Выпучивание

Внезапное изменение формы конструктивного элемента под нагрузкой

Изогнутые панели обшивки на самолете B-52 . Тонкие панели обшивки изгибаются при очень низких нагрузках. В показанном здесь случае вес передней конструкции фюзеляжа перед носовым шасси достаточен, чтобы вызвать изгиб панелей. Изогнутые панели по-прежнему эффективны при переносе сдвига за счет диагонального натяжения. ^[1]

В строительной инженерии выпучивание — это внезапное изменение формы ( деформация ) структурного компонента под нагрузкой , например, изгиб колонны при сжатии или сморщивание пластины при сдвиге . Если конструкция подвергается постепенно увеличивающейся нагрузке, то, когда нагрузка достигает критического уровня, элемент может внезапно изменить форму, и говорят, что конструкция и компонент выгнулись . [ ^2] Критическая нагрузка Эйлера и параболическая формула Джонсона используются для определения напряжения выпучивания колонны.

Прогиб может произойти, даже если напряжения , которые развиваются в конструкции, значительно ниже тех, которые необходимы для разрушения материала, из которого она состоит. Дальнейшая нагрузка может вызвать значительные и несколько непредсказуемые деформации, возможно, приводящие к полной потере несущей способности элемента. Однако, если деформации, которые возникают после прогиба, не вызывают полного разрушения этого элемента, элемент будет продолжать выдерживать нагрузку, которая заставила его прогнуться. Если прогнувшийся элемент является частью более крупной сборки компонентов, таких как здание, любая нагрузка, приложенная к прогнувшейся части конструкции сверх той, которая заставила элемент прогнуться, будет перераспределена внутри конструкции. Некоторые самолеты спроектированы для панелей с тонкой обшивкой, чтобы продолжать нести нагрузку даже в прогнутом состоянии.

Формы выпучивания

Колонны

Колонна под концентрической осевой нагрузкой, демонстрирующая характерную деформацию выпучивания

Эксцентриситет осевой силы приводит к возникновению изгибающего момента, действующего на элемент балки.

Отношение эффективной длины колонны к наименьшему радиусу инерции ее поперечного сечения называется коэффициентом гибкости (иногда обозначается греческой буквой лямбда, λ). Это отношение позволяет классифицировать колонны и режим их разрушения. Коэффициент гибкости важен для проектирования. Все приведенные ниже значения являются приблизительными и используются для удобства.

Если нагрузка на колонну приложена через центр тяжести (центроид) ее поперечного сечения, она называется осевой нагрузкой . Нагрузка в любой другой точке поперечного сечения известна как эксцентрическая нагрузка. Короткая колонна под действием осевой нагрузки выйдет из строя из-за прямого сжатия до того, как она прогнется, но длинная колонна, нагруженная таким же образом, выйдет из строя, внезапно выпружинив наружу в боковом направлении (прогиб) в режиме изгиба. Режим прогиба при прогибе считается режимом отказа, и он обычно происходит до того, как осевые напряжения сжатия (прямое сжатие) могут вызвать отказ материала из-за текучести или разрушения этого элемента сжатия. Однако колонны средней длины выйдут из строя из-за комбинации прямого напряжения сжатия и изгиба.

В частности:

• Короткой стальной колонной называется колонна, коэффициент гибкости которой не превышает 50; стальная колонна средней длины имеет коэффициент гибкости в диапазоне от 50 до 200, и ее поведение определяется пределом прочности материала, в то время как можно предположить, что длинная стальная колонна имеет коэффициент гибкости более 200, и ее поведение определяется модулем упругости материала.
• Короткой бетонной колонной называется колонна, у которой отношение неподдерживаемой длины к наименьшему размеру поперечного сечения равно или меньше 10. Если отношение больше 10, колонна считается длинной (иногда ее называют тонкой колонной).
• Деревянные колонны могут быть классифицированы как короткие колонны, если отношение длины к наименьшему размеру поперечного сечения равно или меньше 10. Разделительную линию между средними и длинными деревянными колоннами нельзя легко оценить. Одним из способов определения нижнего предела длинных деревянных колонн было бы установить его как наименьшее значение отношения длины к наименьшей площади поперечного сечения, которое будет немного превышать определенную константу K материала. Поскольку K зависит от модуля упругости и допустимого сжимающего напряжения параллельно волокнам, можно увидеть, что этот произвольный предел будет меняться в зависимости от породы древесины. Значение K приводится в большинстве структурных справочников.

