Соленоид

Тип электромагнита, образованного катушкой провода

Иллюстрация соленоида

Магнитное поле, создаваемое семивитковым соленоидом (поперечный разрез), описываемое с помощью линий поля

Демонстрация магнитного поля с помощью изолированного провода в форме соленоида и железных опилок

Соленоид ( / ˈ s oʊ l ə n ɔɪ d / [ ^1] ) — тип электромагнита, образованного спиральной катушкой провода , длина которой существенно больше ее диаметра, ^[2] который генерирует контролируемое магнитное поле . Катушка может создавать однородное магнитное поле в объеме пространства, когда через нее проходит электрический ток .

Андре-Мари Ампер ввел термин «соленоид» в 1823 году, придумав само устройство в 1820 году. ^[3] Французский термин, первоначально созданный Ампером, — solénoïde , который является французской транслитерацией греческого слова σωληνοειδὴς , что означает трубчатый .

Винтовая катушка соленоида не обязательно должна вращаться вокруг прямолинейной оси; например, электромагнит Уильяма Стерджена 1824 года состоял из соленоида, изогнутого в форме подковы (подобно дуговой пружине ).

Соленоиды обеспечивают магнитную фокусировку электронов в вакууме, особенно в телевизионных камерах, таких как видиконы и ортиконы изображения. Электроны движутся по спиральным траекториям в магнитном поле. Эти соленоиды, фокусирующие катушки, окружают почти всю длину трубки.

Физика

Бесконечный непрерывный соленоид

Рисунок 1: Бесконечный соленоид с тремя произвольными амперовыми петлями , обозначенными a , b и c . Интегрирование по пути c показывает, что магнитное поле внутри соленоида должно быть радиально однородным.

Бесконечный соленоид имеет бесконечную длину, но конечный диаметр. «Непрерывный» означает, что соленоид образован не дискретными катушками конечной ширины, а множеством бесконечно тонких катушек без пространства между ними; в этой абстракции соленоид часто рассматривается как цилиндрический лист проводящего материала.

Магнитное поле внутри бесконечно длинного соленоида однородно, и его напряженность не зависит ни от расстояния до оси, ни от площади поперечного сечения соленоида.

Это вывод плотности магнитного потока вокруг соленоида, который достаточно длинный, чтобы можно было игнорировать краевые эффекты. На рисунке 1 мы сразу знаем, что вектор плотности потока указывает в положительном направлении z внутри соленоида и в отрицательном направлении z снаружи соленоида. Мы подтверждаем это, применяя правило правой руки для поля вокруг провода. Если мы обхватим провод правой рукой, указав большим пальцем в направлении тока, изгиб пальцев покажет, как ведет себя поле. Поскольку мы имеем дело с длинным соленоидом, все компоненты магнитного поля, не направленные вверх, компенсируются симметрией. Снаружи происходит аналогичное погашение, и поле направлено только вниз.

Теперь рассмотрим воображаемую петлю c, которая находится внутри соленоида. По закону Ампера мы знаем, что линейный интеграл B (вектора плотности магнитного потока) вокруг этой петли равен нулю, поскольку она не охватывает никаких электрических токов (можно также предположить, что электрическое поле контура, проходящее через петлю, является постоянным при таких условиях: постоянный или постоянно изменяющийся ток через соленоид). Выше мы показали, что поле направлено вверх внутри соленоида, поэтому горизонтальные части петли c не вносят никакого вклада в интеграл. Таким образом, интеграл верхней стороны 1 равен интегралу нижней стороны 2. Поскольку мы можем произвольно изменять размеры петли и получать тот же результат, единственным физическим объяснением является то, что подынтегральные выражения фактически равны, то есть магнитное поле внутри соленоида является радиально однородным. Однако следует отметить, что ничто не запрещает ему изменяться в продольном направлении, что на самом деле и происходит.

