Дисперсионное соотношение

Связь длины волны/волнового числа как функция частоты волны

В призме дисперсия заставляет разные цвета преломляться под разными углами, разделяя белый свет на радугу цветов.

В физических науках и электротехнике дисперсионные соотношения описывают влияние дисперсии на свойства волн в среде. Дисперсионное соотношение связывает длину волны или волновое число волны с ее частотой . Учитывая дисперсионное соотношение, можно рассчитать зависящую от частоты фазовую скорость и групповую скорость каждой синусоидальной компоненты волны в среде как функцию частоты. В дополнение к дисперсионным соотношениям, зависящим от геометрии и материала, общие соотношения Крамерса-Кронига описывают частотную зависимость распространения и затухания волн .

Дисперсия может быть вызвана либо геометрическими граничными условиями ( волноводы , мелководье), либо взаимодействием волн с передающей средой. Элементарные частицы , рассматриваемые как волны материи , имеют нетривиальное соотношение дисперсии даже при отсутствии геометрических ограничений и других сред.

При наличии дисперсии волна не распространяется с неизменной формой волны, что приводит к четко выраженной частотно-зависимой фазовой скорости и групповой скорости .

Дисперсия

Дисперсия возникает, когда синусоидальные волны разной длины имеют разные скорости распространения, так что волновой пакет смешанных длин имеет тенденцию распространяться в пространстве. Скорость плоской волны зависит от длины волны : ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle v=v(\lambda ).}$

Скорость волны, длина волны и частота f связаны тождеством

${\displaystyle v(\lambda )=\lambda \ f(\lambda ).}$

Функция выражает закон дисперсии данной среды. Дисперсионные соотношения чаще выражаются через угловую частоту и волновое число . Переписывание приведенного выше отношения в этих переменных дает ${\displaystyle f(\lambda )}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$

${\displaystyle \omega (k)=v(k)\cdot k.}$

где мы теперь рассматриваем f как функцию от k . Использование ω ( k ) для описания дисперсионного уравнения стало стандартным, поскольку как фазовая скорость ω / k , так и групповая скорость dω / dk имеют удобные представления через эту функцию.

Рассматриваемые плоские волны можно описать формулой

${\displaystyle A(x,t)=A_{0}e^{2\pi i{\frac {x-vt}{\lambda }}}=A_{0}e^{i(kx-\omega t)},}$

где

• А – амплитуда волны,
• А ₀ = А (0, 0),
• x - положение вдоль направления движения волны, а
• t — время описания волны.

Плоские волны в вакууме

Плоские волны в вакууме — это простейший случай распространения волн: нет геометрических ограничений, нет взаимодействия с передающей средой.

Электромагнитные волны в вакууме

Для электромагнитных волн в вакууме угловая частота пропорциональна волновому числу:

${\displaystyle \omega =ck.}$

Это линейное дисперсионное соотношение. В этом случае фазовая скорость и групповая скорость совпадают:

${\displaystyle v={\frac {\omega }{k}}={\frac {d\omega }{dk}}=c,}$

и, таким образом, обе они равны скорости света в вакууме, которая не зависит от частоты.

Дисперсионные соотношения де Бройля

Для волн материи де Бройля соотношение частотной дисперсии нелинейно:

$${\displaystyle \omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}$$

${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle \hbar \omega _{0}=m_{0}c^{2}}$

Вывод

Хотя применение волн материи происходит с нерелятивистской скоростью, де Бройль применил специальную теорию относительности для получения своих волн. Исходя из релятивистского соотношения энергии и импульса :

$${\displaystyle E^{2}=(p{\textrm {c}})^{2}+\left(m_{0}{\textrm {c}}^{2}\right)^{2}\,}$$

соотношения де Бройляволн материи

${\displaystyle E=\hbar \omega \,,\quad \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \,,}$

где ω — угловая частота , а k — волновой вектор величины | к | = k , равный волновому числу . Разделите на и извлеките квадратный корень. Это дает релятивистское соотношение частотной дисперсии : ${\displaystyle \hbar }$

$${\displaystyle \omega (k)={\sqrt {k^{2}c^{2}+\left({\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}\right)^{2}}}\,.}$$

Практическая работа с волнами материи происходит на нерелятивистской скорости. Для аппроксимации мы извлекаем частоту, зависящую от массы покоя:

$${\displaystyle \omega ={\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}{\sqrt {1+\left({\frac {k\hbar }{m_{0}c}}\right)^{2}}}\,.}$$

Затем мы видим, что коэффициент очень мал, поэтому, если он не слишком велик, мы расширяем и умножаем: ${\displaystyle \hbar /c}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\sqrt {1+x^{2}}}\approx 1+x^{2}/2,}$

$${\displaystyle \omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}$$

уравнения Шредингера,

Частота в зависимости от волнового числа

Как упоминалось выше, когда основное внимание в среде уделяется преломлению, а не поглощению, то есть реальной части показателя преломления , обычно функциональную зависимость угловой частоты от волнового числа называют дисперсионным соотношением . Для частиц это означает знание энергии как функции импульса.

Волны и оптика

Название «отношение дисперсии» изначально пришло из оптики . Можно сделать эффективную скорость света зависимой от длины волны, заставляя свет проходить через материал с непостоянным показателем преломления или используя свет в неоднородной среде, такой как волновод . В этом случае форма сигнала будет растекаться во времени, так что узкий импульс станет расширенным, т. е. рассредоточится. В этих материалах она известна как групповая скорость ^[1] и соответствует скорости, с которой распространяется пик импульса, величине, отличной от фазовой скорости . ^[2] ${\displaystyle {\frac {\partial \omega }{\partial k}}}$

Глубокие водные волны

Частотная дисперсия поверхностных гравитационных волн на глубокой воде. Красный квадрат ■ движется с фазовой скоростью, а зеленые точки ● распространяются с групповой скоростью. В этом глубоководном случае фазовая скорость в два раза превышает групповую скорость. ■ Красный квадрат пересекает фигуру за время, необходимое ● зеленой точке , чтобы пройти половину.