Теория поведения колонн была исследована в 1757 году математиком Леонардом Эйлером . Он вывел формулу, называемую критической нагрузкой Эйлера , которая дает максимальную осевую нагрузку, которую может выдержать длинная, тонкая, идеальная колонна без прогиба. Идеальная колонна — это та, которая:

• идеально прямой
• изготовлен из однородного материала
• свободный от первоначального напряжения.

Когда приложенная нагрузка достигает нагрузки Эйлера, иногда называемой критической нагрузкой, колонна приходит в состояние неустойчивого равновесия . При этой нагрузке введение малейшей боковой силы приведет к разрушению колонны путем внезапного «перескока» в новую конфигурацию, и говорят, что колонна прогнулась. Это то, что происходит, когда человек становится на пустую алюминиевую банку, а затем коротко стучит по ее стенкам, в результате чего она мгновенно раздавливается (вертикальные стенки банки можно понимать как бесконечную серию чрезвычайно тонких колонн). ^{[ необходима цитата ]} Формула, выведенная Эйлером для длинных тонких колонн, выглядит следующим образом:

$${\displaystyle F_{c}={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}$$

где

• ${\displaystyle F_{c}}$, максимальная или критическая сила (вертикальная нагрузка на колонну),
• ${\displaystyle E}$, модуль упругости ,
• ${\displaystyle I}$, наименьший момент инерции площади (второй момент площади) поперечного сечения колонны,
• ${\displaystyle L}$, неподдерживаемая длина колонны,
• ${\displaystyle K}$, коэффициент эффективной длины колонны , значение которого зависит от условий концевого опирания колонны, следующим образом.
  • Для обоих концов, закрепленных штифтами (шарнирно, свободно вращающихся), . ${\displaystyle K=1.0}$
  • Для обоих фиксированных концов, . ${\displaystyle K=0.50}$
  • Для одного закрепленного конца и другого закрепленного штифтом, . ${\displaystyle K\approx 0.699}$
  • Для одного закрепленного конца и другого конца, свободного для бокового перемещения, . ${\displaystyle K=2.0}$
• ${\displaystyle KL}$— эффективная длина колонны.

Рассмотрение этой формулы позволяет выявить следующие факты относительно несущей способности тонких колонн.

• Упругость материала колонны, а не прочность материала колонны на сжатие , определяет нагрузку на изгиб колонны.
• Нагрузка на изгиб прямо пропорциональна моменту инерции площади поперечного сечения.
• Граничные условия оказывают значительное влияние на критическую нагрузку тонких колонн. Граничные условия определяют режим изгиба колонны и расстояние между точками перегиба на кривой смещения прогнутой колонны. Точки перегиба в форме прогиба колонны являются точками, в которых кривизна колонны меняет знак, а также точками, в которых внутренние изгибающие моменты колонны равны нулю. Чем ближе точки перегиба, тем больше результирующая осевая грузоподъемность (нагрузка на выпучивание) колонны.

Демонстрационная модель, иллюстрирующая различные режимы потери устойчивости Эйлера. Модель показывает, как граничные условия влияют на критическую нагрузку тонкой колонны. Колонны идентичны, за исключением граничных условий.

Вывод из вышесказанного заключается в том, что нагрузку на изгиб колонны можно увеличить, заменив ее материал на материал с более высоким модулем упругости (E) или изменив конструкцию поперечного сечения колонны таким образом, чтобы увеличить ее момент инерции. Последнее можно сделать без увеличения веса колонны, распределив материал как можно дальше от главной оси поперечного сечения колонны. Для большинства целей наиболее эффективным использованием материала колонны является трубчатое сечение.

Другим выводом, который можно сделать из этого уравнения, является влияние длины на критическую нагрузку. Удвоение неподдерживаемой длины колонны сокращает допустимую нагрузку на четверть. Ограничение, оказываемое концевыми соединениями колонны, также влияет на ее критическую нагрузку. Если соединения абсолютно жесткие (не допускают вращения ее концов), критическая нагрузка будет в четыре раза больше, чем для аналогичной колонны, концы которой закреплены штифтами (допуская вращение ее концов).

