отношения Грина

В математике отношения Грина — это пять отношений эквивалентности , которые характеризуют элементы полугруппы в терминах главных идеалов, которые они порождают. Отношения названы в честь Джеймса Александра Грина , который ввел их в статье 1951 года. Джон Макинтош Хауи , выдающийся теоретик полугрупп, описал эту работу как «настолько всепроникающую, что при столкновении с новой полугруппой почти первым вопросом, который задают, является: «Каковы отношения Грина?»» (Хауи 2002). Отношения полезны для понимания природы делимости в полугруппе; они также справедливы для групп , но в этом случае не говорят нам ничего полезного, потому что группы всегда обладают делимостью.

Вместо того, чтобы работать напрямую с полугруппой S , удобно определить отношения Грина над моноидом S ¹ . ( S ¹ — это « S с присоединенной при необходимости единицей»; если S уже не является моноидом, присоединяется новый элемент и определяется как единица.) Это гарантирует, что главные идеалы, порожденные некоторым элементом полугруппы, действительно содержат этот элемент. Для элемента a из S соответствующие идеалы следующие:

• Главный левый идеал, порожденный : . Это то же самое , что , то есть . ${\displaystyle S^{1}a=\{sa\mid s\in S^{1}\}}$ ${\displaystyle \{sa\mid s\in S\}\cup \{a\}}$ ${\displaystyle Sa\cup \{a\}}$
• Главный правый идеал, порожденный : , или эквивалентно . ${\displaystyle aS^{1}=\{as\mid s\in S^{1}\}}$ ${\displaystyle aS\cup \{a\}}$
• Главный двусторонний идеал, порожденный : , или . ${\displaystyle S^{1}aS^{1}}$ ${\displaystyle SaS\cup aS\cup Sa\cup \{a\}}$

Отношения L, R и J

Для элементов a и b из S отношения Грина L , R и J определяются как

• a L b тогда и только тогда, когда S ¹ a = S ¹ b .
• a R b тогда и только тогда, когда a S ¹ = b S ¹ .
• a J b тогда и только тогда, когда S ¹ a S ¹ = S ¹ b S ¹ .

То есть, a и b являются L -связанными, если они порождают один и тот же левый идеал; R -связанными, если они порождают один и тот же правый идеал; и J -связанными, если они порождают один и тот же двусторонний идеал. Это отношения эквивалентности на S , поэтому каждое из них дает разбиение S на классы эквивалентности. L -класс a обозначается L _a (и аналогично для других отношений). L -классы и R -классы могут быть эквивалентно поняты как сильно связанные компоненты левого и правого графов Кэли S 1 . ^[1] Кроме того, отношения L , R , и J определяют три предпорядка ≤ _L , ≤ _R , и ≤ _J , где ^a ≤ J _b выполняется для двух элементов a и b из S, если идеал, порожденный a, включен в идеал b , т. е. S ¹ a S ¹ ⊆ S ¹ b S ¹ , и ≤ _L и ≤ _R определяются аналогично. ^[2]

Грин использовал строчную черную букву , и для этих отношений, и писал для a L b (и аналогично для R и J ). Математики сегодня склонны использовать вместо этого письменные буквы, такие как , и заменяют модульную арифметическую нотацию Грина на инфиксный стиль, используемый здесь. Обычные буквы используются для классов эквивалентности. ${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$ ${\displaystyle a\equiv b({\mathfrak {l}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Отношения L и R являются двойственными слева-справа друг к другу; теоремы, касающиеся одного из них, могут быть переведены в аналогичные утверждения о другом. Например, L является правосовместимым : если a L b и c является другим элементом S , то ac L bc . Двойственно, R является левосовместимым : если a R b , то ca R cb .

Если S коммутативно, то L , R и J совпадают.

Отношения H и D

Остальные соотношения выводятся из L и R. Их пересечение — H :

a H ​​b тогда и только тогда, когда a L b и a R b .

Это также отношение эквивалентности на S. Класс H _a является пересечением L _a и R _a . В более общем случае пересечение любого L -класса с любым R -классом является либо H -классом, либо пустым множеством.

