В математике векторный поток относится к набору тесно связанных понятий потока, определяемого векторным полем . Они появляются в ряде различных контекстов, включая дифференциальную топологию , риманову геометрию и теорию групп Ли . Эти связанные концепции рассматриваются в ряде статей:
Соответствующие понятия: (поток, бесконечно малый генератор, интегральная кривая, полное векторное поле).
Пусть V — гладкое векторное поле на гладком многообразии M. Существует единственный максимальный поток D → M , бесконечно малым генератором которого является V . Здесь D ⊆ R × M — область течения . Для каждого p ∈ M отображение Dp → M является единственной максимальной интегральной кривой V , начинающейся в p .
Глобальный поток — это поток , областью которого является весь размер R × M. Глобальные потоки определяют плавные действия R на M. Векторное поле является полным , если оно порождает глобальный поток. Каждое гладкое векторное поле на компактном многообразии без края полно.
Соответствующие понятия: (геодезическая, экспоненциальная карта, радиус инъективности).
Векторный поток можно рассматривать как решение системы дифференциальных уравнений, индуцированной векторным полем. То есть, если (консервативное) векторное поле представляет собой отображение касательного пространства, оно представляет касательные векторы к некоторой функции в каждой точке. Разбивая касательные векторы на производные по направлениям, можно решить полученную систему дифференциальных уравнений и найти функцию. В этом смысле функция является потоком и одновременно индуцирует и индуцирует векторное поле.
С точки зрения скорости изменения i-й компоненты относительно параметризации потока («насколько поток подействовал») описывается i-й компонентой поля. То есть, если параметризовать с помощью L «длины вдоль пути потока», по мере продвижения вдоль потока на dL первый компонент положения изменяется, как описано первым компонентом векторного поля в начальной точке, и аналогичным образом для всех остальных компонентов.
Экспоненциальная карта
определяется как exp( X ) = γ(1), где γ : I → M — единственная геодезическая, проходящая через p в точке 0, и касательный вектор которой в точке 0 равен X . Здесь I — максимальный открытый интервал R , для которого определена геодезическая.
Пусть M — псевдориманово многообразие (или любое многообразие с аффинной связностью ) и пусть p — точка в M. Тогда для каждого V в T p M существует единственная геодезическая γ : I → M , для которой γ(0) = p , и пусть D p — подмножество T p M , для которого 1 лежит в I .
Соответствующие понятия: (экспоненциальное отображение, генератор бесконечно малых величин, группа с одним параметром).
Каждое левоинвариантное векторное поле в группе Ли полно. Интегральная кривая, начинающаяся с единицы, является однопараметрической подгруппой G . Есть соответствие один в один
Пусть G — группа Ли, а g — ее алгебра Ли. Экспоненциальное отображение — это отображение exp : g → G , заданное выражением exp( X ) = γ(1), где γ — интегральная кривая, начинающаяся с единицы в G , порожденная X .