Поскольку радиус инерции определяется как квадратный корень из отношения момента инерции колонны относительно оси к площади ее поперечного сечения, приведенную выше формулу Эйлера можно переформатировать, заменив радиус инерции на : ${\displaystyle Ar^{2}}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}={\frac {\pi ^{2}E}{(l/r)^{2}}}}$$

где — напряжение, вызывающее изгиб колонны, — коэффициент гибкости. ${\displaystyle \sigma =F/A}$ ${\displaystyle l/r}$

Поскольку структурные колонны обычно имеют промежуточную длину, формула Эйлера имеет мало практического применения для обычного проектирования. Проблемы, которые вызывают отклонение от чистого поведения колонны Эйлера, включают несовершенства геометрии колонны в сочетании с пластичностью/нелинейным поведением деформации напряжения материала колонны. Следовательно, был разработан ряд эмпирических формул колонн, которые согласуются с данными испытаний, все из которых воплощают коэффициент гибкости. Из-за неопределенности в поведении колонн для проектирования в эти формулы вводятся соответствующие коэффициенты безопасности . Одной из таких формул является формула Перри Робертсона , которая оценивает критическую нагрузку потери устойчивости на основе предполагаемой малой начальной кривизны, следовательно, эксцентриситета осевой нагрузки. Формула Ренкина-Гордона, названная в честь Уильяма Джона Маккорна Ренкина и Перри Хьюджсворта Гордона (1899 – 1966), также основана на экспериментальных результатах и ​​предполагает, что колонна потеряет устойчивость при нагрузке F _max, заданной как: $${\displaystyle {\frac {1}{F_{\max }}}={\frac {1}{F_{e}}}+{\frac {1}{F_{c}}}}$$

где — максимальная нагрузка Эйлера, а — максимальная сжимающая нагрузка. Эта формула обычно дает консервативную оценку . ${\displaystyle F_{e}}$ ${\displaystyle F_{c}}$ ${\displaystyle F_{\max }}$

Самостоятельно изгибающийся

Отдельно стоящая вертикальная колонна с плотностью , модулем Юнга и площадью поперечного сечения прогнется под собственным весом, если ее высота превысит определенное критическое значение: ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle h_{\text{crit}}=\left({\frac {9B^{2}}{4}}\,{\frac {EI}{\rho gA}}\right)^{\frac {1}{3}}}$$

где - ускорение свободного падения, - второй момент площади поперечного сечения балки, - первый ноль функции Бесселя первого рода порядка −1/3, которая равна 1,86635086... ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle B}$

Выпучивание пластины

Плита — это трехмерная структура, определяемая как имеющая ширину, сопоставимую с ее длиной, с толщиной, которая очень мала по сравнению с ее двумя другими измерениями. Подобно колоннам, тонкие пластины испытывают деформации изгиба вне плоскости при воздействии критических нагрузок; однако, в отличие от изгиба колонн, пластины под нагрузкой изгиба могут продолжать нести нагрузки, называемые локальным изгибом. Это явление невероятно полезно во многих системах, поскольку оно позволяет проектировать системы для обеспечения большей грузоподъемности .

Для прямоугольной пластины, поддерживаемой вдоль каждого края и нагруженной равномерной сжимающей силой на единицу длины, выведенное основное уравнение можно сформулировать следующим образом: ^[6]

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\frac {12\left(1-\nu ^{2}\right)}{Et^{3}}}\left(-N_{x}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)}$$

где

• ${\displaystyle w}$, отклонение вне плоскости
• ${\displaystyle N_{x}}$, равномерно распределенная сжимающая нагрузка
• ${\displaystyle \nu }$, Коэффициент Пуассона
• ${\displaystyle E}$, модуль упругости
• ${\displaystyle t}$, толщина

Решение прогиба можно разложить на две гармонические функции, показанные ниже: ^[6]

$${\displaystyle w=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }w_{mn}\sin \left({\frac {m\pi x}{a}}\right)\sin \left({\frac {n\pi y}{b}}\right)}$$

где

• ${\displaystyle m}$, число полусинусоидальных кривизн, которые происходят в продольном направлении
• ${\displaystyle n}$, число полусинусоидальных кривизн, которые происходят по ширине
• ${\displaystyle a}$, длина образца
• ${\displaystyle b}$, ширина образца

Предыдущее уравнение можно подставить в более раннее дифференциальное уравнение, где равно 1. можно разделить, получив уравнение для критической сжимающей нагрузки пластины: ^[6] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N_{x}}$

$${\displaystyle N_{x,cr}=k_{cr}{\frac {\pi ^{2}Et^{3}}{12\left(1-\nu ^{2}\right)b^{2}}}}$$

где коэффициент изгиба определяется по формуле: ^[6] ${\displaystyle k_{cr}}$ $${\displaystyle k_{cr}=\left({\frac {mb}{a}}+{\frac {a}{mb}}\right)^{2}}$$