Аналогичный аргумент можно применить к петле a, чтобы сделать вывод, что поле снаружи соленоида является радиально однородным или постоянным. Этот последний результат, который строго верен только вблизи центра соленоида, где линии поля параллельны его длине, важен, поскольку он показывает, что плотность потока снаружи практически равна нулю, поскольку радиусы поля снаружи соленоида будут стремиться к бесконечности. Интуитивный аргумент также можно использовать, чтобы показать, что плотность потока снаружи соленоида фактически равна нулю. Линии магнитного поля существуют только в виде петель, они не могут расходиться или сходиться в точке, как это могут делать линии электрического поля (см. закон Гаусса для магнетизма ). Линии магнитного поля следуют продольному пути соленоида внутри, поэтому они должны идти в противоположном направлении снаружи соленоида, чтобы линии могли образовывать петли. Однако объем снаружи соленоида намного больше объема внутри, поэтому плотность линий магнитного поля снаружи значительно уменьшается. Теперь вспомним, что поле снаружи постоянно. Для того чтобы общее число линий поля сохранялось, внешнее поле должно стремиться к нулю по мере удлинения соленоида. Конечно, если соленоид сконструирован как проволочная спираль (как часто делается на практике), то он излучает внешнее поле так же, как и одиночный провод, из-за тока, текущего по всей длине соленоида.

Как закон Ампера можно применить к соленоиду

Применив закон Ампера к соленоиду (см. рисунок справа), мы получаем

${\displaystyle Bl=\mu _{0}NI,}$

где - плотность магнитного потока , - длина соленоида, - магнитная постоянная , - число витков, - ток. Отсюда получаем ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle B=\mu _{0}{\frac {NI}{l}}.}$

Это уравнение справедливо для соленоида в свободном пространстве, что означает, что проницаемость магнитного пути такая же, как проницаемость свободного пространства, μ ₀ .

Если соленоид погрузить в материал с относительной проницаемостью μ _r , то поле увеличится на эту величину:

${\displaystyle B=\mu _{0}\mu _{\mathrm {r} }{\frac {NI}{l}}.}$

В большинстве соленоидов соленоид не погружен в материал с более высокой проницаемостью, а некоторая часть пространства вокруг соленоида имеет материал с более высокой проницаемостью, а часть представляет собой просто воздух (который ведет себя во многом как свободное пространство). В этом сценарии полный эффект материала с высокой проницаемостью не виден, но будет эффективная (или кажущаяся) проницаемость μ _eff такая, что 1 ≤  μ _eff  ≤  μ _r .

Включение ферромагнитного сердечника, например, железа , увеличивает величину магнитной индукции в соленоиде и повышает эффективную проницаемость магнитного пути. Это выражается формулой

${\displaystyle B=\mu _{0}\mu _{\mathrm {eff} }{\frac {NI}{l}}=\mu {\frac {NI}{l}},}$

где μ _eff — эффективная или кажущаяся проницаемость сердечника. Эффективная проницаемость является функцией геометрических свойств сердечника и его относительной проницаемости. Термины относительная проницаемость (свойство только материала) и эффективная проницаемость (свойство всей структуры) часто путают; они могут отличаться на много порядков величины.

Для открытой магнитной структуры соотношение между эффективной проницаемостью и относительной проницаемостью определяется следующим образом:

${\displaystyle \mu _{\mathrm {eff} }={\frac {\mu _{r}}{1+k(\mu _{r}-1)}},}$

где k — коэффициент размагничивания сердечника. ^[4]

Конечный непрерывный соленоид

Конечный соленоид — это соленоид с конечной длиной. Непрерывный означает, что соленоид образован не дискретными катушками, а листом проводящего материала. Мы предполагаем, что ток равномерно распределен по поверхности соленоида с поверхностной плотностью тока K ; в цилиндрических координатах : $${\displaystyle {\vec {K}}={\frac {I}{l}}{\hat {\phi }}.}$$

