Оптическая теорема

Теорема по физике

В физике оптическая теорема — это общий закон теории рассеяния волн , связывающий амплитуду рассеяния под нулевым углом с полным поперечным сечением рассеивателя. ^[1] Обычно ее записывают в виде

${\displaystyle \sigma ={\frac {4\pi }{k}}~\mathrm {Im} \,f(0),}$

где f (0) — амплитуда рассеяния с углом, равным нулю, то есть амплитуда волны, рассеянной в центр удаленного экрана, а k — волновой вектор в направлении падения.

Поскольку оптическая теорема выведена с использованием только закона сохранения энергии , или в квантовой механике из закона сохранения вероятности , оптическая теорема широко применима и в квантовой механике включает как упругое, так и неупругое рассеяние. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {tot} }}$

Обобщенная оптическая теорема , впервые выведенная Вернером Гейзенбергом , следует из условия унитарности и задается формулой ^[2]

${\displaystyle f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')-f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} )={\frac {ik}{2\pi }}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')f^{*}(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')\,d\Omega ''}$

где — амплитуда рассеяния, зависящая от направления падающей волны и направления рассеяния, а — дифференциальный телесный угол . Когда , приведенное выше соотношение приводит к оптической теореме, поскольку левая часть — это всего лишь удвоенная мнимая часть и , поскольку . Для рассеяния в центрально-симметричном поле зависит только от угла между и , в этом случае приведенное выше соотношение сводится к ${\displaystyle f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} '}$ ${\displaystyle d\Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {n} '}$ ${\displaystyle f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} )}$ ${\displaystyle \sigma =\int |f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')|^{2}\,d\Omega ''}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} '}$

${\displaystyle \mathrm {Im} f(\theta )={\frac {k}{4\pi }}\int f(\gamma )f(\gamma ')\,d\Omega ''}$

где и — углы между и и некоторым направлением . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma '}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} '}$ ${\displaystyle \mathbf {n} ''}$

История

Оптическая теорема была первоначально разработана независимо Вольфгангом Зельмейером ^[3] и лордом Рэлеем в 1871 году. ^{[4] Лорд Рэлей распознал} амплитуду рассеяния под нулевым углом в терминах показателя преломления как

${\displaystyle n=1+2\pi {\frac {Nf(0)}{k^{2}}}}$

(где N — плотность числа рассеивателей), которую он использовал при изучении цвета и поляризации неба.

Уравнение было позднее распространено на квантовую теорию рассеяния несколькими людьми и стало известно как соотношение Бора–Пайерлса–Плачека после статьи 1939 года. Впервые оно было упомянуто как «оптическая теорема» в печати в 1955 году Гансом Бете и Фредериком де Хоффманом , после того как оно некоторое время было известно как «хорошо известная теорема оптики».

Вывод

Теорема может быть выведена довольно непосредственно из рассмотрения скалярной волны . Если плоская волна падает вдоль положительной оси z на объект, то амплитуда рассеяния волны на большом расстоянии от рассеивателя приблизительно определяется как

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\approx e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}.}$

Все более высокие члены, возведенные в квадрат, исчезают быстрее, чем , и поэтому ими можно пренебречь на большом расстоянии. Для больших значений и для малых углов разложение Тейлора дает нам ${\displaystyle 1/r^{2}}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\approx z+{\frac {x^{2}+y^{2}}{2z}}.}$

Теперь мы хотели бы использовать тот факт, что интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды . Аппроксимируя как , мы имеем ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle 1/r}$ ${\displaystyle 1/z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi |^{2}&\approx \left|e^{ikz}+{\frac {f(\theta )}{z}}e^{ikz}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\right|^{2}\\&=1+{\frac {f(\theta )}{z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}+{\frac {f^{*}(\theta )}{z}}e^{-ik(x^{2}+y^{2})/2z}+{\frac {|f(\theta )|^{2}}{z^{2}}}.\end{aligned}}}$

Если мы отбросим этот термин и воспользуемся тем фактом, что , то получим ${\displaystyle 1/z^{2}}$ ${\displaystyle c+c^{*}=2\operatorname {Re} {c}}$

${\displaystyle |\psi |^{2}\approx 1+2\operatorname {Re} {\left[{\frac {f(\theta )}{z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\right]}.}$

Теперь предположим, что мы интегрируем по экрану, далекому в плоскости xy , который достаточно мал для того, чтобы приближения малых углов были уместны, но достаточно велик, чтобы мы могли интегрировать интенсивность по x и y с пренебрежимо малой ошибкой. В оптике это эквивалентно суммированию по многим полосам дифракционной картины . Методом стационарной фазы мы можем аппроксимировать в следующем интеграле. Получаем ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f(\theta )=f(0)}$

${\displaystyle \int |\psi |^{2}\,dx\,dy\approx A+2\operatorname {Re} \left[{\frac {f(0)}{z}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ikx^{2}/2z}dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{iky^{2}/2z}dy\right],}$

где A — площадь поверхности, проинтегрированная по. Хотя это и несобственные интегралы, с помощью подходящих подстановок экспоненты можно преобразовать в комплексные гауссианы , а определенные интегралы оценить, получив в результате:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int |\psi |^{2}\,da&=A+2\operatorname {Re} \left[{\frac {f(0)}{z}}\,{\frac {2\pi iz}{k}}\right]\\&=A-{\frac {4\pi }{k}}\,\operatorname {Im} [f(0)].\end{aligned}}}$

Это вероятность достижения экрана, если бы ничего не рассеивалось, уменьшенная на величину , которая, следовательно, является эффективным сечением рассеяния рассеивателя. ${\displaystyle (4\pi /k)\operatorname {Im} [f(0)]}$

Смотрите также

• S-матрица
• Соотношения Крамерса–Кронига § Адронное рассеяние
• Унитарность (физика) § Амплитуда рассеяния и оптическая теорема

Ссылки

1. "Эффективная площадь рассеяния, Оптическая теорема, Приближение физической оптики, Излучение линейными источниками" на YouTube
2. Ландау, Л. Д. и Лифшиц, Э. М. (2013). Квантовая механика: нерелятивистская теория (т. 3). Elsevier.
3. В оригинальной публикации его имя опущено, однако его можно вывести из нескольких других публикаций, опубликованных им в том же журнале. Один веб-источник сообщает, что он был бывшим учеником Франца Эрнста Неймана . В остальном о Зельмайере мало что известно.
4. Strutt, JW (1871). XV. О свете с неба, его поляризации и цвете. Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал, 41(271), 107-120.

• Роджер Г. Ньютон (1976). «Оптическая теорема и далее». Am. J. Phys . 44 (7): 639–642. Bibcode : 1976AmJPh..44..639N. doi : 10.1119/1.10324.
• Джон Дэвид Джексон (1999). Классическая электродинамика . Hamilton Printing Company. ISBN 0-471-30932-X.