Коэффициент продольного изгиба зависит от аспекта образца, / , и числа продольных изгибов. Для увеличивающегося числа таких изгибов соотношение сторон дает изменяющийся коэффициент продольного изгиба; но каждое отношение дает минимальное значение для каждого . Это минимальное значение затем может использоваться как константа, независимая как от соотношения сторон, так и . ^[6] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {b}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

Учитывая, что напряжение определяется нагрузкой на единицу площади, для критического напряжения получается следующее выражение: $${\displaystyle \sigma _{cr}=k_{cr}{\frac {\pi ^{2}E}{12\left(1-\nu ^{2}\right)\left({\frac {b}{t}}\right)^{2}}}}$$

Из полученных уравнений можно увидеть близкое сходство между критическим напряжением для колонны и для пластины. По мере уменьшения ширины пластина действует больше как колонна, поскольку она увеличивает сопротивление выпучивание по ширине пластины. Увеличение позволяет увеличить количество синусоид, создаваемых выпучиванием по длине, но также увеличивает сопротивление выпучиванием по ширине. ^[6] Это создает предпочтение пластины выпучиваться таким образом, чтобы уравнять количество кривизн как по ширине, так и по длине. Из-за граничных условий, когда пластина нагружена критическим напряжением и выпучивается, края, перпендикулярные нагрузке, не могут деформироваться вне плоскости и, следовательно, будут продолжать нести напряжения. Это создает неравномерную сжимающую нагрузку вдоль концов, где напряжения накладываются на половину эффективной ширины с каждой стороны образца, что определяется следующим образом: ^[6] ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle {\frac {b_{\text{eff}}}{b}}\approx {\sqrt {{\frac {\sigma _{cr}}{\sigma _{y}}}\left(1-1.022{\sqrt {\frac {\sigma _{cr}}{\sigma _{y}}}}\right)}}}$$

где

• ${\displaystyle b_{\text{eff}}}$, эффективная ширина
• ${\displaystyle \sigma _{y}}$, напряжение текучести

По мере увеличения нагруженного напряжения эффективная ширина продолжает сокращаться; если напряжения на концах когда-либо достигнут предела текучести, пластина выйдет из строя. Это то, что позволяет изогнутой конструкции продолжать выдерживать нагрузки. Когда осевая нагрузка сверх критической нагрузки отображается в зависимости от смещения, отображается фундаментальный путь. Он демонстрирует сходство пластины с колонной при изгибе; однако после нагрузки на изгиб фундаментальный путь разветвляется на вторичный путь, который изгибается вверх, обеспечивая возможность подвергаться более высоким нагрузкам сверх критической нагрузки.

Изгибно-крутильный выпучивание

Изгибно-крутильный выпучивание можно описать как комбинацию изгиба и крутильной реакции элемента при сжатии. Такой режим прогиба необходимо учитывать при проектировании. Это чаще всего происходит в колоннах с «открытыми» поперечными сечениями и, следовательно, имеющими низкую крутильную жесткость, например, в швеллерах, структурных таврах, двухугольных профилях и равнополочных одинарных уголках. Круглые поперечные сечения не испытывают такого режима выпучивания.

Боковой изгиб с кручением

Поперечно-крутильный выпучивание двутавровой балки с вертикальной силой в центре: а) продольный вид, б) поперечное сечение вблизи опоры, в) поперечное сечение в центре с поперечно-крутильным выпучиванием

Когда балка с простой опорой нагружена изгибом , верхняя сторона находится в сжатии , а нижняя сторона - в растяжении . Если балка не поддерживается в боковом направлении (т. е. перпендикулярно плоскости изгиба), а изгибающая нагрузка увеличивается до критического предела, балка испытает боковой прогиб сжатой полки, поскольку она локально прогибается. Боковой прогиб сжатой полки ограничивается стенкой балки и растянутой полкой, но для открытого сечения режим кручения более гибкий, поэтому балка и скручивается, и прогибается вбок в режиме отказа, известном как боковой изгиб с кручением . В сечениях с широкими полками (с высокой жесткостью на боковой изгиб) режим прогиба будет в основном скручиванием при кручении. В сечениях с узкими полками жесткость на изгиб ниже, и прогиб колонны будет ближе к режиму прогиба при боковом изгибе.

Использование закрытых профилей, таких как квадратные полые профили, смягчит последствия поперечного изгиба за счет их высокой крутильной жесткости .

C _b — это модификационный коэффициент, используемый в уравнении для номинальной прочности на изгиб при определении продольного изгиба с кручением. Причина этого коэффициента — допустить неравномерные эпюры моментов, когда концы сегмента балки закреплены. Консервативное значение для C _b можно принять равным 1, независимо от конфигурации балки или нагрузки, но в некоторых случаях оно может быть чрезмерно консервативным. C _b всегда равно или больше 1, никогда не меньше. Для консолей или свесов, где свободный конец не закреплен, C _b равен 1. Существуют таблицы значений C _b для просто опертых балок.