Магнитное поле можно найти с помощью векторного потенциала , который для конечного соленоида радиусом R и длиной l в цилиндрических координатах равен ^{[5] [6]} ${\displaystyle (\rho ,\phi ,z)}$ $${\displaystyle A_{\phi }={\frac {\mu _{0}I}{\pi }}{\frac {R}{l}}\left[{\frac {\zeta }{\sqrt {(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}}}\left({\frac {m+n-mn}{mn}}K(m)-{\frac {1}{m}}E(m)+{\frac {n-1}{n}}\Pi (n,m)\right)\right]_{\zeta _{-}}^{\zeta _{+}},}$$

Линии и плотность магнитного поля, создаваемые соленоидом с поверхностной плотностью тока

Где:

• ${\displaystyle \zeta _{\pm }=z\pm {\frac {l}{2}}}$,
• ${\displaystyle n={\frac {4R\rho }{(R+\rho )^{2}}}}$,
• ${\displaystyle m={\frac {4R\rho }{(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}}}$,
• ${\displaystyle K(m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$,
• ${\displaystyle E(m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}\,d\theta }$,
• ${\displaystyle \Pi (n,m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}}$.

Здесь , и — полные эллиптические интегралы первого, второго и третьего рода. ${\displaystyle K(m)}$ ${\displaystyle E(m)}$ ${\displaystyle \Pi (n,m)}$

С использованием:

$${\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}},}$$

Плотность магнитного потока получается как ^{[7] [8] [9]} $${\displaystyle B_{\rho }={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {1}{l\,\rho }}\left[{\sqrt {(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}}{\biggl (}(m-2)K(m)+2E(m){\biggr )}\right]_{\zeta _{-}}^{\zeta _{+}},}$$ $${\displaystyle B_{z}={\frac {\mu _{0}I}{2\pi }}{\frac {1}{l}}\left[{\frac {\zeta }{\sqrt {(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}}}\left(K(m)+{\frac {R-\rho }{R+\rho }}\Pi (n,m)\right)\right]_{\zeta _{-}}^{\zeta _{+}}.}$$

На оси симметрии радиальная составляющая обращается в нуль, а аксиальная составляющая поля равна Внутри соленоида, вдали от концов ( ), она стремится к постоянному значению . $${\displaystyle B_{z}={\frac {\mu _{0}NI}{2}}\left({\frac {z+l/2}{l{\sqrt {R^{2}+(z+l/2)^{2}}}}}-{\frac {z-l/2}{l{\sqrt {R^{2}+(z-l/2)^{2}}}}}\right).}$$ ${\displaystyle l/2-|z|\gg R}$ ${\displaystyle B=\mu _{0}NI/l}$

Оценка короткого соленоида

Для случая, когда радиус намного больше длины соленоида ( ), плотность магнитного потока через центр соленоида (в направлении z , параллельном длине соленоида, где катушка центрирована при z = 0) можно оценить как плотность потока одного круглого проводящего контура: ${\displaystyle R\gg l}$

${\displaystyle B_{z}\approx {\frac {\mu _{0}INR^{2}}{2{\sqrt {R^{2}+z^{2}}}^{3}}}}$

Нестандартные соленоиды

Примеры нерегулярных соленоидов: (a) разреженный соленоид, (b) соленоид с переменным шагом, (c) нецилиндрический соленоид.

В категории конечных соленоидов есть те, которые имеют редкую намотку с одним шагом, те, которые имеют редкую намотку с переменным шагом (соленоид с переменным шагом), и те, которые имеют переменные радиусы для разных петель (нецилиндрические соленоиды). Их называют нерегулярными соленоидами . Они нашли применение в различных областях, таких как редко намотанные соленоиды для беспроводной передачи энергии , ^{[10] [11]} соленоиды с переменным шагом для магнитно-резонансной томографии (МРТ), ^[12] и нецилиндрические соленоиды для других медицинских устройств. ^[13]