Теорема Грина утверждает, что для любого -класса H полугруппы S выполняется либо (i) , либо (ii), и H является подгруппой S . Важным следствием является то, что класс эквивалентности H _e , где e - идемпотент , является подгруппой S (его единица - e , и все элементы имеют обратные элементы), и действительно является наибольшей подгруппой S , содержащей e . Никакой -класс не может содержать более одного идемпотента, поэтому является идемпотентом разделяющим . В моноиде M класс H ₁ традиционно называется группой единиц . ^{[3] (Остерегайтесь того, что единица не означает единицу в этом контексте, т.е. в общем случае в} H ₁ есть неединичные элементы . Термин «единица» происходит из теории колец .) Например, в моноиде преобразований на n элементах, T _n , группа единиц - это симметрическая группа S _n . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle H^{2}\cap H=\emptyset }$ ${\displaystyle H^{2}\subseteq H}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Наконец, D определяется как a D b тогда и только тогда, когда существует c в S, такой что a L c и c R b . На языке решеток D является объединением L и R . (Объединение для отношений эквивалентности обычно сложнее определить, но в этом случае оно упрощается тем фактом, что a L c и c R b для некоторого c тогда и только тогда , когда a R d и d L b для некоторого d .)

Так как D — наименьшее отношение эквивалентности, содержащее как L , так и R , мы знаем, что a D b влечет a J b — поэтому J содержит D. В конечной полугруппе D и J одинаковы, ^[4] как и в рациональном моноиде . ^{[5] [ необходимо разъяснение ]} Кроме того, они также совпадают в любой эпигруппе . ^[6]

Существует также формулировка D в терминах классов эквивалентности, выведенная непосредственно из приведенного выше определения: ^[7]

a D b тогда и только тогда, когда пересечение R _a и L _b не пусто.

Следовательно, D -классы полугруппы можно рассматривать как объединения L -классов, как объединения R -классов или как объединения H -классов. Клиффорд и Престон (1961) предлагают рассматривать эту ситуацию в терминах «яичной коробки»: ^[8]

Каждая строка яиц представляет собой R -класс, а каждый столбец - L -класс; сами яйца являются H -классами. Для группы есть только одно яйцо, потому что все пять соотношений Грина совпадают и делают все элементы группы эквивалентными. Противоположный случай, обнаруженный, например, в бициклической полугруппе , - это когда каждый элемент находится в своем собственном H -классе. Ящик для яиц для этой полугруппы будет содержать бесконечно много яиц, но все яйца находятся в одном ящике, потому что есть только один D -класс. (Полугруппа, для которой все элементы являются D -связанными, называется бипростой .)

Можно показать, что внутри D -класса все H -классы имеют одинаковый размер. Например, полугруппа преобразований T ₄ содержит четыре D -класса, внутри которых H -классы имеют 1, 2, 6 и 24 элемента соответственно.

Недавние достижения в комбинаторике полугрупп использовали отношения Грина для перечисления полугрупп с определенными свойствами. Типичный результат (Сато, Яма и Токизава 1994) показывает, что существует ровно 1 843 120 128 неэквивалентных полугрупп порядка 8, включая 221 805, которые являются коммутативными; их работа основана на систематическом исследовании возможных D -классов. (В отличие от этого, существует только пять групп порядка 8. )

Пример

Полная полугруппа преобразований T ₃ состоит из всех функций из множества {1, 2, 3} в себя; их 27. Запишем ( a b c ) для функции, которая переводит 1 в a , 2 в b и 3 в c . Поскольку T ₃ содержит тождественное отображение (1 2 3), нет необходимости присоединять тождество.

Диаграмма «яйцо-ящик» для T ₃ имеет три D -класса. Они также являются J -классами, поскольку эти отношения совпадают для конечной полугруппы.

В T ₃ две функции L -связаны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же образ . Такие функции появляются в одном столбце таблицы выше. Аналогично, функции f и g являются R -связанными тогда и только тогда, когда

f ( х ) = f ( у ) ⇔ г ( х ) = г ( у )

для x и y в {1, 2, 3}; такие функции находятся в одной строке таблицы. Следовательно, две функции являются D -связанными тогда и только тогда, когда их изображения имеют одинаковый размер.

Элементы, выделенные жирным шрифтом, являются идемпотентами. Любой H -класс, содержащий один из них, является (максимальной) подгруппой. В частности, третий D -класс изоморфен симметрической группе S ₃ . Также имеется шесть подгрупп порядка 2 и три порядка 1 (а также подгруппы этих подгрупп). Шесть элементов T ₃ не входят ни в одну подгруппу.

Обобщения

По сути, существует два способа обобщения алгебраической теории. Один из них — изменить ее определения так, чтобы она охватывала больше или другие объекты; другой, более тонкий способ — найти некий желаемый результат теории и рассмотреть альтернативные способы достижения этого вывода.

Следуя первому пути, аналогичные версии соотношений Грина были определены для полуколец (Grillet 1970) и колец (Petro 2002). Некоторые, но не все, свойства, связанные с отношениями в полугруппах, переносятся на эти случаи. Оставаясь в мире полугрупп, отношения Грина можно расширить, чтобы охватить относительные идеалы, которые являются подмножествами, являющимися идеалами только относительно подполугруппы (Wallace 1963).