Если соответствующее значение C _b не указано в таблицах, его можно получить по следующей формуле:

$${\displaystyle C_{b}={\frac {12.5M_{\max }}{2.5M_{\max }+3M_{A}+4M_{B}+3M_{C}}}}$$

где

• ${\displaystyle M_{\max }}$, абсолютное значение максимального момента в нераскрепленном сегменте,
• ${\displaystyle M_{A}}$, абсолютное значение максимального момента в четверти опорного сегмента,
• ${\displaystyle M_{B}}$, абсолютное значение максимального момента на средней линии нераскрепленного сегмента,
• ${\displaystyle M_{C}}$, абсолютное значение максимального момента в точке трех четвертей незакрепленного сегмента,

Результат одинаков для всех систем единиц.

Пластиковая гофрировка

Прочность элемента на изгиб меньше упругой прочности конструкции, если материал элемента нагружен за пределами диапазона упругого материала и в нелинейном (пластичном) диапазоне поведения материала. Когда нагрузка сжатия близка к нагрузке на изгиб, конструкция будет значительно изгибаться, а материал колонны будет отклоняться от линейного поведения напряжения-деформации. Поведение материалов при напряжении-деформации не является строго линейным даже ниже предела текучести, поэтому модуль упругости уменьшается по мере увеличения напряжения, и значительно по мере того, как напряжения приближаются к пределу текучести материала. Эта уменьшенная жесткость материала снижает прочность конструкции на изгиб и приводит к нагрузке на изгиб, меньшей, чем предсказывает предположение о линейном упругом поведении.

Более точное приближение нагрузки на изгиб может быть получено путем использования касательного модуля упругости E _t , который меньше модуля упругости, вместо модуля упругости. Тангенс равен модулю упругости и затем уменьшается за пределами пропорционального предела. Касательный модуль представляет собой линию, проведенную по касательной к кривой напряжение-деформация при определенном значении деформации (в упругом участке кривой напряжение-деформация касательный модуль равен модулю упругости). Графики касательного модуля упругости для различных материалов доступны в стандартных ссылках.

Калечащий

Секции, состоящие из фланцевых пластин, таких как швеллер, могут по-прежнему нести нагрузку в углах после того, как фланцы локально выгнулись. Деформация — это разрушение всего сечения. ^[1]

Диагональное натяжение

Из-за тонкой оболочки, обычно используемой в аэрокосмической промышленности, оболочки могут прогибаться при низких уровнях нагрузки. Однако после прогиба вместо того, чтобы передавать сдвигающие усилия, они все еще способны нести нагрузку через диагональные напряжения растяжения (DT) в стенке. Это приводит к нелинейному поведению в поведении нагрузки этих деталей. Отношение фактической нагрузки к нагрузке, при которой происходит прогиб, известно как коэффициент прогиба листа. ^[1] Высокие коэффициенты прогиба могут привести к чрезмерному сморщиванию листов, которые затем могут выйти из строя из -за текучести складок. Хотя они могут прогибаться, тонкие листы спроектированы так, чтобы не деформироваться постоянно и возвращаться в непрогнутое состояние при снятии приложенной нагрузки. Повторный прогиб может привести к усталостным отказам.

Листы, находящиеся под диагональным натяжением, поддерживаются ребрами жесткости, которые в результате прогиба листа несут распределенную нагрузку по всей своей длине, что в свою очередь может привести к разрушению этих конструктивных элементов под действием прогиба.

Более толстые пластины могут лишь частично образовывать диагональное поле натяжения и могут продолжать нести часть нагрузки через сдвиг. Это известно как неполное диагональное натяжение (IDT). Такое поведение изучал Вагнер, и эти балки иногда называют балками Вагнера. ^[1]

Диагональное натяжение может также привести к тянущему усилию на любых крепежах, таких как заклепки, которые используются для крепления полотна к опорным элементам. Крепежи и листы должны быть спроектированы так, чтобы противостоять срыву с их опор.

