Соотношение Хассе–Дэвенпорта

Two identities for Gauss sums

Соотношения Хассе–Дэвенпорта , введенные Дэвенпортом и Хассе  (1935), представляют собой два связанных тождества для сумм Гаусса , одно из которых называется соотношением подъема Хассе–Дэвенпорта , а другое — соотношением произведения Хассе–Дэвенпорта . Соотношение подъема Хассе–Дэвенпорта — это равенство в теории чисел, связывающее суммы Гаусса над различными полями. Вайль (1949) использовал его для вычисления дзета-функции гиперповерхности Ферма над конечным полем , что послужило основанием для гипотез Вейля .

Суммы Гаусса являются аналогами гамма -функции над конечными полями, а соотношение произведения Хассе–Дэвенпорта является аналогом формулы умножения Гаусса

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{k}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{k}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {k-1}{k}}\right)=(2\pi )^{\frac {k-1}{2}}\;k^{1/2-kz}\;\Gamma (kz).\,\!}$

Фактически соотношение произведений Хассе–Дэвенпорта следует из аналогичной формулы умножения для p -адических гамма-функций вместе с формулой Гросса–Коблица Гросса и Коблица (1979).

Соотношение подъема Хассе–Дэвенпорта

Пусть F — конечное поле с q элементами, а F _s — поле такое, что [ F _s : F ] = s , то есть s — размерность векторного пространства F _s над F .

Пусть будет элементом . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle F_{s}}$

Пусть — мультипликативный символ из F в комплексные числа. ${\displaystyle \chi }$

Пусть будет нормой от до определяемой формулой ${\displaystyle N_{F_{s}/F}(\alpha )}$ ${\displaystyle F_{s}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle N_{F_{s}/F}(\alpha ):=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdots \alpha ^{q^{s-1}}.\,}$

Пусть будет мультипликативным характером, на котором находится композиция с нормой от F _s до F , то есть ${\displaystyle \chi '}$ ${\displaystyle F_{s}}$ ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi '(\alpha ):=\chi (N_{F_{s}/F}(\alpha ))}$

Пусть ψ — некоторый нетривиальный аддитивный характер F , и пусть — аддитивный характер, на котором выполняется композиция со следом от F _s до F , то есть ${\displaystyle \psi '}$ ${\displaystyle F_{s}}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi '(\alpha ):=\psi (Tr_{F_{s}/F}(\alpha ))}$

Позволять

${\displaystyle \tau (\chi ,\psi )=\sum _{x\in F}\chi (x)\psi (x)}$

будет суммой Гаусса по F , и пусть будет суммой Гаусса по . ${\displaystyle \tau (\chi ',\psi ')}$ ${\displaystyle F_{s}}$

Тогда соотношение подъема Хассе–Дэвенпорта утверждает, что

${\displaystyle (-1)^{s}\cdot \tau (\chi ,\psi )^{s}=-\tau (\chi ',\psi ').}$

Соотношение Хассе–Дэвенпорта

Соотношение Хассе-Дэвенпорта утверждает, что

${\displaystyle \prod _{a{\bmod {m}}}\tau (\chi \rho ^{a},\psi )=-\chi ^{-m}(m)\tau (\chi ^{m},\psi )\prod _{a{\bmod {m}}}\tau (\rho ^{a},\psi )}$

где ρ — мультипликативный характер точного порядка m, делящий q –1, χ — любой мультипликативный характер, а ψ — нетривиальный аддитивный характер.

Ссылки

• Давенпорт, Гарольд; Хассе, Хельмут (1935), «Die Nullstellen der Kongruenzzetafunktionen in gewissen zyklischen Fällen. (О нулях конгруэнтных дзета-функций в некоторых циклических случаях)», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке), 172 : 151– 182, ИССН  0075-4102, Збл  0010.33803
• Гросс, Бенедикт Х.; Коблиц, Нил (1979), «Суммы Гаусса и p-адическая Γ-функция», Annals of Mathematics , вторая серия, 109 (3): 569–581, doi :10.2307/1971226, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971226, MR  0534763
• Айрленд, Кеннет; Розен, Майкл (1990). Классическое введение в современную теорию чисел . Springer. стр. 158–162. ISBN 978-0-387-97329-6.
• Вайль, Андре (1949), «Числа решений уравнений в конечных полях» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 55 (5): 497–508, doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 , ISSN  0002-9904, MR  0029393Перепечатано в Oeuvres Scientifiques/Сборник статей Андре Вейля ISBN 0-387-90330-5