Геометрическое соответствие Ленглендса

Математическая теория

В математике геометрическое соответствие Ленглендса связывает алгебраическую геометрию и теорию представлений . Это переформулировка соответствия Ленглендса , полученная путем замены числовых полей, появляющихся в исходной версии теории чисел , на функциональные поля и применения методов из алгебраической геометрии . ^[1] Геометрическая гипотеза Ленглендса утверждает существование геометрического соответствия Ленглендса.

Существование геометрического соответствия Ленглендса в частном случае общих линейных групп над функциональными полями было доказано Лораном Лаффоргом в 2002 году, где оно следует как следствие теоремы Лаффорга . ^[2]

Фон

В математике классическое соответствие Ленглендса представляет собой набор результатов и гипотез, связывающих теорию чисел и теорию представлений. Сформулированное Робертом Ленглендсом в конце 1960-х годов, соответствие Ленглендса связано с важными гипотезами в теории чисел, такими как гипотеза Таниямы–Шимуры , которая включает в себя Великую теорему Ферма как частный случай. ^[1]

Соответствия Ленглендса могут быть сформулированы для глобальных полей (а также локальных полей ), которые классифицируются на числовые поля или глобальные функциональные поля . Установление классического соответствия Ленглендса для числовых полей оказалось чрезвычайно сложным. В результате некоторые математики сформулировали геометрическое соответствие Ленглендса для глобальных функциональных полей, с которыми в некотором смысле оказалось проще иметь дело. ^[3]

Геометрическая гипотеза Ленглендса для общих линейных групп над полем функций была сформулирована Владимиром Дринфельдом и Жераром Ломоном в 1987 году. ^{[4] [5]} ${\displaystyle GL(n,K)}$ ${\displaystyle K}$

Статус

Геометрическая гипотеза Ленглендса была доказана Пьером Делинем и Дринфельдом в 1983 году. ^{[6] [7]} ${\displaystyle GL(1)}$ ${\displaystyle GL(2)}$

Лоран Лаффорг доказал геометрическую гипотезу Ленглендса для поля функций в 2002 году. ^[2] ${\displaystyle GL(n,K)}$ ${\displaystyle K}$

Заявленное доказательство категорической неразветвленной геометрической гипотезы Ленглендса было объявлено 6 мая 2024 года группой математиков, включая Денниса Гейтсгори . ^{[8] [9]} Заявленное доказательство содержится на более чем 1000 страницах в пяти статьях и было названо «настолько сложным, что почти никто не может его объяснить». Даже передача значимости результата другим математикам была описана Дринфельдом как «очень сложная, почти невозможная». ^[10]

Связь с физикой

В статье 2007 года Антон Капустин и Эдвард Виттен описали связь между геометрическим соответствием Ленглендса и S-дуальностью , свойством некоторых квантовых теорий поля . ^[11]

В 2018 году, принимая премию Абеля, Ленглендс представил доклад, в котором переформулировал геометрическую программу, используя инструменты, аналогичные его оригинальной переписке с Ленглендсом. ^{[12] [13]} Идеи Ленглендса были в дальнейшем развиты Этингофом, Френкелем и Кажданом. ^[14]

Примечания

1. Френкель 2007, стр. 3.
2. Лафорг, Лоран (2002). «Щтукас де Дринфельд, формула следов Артура-Сельберга и переписка Ленглендса». arXiv : math/0212399 .
3. Френкель 2007, стр. 3,24.
4. Френкель 2007, стр. 46.
5. Лаумон, Жерар (1987). «Геометрическая переписка Ленгленда для выполнения функций». Математический журнал Дьюка . 54 : 309–359.
6. Френкель 2007, стр. 31,46.
7. Дринфельд, Владимир Г. (1983). «Двумерные ℓ–адические представления фундаментальной группы кривой над конечным полем и автоморфные формы на GL(2)». American Journal of Mathematics . 105 : 85–114.
8. "Доказательство геометрической гипотезы Ленглендса". people.mpim-bonn.mpg.de . Получено 2024-07-09 .
9. Кларрайх, Эрика (2024-07-19). «Монументальное доказательство разрешает геометрическую гипотезу Ленглендса». Журнал Quanta . Получено 2024-07-20 .
10. Уилкинс, Алекс (20 мая 2024 г.). «Невероятное математическое доказательство настолько сложно, что почти никто не может его объяснить». New Scientist . Получено 09.07.2024 .
11. Капустин и Виттен 2007
12. «Величайший математик, о котором вы никогда не слышали». The Walrus . 2018-11-15 . Получено 2020-02-17 .
13. Ленглендс, Роберт (2018). «Об аналитическом виде геометрической теории автоморфных форм1» (PDF) . Институт перспективных исследований .
14. Этингоф, Павел и Френкель, Эдвард и Каждан, Дэвид (2019). «Аналитическая версия соответствия Ленглендса для комплексных кривых». arXiv : 1908.09677 .{{cite arXiv}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

Ссылки

• Френкель, Эдвард (2007). «Лекции по программе Ленглендса и конформной теории поля». Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II . Springer. стр. 387–533. arXiv : hep-th/0512172 . Bibcode : 2005hep.th...12172F. doi : 10.1007/978-3-540-30308-4_11. ISBN 978-3-540-30307-7. S2CID  119611071.
• Капустин, Антон; Виттен, Эдвард (2007). «Электромагнитная дуальность и геометрическая программа Ленглендса». Сообщения по теории чисел и физике . 1 (1): 1–236. arXiv : hep-th/0604151 . Bibcode :2007CNTP....1....1K. doi :10.4310/cntp.2007.v1.n1.a1. S2CID  30505126.

Внешние ссылки

• Цитаты, связанные с геометрической перепиской Ленглендса в Wikiquote
• Квантовая геометрическая переписка Ленглендса в nLab