Динамическое выпучивание

Если колонна нагружена внезапно, а затем нагрузка снята, колонна может выдержать гораздо большую нагрузку, чем ее статическая (медленно приложенная) нагрузка на изгиб. Это может произойти в длинной колонне без опоры, используемой в качестве падающего молота. Продолжительность сжатия на ударном конце — это время, необходимое для того, чтобы волна напряжения прошла вдоль колонны до другого (свободного) конца и вернулась обратно в виде волны разгрузки. Максимальный изгиб происходит вблизи ударного конца на длине волны, намного короче длины стержня, и при напряжении, во много раз превышающем напряжение изгиба статически нагруженной колонны. Критическое условие для того, чтобы амплитуда изгиба оставалась меньше, чем примерно в 25 раз больше эффективного несовершенства прямолинейности стержня на длине волны изгиба, следующее:

$${\displaystyle \sigma L=\rho c^{2}h}$$

где - ударное напряжение, - длина стержня, - скорость упругой волны, - меньший поперечный размер прямоугольного стержня. Поскольку длина волны изгиба зависит только от и , эта же формула справедлива для тонких цилиндрических оболочек толщиной . ^[7] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$

Теория

Энергетический метод

Часто бывает очень сложно определить точную нагрузку на изгиб в сложных конструкциях с помощью формулы Эйлера из-за сложности определения постоянной K. Поэтому максимальную нагрузку на изгиб часто аппроксимируют с использованием закона сохранения энергии и называют энергетическим методом в структурном анализе.

Первый шаг в этом методе — предположить режим смещения и функцию, которая представляет это смещение. Эта функция должна удовлетворять самым важным граничным условиям, таким как смещение и вращение. Чем точнее функция смещения, тем точнее результат.

Метод предполагает, что система (колонна) является консервативной системой, в которой энергия не рассеивается в виде тепла, поэтому энергия, добавленная к колонне приложенными внешними силами, сохраняется в колонне в виде энергии деформации.

$${\displaystyle U_{\text{applied}}=U_{\text{strain}}}$$

В этом методе используются два уравнения (для малых деформаций) для аппроксимации энергии «деформации» (потенциальной энергии, запасенной в виде упругой деформации конструкции) и «приложенной» энергии (работы, совершаемой над системой внешними силами).

$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{\text{strain}}&={\frac {E}{2}}\int I(x)(w_{xx}(x))^{2}\,\mathrm {d} x\\U_{\text{applied}}&={\frac {P_{\text{crit}}}{2}}\int (w_{x}(x))^{2}\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}$$

где — функция смещения, а индексы и относятся к первой и второй производным смещения. ${\displaystyle w(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle xx}$

Модели с одной степенью свободы

Используя концепцию полной потенциальной энергии , , можно выделить четыре основные формы прогиба, обнаруженные в структурных моделях с одной степенью свободы. Начнем с выражения, где - энергия деформации, сохраненная в конструкции, - приложенная консервативная нагрузка, а - расстояние, пройденное в ее направлении. Используя аксиомы теории упругой неустойчивости, а именно, что равновесие - это любая точка, где является неподвижной относительно координаты, измеряющей степень(и) свободы, и что эти точки являются устойчивыми только в том случае, если - локальный минимум, и неустойчивыми в противном случае (например, максимум или точка перегиба). ^[8] ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle V=U-P\Delta }$$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Эти четыре формы упругой потери устойчивости — это бифуркация седло-узел или предельная точка ; сверхкритическая или устойчиво-симметричная бифуркация; субкритическая или неустойчиво-симметричная бифуркация; и транскритическая или асимметричная бифуркация. Все, кроме первого из этих примеров, являются формой бифуркации вилки . Простые модели для каждого из этих типов поведения потери устойчивости показаны на рисунках ниже вместе с соответствующими диаграммами бифуркаций.

Примеры инженерных разработок

Колеса велосипеда

Обычное велосипедное колесо состоит из тонкого обода, находящегося под высоким сжимающим напряжением (примерно нормальным) внутренним натяжением большого количества спиц. Его можно рассматривать как нагруженную колонну, согнутую в круг. Если натяжение спиц увеличивается сверх безопасного уровня или если часть обода подвергается воздействию определенной боковой силы, колесо самопроизвольно разрушается в характерную седловидную форму (иногда называемую «тако» или «прингл » ), как трехмерная колонна Эйлера. Если это чисто упругая деформация, обод восстановит свою правильную плоскую форму, если натяжение спиц уменьшится или будет приложена боковая сила с противоположного направления.

Дороги

Выпучивание — это вид отказа в материалах для дорожного покрытия , в первую очередь в бетоне, поскольку асфальт более гибок. Лучистое тепло от солнца поглощается поверхностью дороги, заставляя ее расширяться , заставляя соседние части давить друг на друга. Если напряжение достаточно, покрытие может подняться и треснуть без предупреждения. Проезд по выпученному участку может быть резким для водителей автомобилей , его можно описать как проезд через лежачий полицейский на скоростях шоссе.