Для второго вида обобщения исследователи сосредоточились на свойствах биекций между L - и R - классами. Если x R y , то всегда можно найти биекции между L _x и L _y , которые сохраняют R -класс. (То есть, если два элемента L -класса находятся в одном R -классе, то их образы при биекции все равно будут в одном R -классе.) Двойственное утверждение для x L y также справедливо. Эти биекции являются правыми и левыми переносами, ограниченными соответствующими классами эквивалентности. Возникает вопрос: как еще могут быть такие биекции?

Предположим, что Λ и Ρ — полугруппы частичных преобразований некоторой полугруппы S. При определенных условиях можно показать, что если x Ρ = y Ρ, причем x ρ ₁ = y и y ρ ₂ = x , то ограничения

ρ ₁  : Λx → Λy

ρ ₂  : Λy → Λx

являются взаимно обратными биекциями. (Обычно аргументы записываются справа для Λ и слева для Ρ.) Тогда отношения L и R можно определить следующим образом:

x L y тогда и только тогда, когда Λ x = Λ y

x R y тогда и только тогда, когда x Ρ = y Ρ

и D и H следуют как обычно. Обобщение J не является частью этой системы, поскольку оно не играет никакой роли в желаемом свойстве.

Мы называем (Λ, Ρ) парой Грина . Существует несколько вариантов полугруппы частичных преобразований, которые дают исходные соотношения. Одним из примеров может быть взятие Λ в качестве полугруппы всех левых трансляций на S ¹ , ограниченной S , а Ρ — соответствующей полугруппы ограниченных правых трансляций.

Эти определения принадлежат Кларку и Карруту (1980). Они включают в себя работу Уоллеса, а также различные другие обобщенные определения, предложенные в середине 1970-х годов. Полные аксиомы довольно длинные для формулировки; неформально, наиболее важными требованиями являются то, что и Λ, и Ρ должны содержать тождественное преобразование, и что элементы Λ должны коммутировать с элементами Ρ.

Смотрите также

• Группа Шутценбергера

Ссылки

1. «Как можно использовать отношения Грина, чтобы узнать о моноиде?». Stack Exchange . 19 ноября 2015 г.
2. Джонсон, Марианна; Камбитс, Марк (2011). «J-порядок Грина и ранг тропических матриц». arXiv : 1102.2707 [math.RA].
3. Хауи, стр. 171
4. Гомес, Пин и Сильва (2002), с. 94
5. Сакарович, Жак (сентябрь 1987 г.). «Легкие умножения I. Область теоремы Клини». Информация и вычисления . 74 (3): 173–197. doi :10.1016/0890-5401(87)90020-4. Zbl  0642.20043.
6. Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Oxford University Press. стр. 28. ISBN 978-0-19-853577-5.
7. Лоусон (2004) стр. 219
8. Лоусон (2004) стр. 220

• CE Clark и JH Carruth (1980) Обобщенные теории Грина , Semigroup Forum 20(2); 95–127.
• А. Х. Клиффорд и Г. Б. Престон (1961) Алгебраическая теория полугрупп , том 1, (1967) том 2, Американское математическое общество , Соотношения Грина вводятся в главе 2 первого тома.
• JA Green (июль 1951 г.) «О структуре полугрупп», Annals of Mathematics (вторая серия) 54(1): 163–172.
• Grillet, Mireille P. (1970). «Соотношения Грина в полукольце». Port. Math . 29 : 181–195. Zbl  0227.16029.
• Джон М. Хауи (1976) Введение в теорию полугрупп , Academic Press ISBN 0-12-356950-8 . Обновленная версия доступна как Fundamentals of Semigroup Theory , Oxford University Press , 1995. ISBN 0-19-851194-9 .  
• Джон М. Хауи (2002) «Полугруппы, прошлое, настоящее и будущее», Труды Международной конференции по алгебре и ее приложениям , Университет Чулалонгкорн , Таиланд
• Лоусон, Марк В. (2004). Конечные автоматы . Чепмен и Холл/CRC. ISBN 1-58488-255-7. Збл  1086.68074.
• Петрак Петро (2002) Отношения Грина и минимальные квазиидеалы в кольцах , Сообщения по алгебре 30(10): 4677–4686.
• С. Сато, К. Яма и М. Токизава (1994) «Полугруппы порядка 8», Semigroup Forum 49: 7–29.
• Gomes, GMS; Pin, JE; Silva, JE (2002). Полугруппы, алгоритмы, автоматы и языки. Труды семинаров, проведенных в Международном центре математики, CIM, Коимбра, Португалия, май, июнь и июль 2001 г. World Scientific . ISBN 978-981-238-099-9. Збл  1005.00031.