Расчет собственной индуктивности и емкости не может быть выполнен с использованием тех, которые используются для обычных соленоидов, т.е. плотно намотанными. Были предложены новые методы расчета для расчета собственной индуктивности ^[14] (коды доступны в ^[15] ) и емкости. ^[16] (коды доступны в ^[17] )

Индуктивность

Как показано выше, плотность магнитного потока внутри катушки практически постоянна и определяется выражением ${\displaystyle B}$

${\displaystyle B=\mu _{0}{\frac {NI}{l}},}$

где μ ₀ - магнитная постоянная , число витков, ток и длина катушки. Игнорируя концевые эффекты, полный магнитный поток через катушку получается путем умножения плотности потока на площадь поперечного сечения : ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \Phi =\mu _{0}{\frac {NIA}{l}}.}$

Объединяя это с определением индуктивности

${\displaystyle L={\frac {N\Phi }{I}},}$

индуктивность соленоида вычисляется как

${\displaystyle L=\mu _{0}{\frac {N^{2}A}{l}}.}$

Таблица индуктивности для коротких соленоидов с различными отношениями диаметра к длине была рассчитана Деллингером, Уиттмором и Улдом. ^[18]

Эту и индуктивность более сложных форм можно вывести из уравнений Максвелла . Для жестких катушек с воздушным сердечником индуктивность является функцией геометрии катушки и числа витков и не зависит от тока.

Аналогичный анализ применим к соленоиду с магнитным сердечником, но только если длина катушки намного больше, чем произведение относительной проницаемости магнитного сердечника и диаметра. Это ограничивает простой анализ сердечниками с низкой проницаемостью или чрезвычайно длинными тонкими соленоидами. Наличие сердечника можно учесть в приведенных выше уравнениях, заменив магнитную постоянную μ ₀ на μ или μ ₀ μ _r , где μ представляет проницаемость, а μ _r относительную проницаемость . Обратите внимание, что поскольку проницаемость ферромагнитных материалов изменяется с приложенным магнитным потоком, индуктивность катушки с ферромагнитным сердечником, как правило, будет изменяться с током.