Рельсовые пути

Железнодорожные пути в Нидерландах пострадали от солнечного изгиба

Аналогично, рельсовые пути также расширяются при нагревании и могут выйти из строя из-за коробления, явления, называемого солнечным изломом . ^[9] Рельсы чаще всего смещаются вбок, часто увлекая за собой нижележащие шпалы . ^[10]

Солнечный изгиб может привести к тому, что железные дороги резко снизят скорость поездов, что приведет к задержкам и отменам. Это делается для того, чтобы избежать схода с рельсов. Усиление волн тепла из-за изменения климата удвоило количество часов задержек, связанных с жарой, в 2023 году по сравнению с 2018 годом. ^[11]

Эти аварии были расценены как связанные с солнечным завалом ( более подробная информация доступна в Списке железнодорожных аварий (2000–2009) ):

• 18 апреля 2002 г. Сход с рельсов поезда Amtrak Auto-Train , вне путей CSX , недалеко от Кресент-Сити, Флорида . ^[12]
• 29 июля 2002 года поезд Amtrak Capitol Limited сошел с рельсов, вне путей CSX , недалеко от Кенсингтона, штат Мэриленд . ^[13]
• 8 июля 2010 года поезд CSX сошел с рельсов в Ваксхо, Северная Каролина . ^[14]
• 6 июля 2012 г. Сход поезда метро WMATA с рельсов около станции West Hyattsville , штат Мэриленд . ^[15]

Федеральное управление железных дорог выпустило 11 июля 2012 года рекомендацию по безопасности, предупреждающую операторов железных дорог о необходимости проверки путей на предмет «состояний, склонных к выпучиванию». В рекомендацию включен краткий обзор четырех сходов с рельсов, произошедших в период с 23 июня по 4 июля, которые, по-видимому, были «инцидентами, связанными с жарой». ^[16]

Трубы и сосуды под давлением

Трубы и сосуды под давлением, подверженные внешнему избыточному давлению, вызванному, например, охлаждением пара внутри трубы и конденсацией в воду с последующим значительным падением давления, рискуют прогнуться из-за сжимающих кольцевых напряжений . Правила проектирования для расчета необходимой толщины стенки или армирующих колец приведены в различных нормах для трубопроводов и сосудов под давлением.

Сверх- и гиперзвуковые воздушно-космические аппараты

Аэротермический нагрев может привести к короблению поверхностных панелей на сверх- и гиперзвуковых аэрокосмических аппаратах, таких как высокоскоростные самолеты, ракеты и возвращаемые аппараты. ^[17] Если коробление вызвано аэротермическими нагрузками, ситуация может еще больше осложниться усилением теплопередачи в областях, где конструкция деформируется в направлении поля потока. ^[18]

Смотрите также

• Критическая нагрузка Эйлера  – Формула для количественной оценки потери устойчивости колонны под заданной нагрузкой
• Геометрическая и материальная деформация  – Поглощение и передача нейтронов материалами ядерного реактора
• Формула Перри–Робертсона  – Формула для расчета нагрузок на изгиб в тонких колоннах
• Натяжение рельсов
• Усиление жесткости  – метод повышения жесткости и структурной целостности материалов или объектов.
• Метод Вуда  – Метод структурного анализа потери устойчивости
• Выпучивание по Йошимуре  – Модель выпучивания, используемая в машиностроении

Ссылки

1. Брун, Э. Ф. (1973). Анализ и проектирование конструкций летательных аппаратов . Индианаполис: Jacobs.
2. Элишакофф, И. Ли YW. и Старнс, Дж. Х. младший, Неклассические проблемы теории упругой устойчивости, Cambridge University Press, 2001, XVI +стр.336; ISBN 0-521-78210-4 
3. Като, К. (1915). «Математическое исследование механических проблем линии передачи». Журнал Японского общества инженеров-механиков . 19 : 41.
4. Ратцерсдорфер, Юлиус (1936). Die Knickfestigkeit von Stäben und Stabwerken [ Сопротивление продольному изгибу элементов и рам ] (на немецком языке). Вайн, Австрия: Дж. Шпрингер. стр. 107–109. ISBN 978-3-662-24075-5.
5. Кокс, Стивен Дж.; К. Мейв Маккарти (1998). «Форма самой высокой колонны». Журнал SIAM по математическому анализу . 29 (3): 547–554. doi :10.1137/s0036141097314537.
6. Булсон, П. С. (1970). Теория плоских пластин . Чатто и Виндус, Лондон.
7. Линдберг, Х. Э.; Флоренс, А. Л. (1987). Динамическое импульсное выпучивание . Martinus Nijhoff Publishers . С. 11–56, 297–298.
8. Томпсон, Дж. М. Т.; Хант, Г. В. (1973). Общая теория упругой устойчивости . Лондон: John Wiley. ISBN 9780471859918.
9. Magill, Bobby (31 июля 2014 г.). «Количество сходов с рельсов может увеличиться, поскольку «Sun Kinks» выгибает рельсы». Climate Central . Получено 18 июля 2024 г.
10. Ли, Динцвинг; Хайслип, Джеймс; Сассманн, Тед; Крисмер, Стивен (2002). Железнодорожная геотехника. CRC Press. стр. 430-431. ISBN 148228880X.
11. Ким, Минхо (17 июля 2024 г.). «Пассажиры Amtrak сталкиваются с рекордными задержками из-за экстремальных погодных условий». New York Times . Получено 18 июля 2024 г.
12. Сход с рельсов поезда Amtrak Auto Train P052-18 на железной дороге CSXT около Кресент-Сити, Флорида, 18 апреля 2002 г. (PDF) (Отчет). Национальный совет по безопасности на транспорте. 5 августа 2003 г. стр. v . Получено 18 июля 2024 г.
13. Браун, Стивен (30 июля 2002 г.). «Пассажирские вагоны поезда сходят с перегретых путей». Los Angeles Times . Получено 18 июля 2024 г.
14. «Высокая температура может деформировать рельсы поездов, что приведет к сходу поездов с рельсов». WIS 10. Колумбия, Южная Каролина. 15 июля 2010 г. Получено 18 июля 2024 г.
15. Лусеро, Кэт (2012-07-07). «Смещение пути из-за жары — вероятная причина схода поезда с рельсов на зеленой линии». DCist . American University Radio. Архивировано из оригинала 2018-02-04 . Получено 2019-01-21 .
16. Роберт К. Лоби (16 июля 2012 г.). Уведомление о безопасности (PDF) (Отчет). Федеральный реестр. стр. 41881-41882 . Получено 18 июля 2024 г.
17. Spottswood, S. Michael; Beberniss, Timothy J.; Eason, Thomas G.; Perez, Ricardo A.; Donbar, Jeffrey M.; Ehrhardt, David A.; Riley, Zachary B. (март 2019 г.). «Изучение реакции тонкой гибкой панели на взаимодействие ударной волны и турбулентного пограничного слоя». Journal of Sound and Vibration . 443 : 74–89. Bibcode :2019JSV...443...74S. doi : 10.1016/j.jsv.2018.11.035 . S2CID  125479249.
18. Дауб, Деннис; Эссер, Буркард; Гюльхан, Али (апрель 2020 г.). «Эксперименты по высокотемпературному гиперзвуковому взаимодействию жидкости и конструкции с пластической деформацией». Журнал AIAA . 58 (4): 1423–1431. Bibcode : 2020AIAAJ..58.1423D. doi : 10.2514/1.J059150 .

Дальнейшее чтение

• Тимошенко, СП ; Гир, Дж. М. (1961). Теория упругой устойчивости (2-е изд.). McGraw-Hill.
• Ненезич, М. (2004). «Механика термопластичных сплошных сред». Журнал аэрокосмических конструкций . 4 .
• Койтер, В. Т. (1945). Устойчивость упругого равновесия (PDF) (кандидатская диссертация).
• Раджеш, Дхакал; Маекава, Коичи (2002). «Устойчивость арматуры и разрушение защитного бетона в железобетонных элементах». Журнал по строительной инженерии . 128 (10): 1253–1262. doi :10.1061/(ASCE)0733-9445(2002)128:10(1253). hdl : 10092/4229 .
• Segui, Willian T. (2007). Steel Design (Четвертое издание). Соединенные Штаты: Thomson. ISBN 978-0-495-24471-4.
• Брун, Э. Ф. (1973). Анализ и проектирование конструкций летательных аппаратов . Индианаполис: Jacobs.
• Элишакофф, И. (2004). Разрешение головоломки двадцатого века в области упругой устойчивости . Сингапур: World Scientific/Imperial College Press. ISBN 978-981-4583-53-4.

Внешние ссылки

• Полная теория и примеры экспериментальных результатов для длинных колонок доступны в виде 39-страничного PDF-документа по адресу http://lindberglce.com/tech/buklbook.htm