Дисперсионное соотношение для глубоководных волн часто записывается как

${\displaystyle \omega ={\sqrt {gk}},}$

где g — ускорение свободного падения. В этом отношении глубокой водой обычно называют случай, когда глубина воды превышает половину длины волны. ^[3] В этом случае фазовая скорость равна

${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\sqrt {\frac {g}{k}}},}$

а групповая скорость равна

${\displaystyle v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {1}{2}}v_{p}.}$

Волны на веревке

Двухчастотные биения недисперсионной поперечной волны. Поскольку волна недисперсионная, ● фазовая и ● групповая скорости равны.

Для идеальной струны дисперсионное соотношение можно записать как

${\displaystyle \omega =k{\sqrt {\frac {T}{\mu }}},}$

где T — сила натяжения струны, а μ — масса струны на единицу длины. Что касается электромагнитных волн в вакууме, то идеальные струны являются, таким образом, недисперсионной средой, т.е. фазовая и групповая скорости равны и не зависят (в первом порядке) от частоты колебаний.

Для неидеальной струны с учетом жесткости дисперсионное уравнение записывается как

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {T}{\mu }}k^{2}+\alpha k^{4},}$

где — константа, зависящая от строки. ${\displaystyle \alpha }$

Электронно-зонная структура

При изучении твердых тел первостепенное значение имеет изучение закона дисперсии электронов. Периодичность кристаллов означает, что для данного импульса возможны многие уровни энергии и что некоторые энергии могут быть недоступны ни при каком импульсе. Совокупность всех возможных энергий и импульсов известна как зонная структура материала. Свойства зонной структуры определяют, является ли материал изолятором , полупроводником или проводником .

Фононы

Фононы должны излучать звуковые волны в твердом теле так же, как фотоны — свет: они являются квантами, которые его переносят. Закон дисперсии фононов также нетривиален и важен, поскольку он напрямую связан с акустическими и тепловыми свойствами материала. Для большинства систем фононы можно разделить на два основных типа: те, чьи полосы становятся нулевыми в центре зоны Бриллюэна , называются акустическими фононами , поскольку они соответствуют классическому звуку в пределе длинных волн. Остальные являются оптическими фононами , поскольку могут возбуждаться электромагнитным излучением.

Электронная оптика

С электронами высокой энергии (например, 200 кэВ, 32 фДж) в просвечивающем электронном микроскопе энергетическая зависимость линий зоны Лауэ более высокого порядка (HOLZ) на картинах дифракции электронов сходящегося пучка (CBED) позволяет, по сути, напрямую изображение поперечного сечения трехмерной дисперсионной поверхности кристалла . ^[4] Этот динамический эффект нашел применение при точном измерении параметров решетки, энергии пучка, а в последнее время и в электронной промышленности: деформации решетки.

История

Исаак Ньютон изучал преломление в призмах, но не смог признать материальную зависимость соотношения дисперсии, отвергнув работу другого исследователя, чьи измерения дисперсии призмы не совпадали с измерениями Ньютона. ^[5]

Дисперсию волн на воде изучал Пьер-Симон Лаплас в 1776 году. ^[6]

Универсальность соотношений Крамерса-Кронига (1926–27) стала очевидной в последующих работах о связи дисперсионного соотношения с причинностью в теории рассеяния всех типов волн и частиц. ^[7]

Смотрите также

• Эллипсометрия
• Ультракороткий импульс
• Волны в плазме

Рекомендации

1. Ф.А. Дженкинс и Х.Э. Уайт (1957). Основы оптики . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 223. ИСБН 0-07-032330-5.
2. Р. А. Сервей, К. Дж. Мозес и К. А. Мойер (1989). Современная физика . Филадельфия: Сондерс. п. 118. ИСБН 0-534-49340-8.
3. Р.Г. Дин и Р.А. Далримпл (1991). Механика волн на воде для инженеров и ученых . Расширенная серия по океанской инженерии. Том. 2. World Scientific, Сингапур. ISBN 978-981-02-0420-4.См. стр. 64–66.
4. Премьер-министр Джонс, генеральный директор Рэкхэм и Дж. В. Стидс (1977). «Эффекты зоны Лауэ высшего порядка в дифракции электронов и их использование для определения параметров решетки». Труды Королевского общества . A 354 (1677): 197. Бибкод : 1977RSPSA.354..197J. дои : 10.1098/rspa.1977.0064. S2CID  98158162.
5. Вестфолл, Ричард С. (1983). Никогда не отдыхайте: биография Исаака Ньютона (иллюстрированное, исправленное издание). Кембриджский университет. п. 276. ИСБН 9780521274357.
6. ДОБАВИТЬ Крейк (2004). «Истоки теории волн на воде». Ежегодный обзор механики жидкости . 36 : 1–28. Бибкод : 2004AnRFM..36....1C. doi : 10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118.
7. Джон С. Толл (1956). «Причинность и отношение дисперсии: логические основы». Физ. Преподобный . 104 (6): 1760–1770. Бибкод : 1956PhRv..104.1760T. дои : 10.1103/PhysRev.104.1760.

Внешние ссылки

• Плакат о моделировании CBED для визуализации дисперсионных поверхностей, авторы Андрей Чувилин и Уте Кайзер
• Калькулятор угловой частоты