Смотрите также

• катушка Гельмгольца
• Индуктор

Ссылки

1. "solenoid: Значение в Cambridge English Dictionary". dictionary.cambridge.org . Архивировано из оригинала 16 января 2017 года . Получено 16 января 2017 года .
2. или, что то же самое, диаметр катушки предполагается бесконечно малым (Ampère 1823, стр. 267: «des Courants électriques formants de très-petits Circuits autour de cette ligne, dans des plan infiniment rapprochés qui lui soient perpendiculaires»).
3. Сессия Академии наук от 22 декабря 1823 года, опубликовано в печати в: Ампер, «Mémoire sur la théorie mathématique des phénomènes électro-dynamiques», Mémoires de l'Académie royale des Sciences de l'Institut de France 6 (1827). , Париж, Ф. Дидо, стр. 267 и далее. (и рис. 29–33). «l'assemblage de tous les Circuits qui l'entourent [viz. l'arc], assemblage auquel j'ai donné le nom de solénoïde électro-dinamicque , du mot grec σωληνοειδὴς, dont la exprime précialment ce qui a la forme d 'un canal, c'est-à-dire la поверхность этой земли, образующая сюр-лакель, сеет все контуры'. (с. 267). Русский перевод: «сборка всех цепей, которые ее окружают [т. е. дуга], сборка, которой я дал название электродинамический соленоид , от греческого слова σωληνοειδὴς, значение которого точно выражает то, что имеет форму канала, то есть поверхность этой формы, на которой расположены все контуры».
4. Джайлс, Дэвид. Введение в магнетизм и магнитные материалы. CRC press, стр. 48, 2015.
5. "Архивная копия" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 10 апреля 2014 года . Получено 28 марта 2013 года .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
6. "Архивная копия" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 19 июля 2021 г. . Получено 10 июля 2021 г. .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
7. Мюллер, Карл Фридрих (1 мая 1926 г.). «Berechnung der Induktivität von Spulen» [Расчет индуктивности катушек]. Archiv für Elektrotechnik (на немецком языке). 17 (3): 336–353. дои : 10.1007/BF01655986. ISSN  1432-0487. S2CID  123686159.
8. Каллаган, Эдмунд Э.; Маслен, Стивен Х. (1 октября 1960 г.). «Магнитное поле конечного соленоида». Технические отчеты НАСА . НАСА-TN-D-465 (Е-900).
9. Caciagli, Alessio; Baars, Roel J.; Philipse, Albert P.; Kuipers, Bonny WM (2018). «Точное выражение для магнитного поля конечного цилиндра с произвольной однородной намагниченностью». Журнал магнетизма и магнитных материалов . 456 : 423–432. Bibcode : 2018JMMM..456..423C. doi : 10.1016/j.jmmm.2018.02.003. hdl : 1874/363313. ISSN  0304-8853. S2CID  126037802.
10. Курс, Андре; Каралис, Аристейдис; Моффатт, Роберт; Иоаннопулос, Дж. Д.; Фишер, Питер; Солячич, Марин (6 июля 2007 г.). «Беспроводная передача энергии посредством сильно связанных магнитных резонансов». Science . 317 (5834): 83–86. Bibcode :2007Sci...317...83K. doi : 10.1126/science.1143254 . PMID  17556549. S2CID  17105396.
11. Чжоу, Вэньшэнь; Хуан, Шао Ин (28 сентября 2017 г.). «Новая конструкция катушки для широкополосной беспроводной передачи энергии». Симпозиум Международного общества прикладной вычислительной электромагнетики (ACES) 2017 г .: 1–2.
12. Жэнь, Чжи Хуа; Хуан, Шао Ин (август 2018 г.). «Конструкция короткого соленоида с однородным B1 для портативного МРТ-сканера с низким полем с использованием генетического алгоритма». Труды 26-го ISMRM : 1720.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
13. Jian, L.; Shi, Y.; Liang, J.; Liu, C.; Xu, G. (июнь 2013 г.). «Новая система направленной магнитной жидкостной гипертермии с использованием массива катушек HTS для лечения опухолей». IEEE Transactions on Applied Superconductivity . 23 (3): 4400104. Bibcode : 2013ITAS...23Q0104J. doi : 10.1109/TASC.2012.2230051. S2CID  44197357.
14. Чжоу, Вэньшэнь; Хуан, Шао Ин (июль 2019 г.). «Точная модель для быстрого расчета резонансной частоты нерегулярного соленоида». Труды IEEE по теории и технике СВЧ . 67 (7): 2663–2673. Bibcode : 2019ITMTT..67.2663Z. doi : 10.1109/TMTT.2019.2915514. S2CID  182038533.
15. Чжоу, Вэньшэнь; Хуан, Шао Ин (12 апреля 2021 г.). «код для точной модели для быстрого расчета резонансной частоты нерегулярного соленоида». {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
16. Чжоу, Вэньшэнь; Хуан, Шао Ин (октябрь 2020 г.). «Моделирование собственной емкости нерегулярного соленоида». Труды IEEE по электромагнитной совместимости . 63 (3): 783–791. doi :10.1109/TEMC.2020.3031075. ISSN  0018-9375. S2CID  229274298.
17. Чжоу, Вэньшэнь; Хуан, Шао Ин (12 апреля 2021 г.). «код для точной модели собственной емкости нерегулярных соленоидов». {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
18. D. Howard Dellinger; LE Whittmore & RS Ould (1924). Радиоприборы и измерения. Т. C74. ISBN 9780849302527. Получено 7 сентября 2009 г. {{cite book}}: |journal=проигнорировано ( помощь )

Внешние ссылки

• Интерактивное руководство по Java: Магнитное поле соленоида, Национальная лаборатория сильных магнитных полей
• Обсуждение соленоидов на Hyperphysics