотрению. Если к ней применить единицу с2 / фунт, то фут станет единицей силы. В четырехединичной системе ( английские инженерные единицы ) фунт и фунт-сила являются различными базовыми единицами, а константа пропорциональности имеет единицу фунт-сила⋅с2 / (фунт⋅фут). [12] [13]
Все эти системы являются когерентными. Одной из них является трехединичная система (также называемая английскими инженерными единицами), в которой F = ma , которая использует фунт и фунт-силу, одна из которых является базовой единицей, а другая — некогерентной производной единицей. Вместо явной константы пропорциональности эта система использует коэффициенты преобразования, полученные из соотношения 1 фунт-сила = 32,174 фунт-фут/с 2 . В численных расчетах она неотличима от четырехединичной системы, поскольку то, что является константой пропорциональности в последней, является коэффициентом преобразования в первой. Соотношение между числовыми значениями величин в законе силы равно { F } = 0,031081 { m } { a }, где фигурные скобки обозначают числовые значения заключенных величин. В отличие от этой системы, в когерентной системе соотношения между числовыми значениями величин такие же, как и соотношения между самими величинами.
Следующий пример касается определений величин и единиц. (Средняя) скорость ( v ) объекта определяется как количественное физическое свойство объекта, которое прямо пропорционально расстоянию ( d ), пройденному объектом, и обратно пропорционально времени ( t ) перемещения, т. е. v = kd / t , где k — константа, зависящая от используемых единиц. Предположим, что метр (м) и секунда (с) являются базовыми единицами; тогда километр (км) и час (ч) являются некогерентными производными единицами. Метр в секунду (м/с) определяется как скорость объекта, который проходит один метр за одну секунду, а километр в час (км/ч) определяется как скорость объекта, который проходит один километр за один час. Подставляя определения единиц в определяющее уравнение скорости, получаем 1 м/с = к м/с и 1 км/ч = к км/ч = 1/3,6 к м/с = 1/3,6 м/с. Теперь выберем k = 1; тогда метр в секунду будет когерентной производной единицей, а километр в час — некогерентной производной единицей. Предположим, что мы решили использовать километр в час в качестве единицы скорости в системе. Тогда система станет некогерентной, и численное уравнение значения скорости станет { v } = 3,6 { d }/{ t }. Когерентность можно восстановить, не меняя единиц, выбрав k = 3,6; тогда километр в час будет когерентной производной единицей, при этом 1 км/ч = 1 м/с, а метр в секунду — некогерентной производной единицей, при этом 1 м/с = 3,6 м/с.
Определение физической величины — это утверждение, которое определяет отношение любых двух экземпляров величины. Указание значения любого постоянного фактора не является частью определения, поскольку оно не влияет на отношение. Определение скорости выше удовлетворяет этому требованию, поскольку оно подразумевает, что v 1 / v 2 = ( d 1 / d 2 )/( t 1 / t 2 ); таким образом, если определены отношения расстояний и времен, то также определяется и отношение скоростей. Определение единицы физической величины — это утверждение, которое определяет отношение любого экземпляра величины к единице. Это отношение является числовым значением величины или числом единиц, содержащихся в величине. Определение метра в секунду выше удовлетворяет этому требованию, поскольку оно вместе с определением скорости подразумевает, что v / mps = ( d / m)/( t / s); таким образом, если определены отношения расстояния и времени к их единицам, то также определяется и отношение скорости к ее единице. Определение само по себе неадекватно, поскольку оно определяет соотношение только в одном конкретном случае; его можно рассматривать как демонстрацию образца единицы.
Новая когерентная единица не может быть определена просто путем ее алгебраического выражения в терминах уже определенных единиц. Таким образом, утверждение «метр в секунду равен одному метру, деленному на одну секунду» само по себе не является определением. Оно не подразумевает, что определяется единица скорости, и если этот факт добавляется, он не определяет величину единицы, поскольку она зависит от системы единиц. Для того чтобы это стало надлежащим определением, должны быть указаны как величина, так и определяющее уравнение, включая значение любого постоянного фактора. Однако после того, как единица была определена таким образом, она имеет величину, которая не зависит от любой системы единиц.
В этом списке перечислены согласованные отношения в различных системах единиц.
Ниже приведен список величин с соответствующими им когерентными единицами СИ:
Ниже приведен список единиц согласованной системы сантиметр-грамм-секунда (СГС):
Ниже приведен список последовательных единиц системы фут-фунт-секунда (FPS):
{{citation}}: CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )