Принцип неопределенности

Основополагающий принцип квантовой физики

Правило канонической коммутации для переменных положения q и импульса p частицы, 1927. pq − qp = h /(2 πi ). Принцип неопределенности Гейзенберга, 1927.

Принцип неопределенности , также известный как принцип неопределенности Гейзенберга , является фундаментальной концепцией квантовой механики . Он утверждает, что существует предел точности, с которой некоторые пары физических свойств, такие как положение и импульс , могут быть одновременно известны. Другими словами, чем точнее измеряется одно свойство, тем менее точно может быть известно другое свойство.

Более формально, принцип неопределенности — это любое из множества математических неравенств , утверждающих фундаментальный предел для произведения точности определенных связанных пар измерений в квантовой системе, таких как положение x и импульс p . ^[1] Такие парные переменные известны как дополнительные переменные или канонически сопряженные переменные .

Впервые введенное в 1927 году немецким физиком Вернером Гейзенбергом [ ^{2] [3] [4] [5]} формальное неравенство, связывающее стандартное отклонение положения σ _x и стандартное отклонение импульса σ _p, было выведено Эрлом Гессе Кеннардом ^[6] позднее в том же году и Германом Вейлем ^[7] в 1928 году:

${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

где - приведенная постоянная Планка . ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$

Квинтэссенция принципа неопределенности квантовой механики проявляется во многих формах, отличных от положения-импульса. Соотношение энергия-время широко используется для связи времени жизни квантового состояния с измеренной шириной энергии, но его формальный вывод чреват запутанными вопросами о природе времени. Основной принцип был расширен в многочисленных направлениях; его следует учитывать во многих видах фундаментальных физических измерений.

Позиция-импульс

Суперпозиция нескольких плоских волн для формирования волнового пакета. Этот волновой пакет становится все более локализованным при добавлении многих волн. Преобразование Фурье — это математическая операция, которая разделяет волновой пакет на отдельные плоские волны. Показанные здесь волны являются реальными только для иллюстративных целей; в квантовой механике волновая функция, как правило, комплексная .

Крайне важно проиллюстрировать, как этот принцип применяется к относительно понятным физическим ситуациям, поскольку он неразличим в макроскопических ^[8] масштабах, которые воспринимает человек. Две альтернативные структуры квантовой физики предлагают различные объяснения принципа неопределенности. Картина волновой механики принципа неопределенности более визуально интуитивна, но более абстрактная картина матричной механики формулирует его таким образом, что его легче обобщать.

Математически в волновой механике соотношение неопределенности между положением и импульсом возникает из-за того, что выражения волновой функции в двух соответствующих ортонормальных базисах в гильбертовом пространстве являются преобразованиями Фурье друг друга (т. е. положение и импульс являются сопряженными переменными ). Ненулевая функция и ее преобразование Фурье не могут быть одновременно резко локализованы. ^[9] Подобный компромисс между дисперсиями сопряженных Фурье функций возникает во всех системах, в основе которых лежит анализ Фурье, например, в звуковых волнах: чистый тон представляет собой острый всплеск на одной частоте, в то время как его преобразование Фурье дает форму звуковой волны во временной области, которая является полностью делокализованной синусоидальной волной. В квантовой механике два ключевых момента заключаются в том, что положение частицы принимает форму материальной волны, а импульс является ее сопряженной Фурье функцией, что обеспечивается соотношением де Бройля p = ħk , где k — волновое число .

В матричной механике , математической формулировке квантовой механики , любая пара некоммутирующих самосопряженных операторов, представляющих наблюдаемые, подвержена аналогичным пределам неопределенности. Собственное состояние наблюдаемой представляет состояние волновой функции для определенного значения измерения (собственного значения). Например, если выполняется измерение наблюдаемой A , то система находится в определенном собственном состоянии Ψ этой наблюдаемой. Однако конкретное собственное состояние наблюдаемой A не обязательно должно быть собственным состоянием другой наблюдаемой B : если это так, то для него нет уникального связанного измерения, поскольку система не находится в собственном состоянии этой наблюдаемой. ^[10]

Визуализация

Принцип неопределенности можно визуализировать с помощью волновых функций пространства положения и импульса для одной бесспиновой частицы с массой в одном измерении.

Чем более локализована волновая функция пространства положения, тем более вероятно, что частица будет найдена с координатами положения в этой области, и, соответственно, волновая функция пространства импульса менее локализована, поэтому возможные компоненты импульса, которые могла бы иметь частица, более распространены. И наоборот, чем более локализована волновая функция пространства импульса, тем более вероятно, что частица будет найдена с этими значениями компонентов импульса в этой области, и, соответственно, тем менее локализована волновая функция пространства положения, поэтому координаты положения, которые могла бы занимать частица, более распространены. Эти волновые функции являются преобразованиями Фурье друг друга: математически принцип неопределенности выражает связь между сопряженными переменными в преобразовании.

Положение x и импульс p волновые функции, соответствующие квантовым частицам. Цветовая непрозрачность частиц соответствует плотности вероятности обнаружения частицы с положением x или компонентом импульса p .
Вверху: Если длина волны λ неизвестна, то неизвестны импульс p , волновой вектор k и энергия E (соотношения де Бройля). Поскольку частица более локализована в пространстве положений, Δ x меньше, чем для Δ p _x .
Внизу: Если λ известно, то p , k и E меньше . Поскольку частица более локализована в пространстве импульсов, Δ p меньше, чем для Δ x .

Интерпретация волновой механики

Распространение волн де Бройля в 1d — действительная часть комплексной амплитуды синяя, мнимая — зеленая. Вероятность (показанная как непрозрачность цвета ) нахождения частицы в заданной точке x распространяется подобно волновой форме, нет определенного положения частицы. Когда амплитуда увеличивается выше нуля, кривизна меняет знак, поэтому амплитуда снова начинает уменьшаться, и наоборот — результатом является переменная амплитуда: волна.

Согласно гипотезе де Бройля , каждый объект во вселенной связан с волной . Таким образом, каждый объект, от элементарной частицы до атомов, молекул и далее до планет и далее, подчиняется принципу неопределенности.

Независимая от времени волновая функция одномодовой плоской волны с волновым числом k ₀ или импульсом p ₀ равна $${\displaystyle \psi (x)\propto e^{ik_{0}x}=e^{ip_{0}x/\hbar }~.}$$

Правило Борна гласит, что это следует интерпретировать как функцию амплитуды плотности вероятности в том смысле, что вероятность обнаружения частицы между a и b равна $${\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x~.}$$

В случае одномодовой плоской волны равен 1 , если и 0 в противном случае. Другими словами, положение частицы крайне неопределенно в том смысле, что она может находиться по существу где угодно вдоль волнового пакета. ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$ ${\displaystyle X=x}$

С другой стороны, рассмотрим волновую функцию, которая является суммой многих волн , которую мы можем записать как где A _n представляет относительный вклад моды p _n в общую сумму. Рисунки справа показывают, как при добавлении многих плоских волн волновой пакет может стать более локализованным. Мы можем сделать шаг дальше к пределу континуума , где волновая функция является интегралом по всем возможным модам с представлением амплитуды этих мод и называется волновой функцией в импульсном пространстве . В математических терминах мы говорим, что есть преобразование Фурье и что x и p являются сопряженными переменными . Сложение всех этих плоских волн имеет свою цену, а именно, импульс стал менее точным, став смесью волн многих различных импульсов. ^[11] $${\displaystyle \psi (x)\propto \sum _{n}A_{n}e^{ip_{n}x/\hbar }~,}$$ $${\displaystyle \psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp~,}$$ ${\displaystyle \varphi (p)}$ ${\displaystyle \varphi (p)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$

Одним из способов количественной оценки точности положения и импульса является стандартное отклонение  σ . Поскольку — это функция плотности вероятности для положения, мы вычисляем ее стандартное отклонение. ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$

Точность положения улучшается, т.е. уменьшается σ _x , за счет использования многих плоских волн, тем самым ослабляя точность импульса, т.е. увеличивается σ _p . Другой способ утверждения этого заключается в том, что σ _x и σ _p имеют обратную зависимость или, по крайней мере, ограничены снизу. Это принцип неопределенности, точным пределом которого является граница Кеннарда.

Доказательство неравенства Кеннарда с использованием волновой механики

Нас интересуют дисперсии положения и импульса, определяемые как $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx-\left(\int _{-\infty }^{\infty }x\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx\right)^{2}}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp-\left(\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp\right)^{2}~.}$$

Без потери общности предположим, что средние обращаются в нуль, что равносильно сдвигу начала наших координат. (Более общее доказательство, не делающее этого предположения, приведено ниже.) Это дает нам более простую форму $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp~.}$$

Функцию можно интерпретировать как вектор в функциональном пространстве . Мы можем определить скалярное произведение для пары функций u ( x ) и v ( x ) в этом векторном пространстве: где звездочка обозначает комплексно сопряженную функцию . ${\displaystyle f(x)=x\cdot \psi (x)}$ $${\displaystyle \langle u\mid v\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }u^{*}(x)\cdot v(x)\,dx,}$$

Определив этот внутренний продукт, мы замечаем, что дисперсию для позиции можно записать как $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\langle f\mid f\rangle ~.}$$

Мы можем повторить это для импульса, интерпретируя функцию как вектор, но мы также можем воспользоваться тем фактом, что и являются преобразованиями Фурье друг друга. Мы оцениваем обратное преобразование Фурье посредством интегрирования по частям : где в интегрировании по частям отмененный член исчезает, поскольку волновая функция исчезает на бесконечности, а последние два интегрирования заново подтверждают преобразования Фурье. Часто этот член называют оператором импульса в пространстве положений. Применяя теорему Планшереля , а затем теорему Парсеваля , мы видим, что дисперсию для импульса можно записать как ${\displaystyle {\tilde {g}}(p)=p\cdot \varphi (p)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \varphi (p)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {g}}(p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot \varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[p\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {i}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\cancel {\left.\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\right|_{-\infty }^{\infty }}}-\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&=-i\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\,e^{ip(x-\chi )/\hbar }\,dp\right]\,d\chi \\&=-i\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[\delta \left({\frac {x-\chi }{\hbar }}\right)\right]\,d\chi \\&=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[\delta \left(x-\chi \right)\right]\,d\chi \\&=-i\hbar {\frac {d\psi (x)}{dx}}\\&=\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\cdot \psi (x),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle v={\frac {\hbar }{-ip}}e^{-ip\chi /\hbar }}$ ${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{dx}}}$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\tilde {g}}(p)|^{2}\,dp=\int _{-\infty }^{\infty }|g(x)|^{2}\,dx=\langle g\mid g\rangle .}$$

Неравенство Коши –Шварца утверждает, что $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\langle f\mid f\rangle \cdot \langle g\mid g\rangle \geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}~.}$$

Квадрат модуля любого комплексного числа z можно выразить так: мы допускаем и и подставляем их в уравнение выше, чтобы получить $${\displaystyle |z|^{2}={\Big (}{\text{Re}}(z){\Big )}^{2}+{\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}\geq {\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}=\left({\frac {z-z^{\ast }}{2i}}\right)^{2}.}$$ ${\displaystyle z=\langle f|g\rangle }$ ${\displaystyle z^{*}=\langle g\mid f\rangle }$ $${\displaystyle |\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}~.}$$

Остается только оценить эти внутренние продукты.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,x\cdot \left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\,\psi (x)\,dx-\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\cdot x\,\psi (x)\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\left[\left(-x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)+{\frac {d(x\psi (x))}{dx}}\right]\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\left[\left(-x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)+\psi (x)+\left(x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)\right]\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\psi (x)\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\\&=i\hbar \end{aligned}}}$$

Подставляя это в приведенные выше неравенства, получаем или извлекая квадратный корень $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}\geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}=\left({\frac {i\hbar }{2i}}\right)^{2}={\frac {\hbar ^{2}}{4}}}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}~.}$$

с равенством тогда и только тогда, когда p и x линейно зависимы. Обратите внимание, что единственная физика, задействованная в этом доказательстве, заключалась в том, что и являются волновыми функциями для положения и импульса, которые являются преобразованиями Фурье друг друга. Похожий результат был бы справедлив для любой пары сопряженных переменных. ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \varphi (p)}$

Интерпретация матричной механики

(Ссылка ^[11] )

В матричной механике наблюдаемые, такие как положение и импульс, представлены самосопряженными операторами. При рассмотрении пар наблюдаемых важной величиной является коммутатор . Для пары операторов Â и их коммутатор определяется как В случае положения и импульса коммутатор является каноническим коммутационным соотношением ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}.}$$ $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar .}$$

Физический смысл некоммутативности можно понять, рассмотрев влияние коммутатора на собственные состояния положения и импульса . Пусть будет правым собственным состоянием положения с постоянным собственным значением x ₀ . По определению это означает, что Применение коммутатора к дает где Î — оператор тождества . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {x}}|\psi \rangle =x_{0}|\psi \rangle .}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle ,}$$

Предположим, ради доказательства от противного , что также является правым собственным состоянием импульса с постоянным собственным значением p ₀ . Если бы это было верно, то можно было бы записать С другой стороны, приведенное выше каноническое коммутационное соотношение требует, чтобы Это подразумевает, что никакое квантовое состояние не может одновременно быть и положением, и собственным состоянием импульса. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle ({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =(x_{0}{\hat {I}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =0.}$$ $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle \neq 0.}$$

Когда состояние измеряется, оно проецируется на собственное состояние в базисе соответствующей наблюдаемой. Например, если измеряется положение частицы, то состояние равнозначно собственному состоянию положения. Это означает, что состояние не является собственным состоянием импульса, однако, а скорее может быть представлено как сумма нескольких собственных состояний базиса импульса. Другими словами, импульс должен быть менее точным. Эта точность может быть количественно определена с помощью стандартных отклонений, $${\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\langle {\hat {x}}^{2}\rangle -\langle {\hat {x}}\rangle ^{2}}}}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\langle {\hat {p}}^{2}\rangle -\langle {\hat {p}}\rangle ^{2}}}.}$$

Как и в интерпретации волновой механики, приведенной выше, можно увидеть компромисс между соответствующими точностьями этих двух величин, количественно определяемый принципом неопределенности.

Примеры

(Ссылки ^[11] )

Стационарные состояния квантового гармонического осциллятора

Рассмотрим одномерный квантовый гармонический осциллятор. Можно выразить операторы положения и импульса через операторы рождения и уничтожения : $${\displaystyle {\hat {x}}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(a+a^{\dagger })}$$ $${\displaystyle {\hat {p}}=i{\sqrt {\frac {m\omega \hbar }{2}}}(a^{\dagger }-a).}$$

Используя стандартные правила для операторов создания и уничтожения в собственных энергетических состояниях, дисперсии можно вычислить напрямую. Произведение этих стандартных отклонений затем равно $${\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }$$ $${\displaystyle a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle ,}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{m\omega }}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\hbar m\omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,.}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}=\hbar \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}.~}$$

В частности, указанная выше граница Кеннарда ^[6] насыщается для основного состояния n = 0 , для которого плотность вероятности представляет собой просто нормальное распределение .

Квантовые гармонические осцилляторы с гауссовым начальным условием

Плотности вероятности положения (синяя) и импульса (красная) для начального гауссовского распределения. Сверху вниз анимации показывают случаи Ω = ω , Ω = 2 ω и Ω = ω /2 . Обратите внимание на компромисс между ширинами распределений.

В квантовом гармоническом осцилляторе с характеристической угловой частотой ω поместите состояние, смещенное от дна потенциала на некоторое смещение x _{0 ,} как где Ω описывает ширину начального состояния, но не обязательно должно быть таким же, как ω . Интегрируя по пропагатору , мы можем решить для полного решения, зависящего от времени. После многих сокращений плотности вероятности уменьшаются до , где мы использовали обозначение для обозначения нормального распределения среднего значения μ и дисперсии σ ² . Копируя дисперсии выше и применяя тригонометрические тождества , мы можем записать произведение стандартных отклонений как $${\displaystyle \psi (x)=\left({\frac {m\Omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\left(-{\frac {m\Omega (x-x_{0})^{2}}{2\hbar }}\right)},}$$ $${\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(x_{0}\cos {(\omega t)},{\frac {\hbar }{2m\Omega }}\left(\cos ^{2}(\omega t)+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right)}$$ $${\displaystyle |\Phi (p,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(-mx_{0}\omega \sin(\omega t),{\frac {\hbar m\Omega }{2}}\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right),}$$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}\sigma _{p}&={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)}}\\&={\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)\cos {(4\omega t)}}}\end{aligned}}}$$

Из соотношений можно сделать следующий вывод (самое правое равенство выполняется только при Ω = ω ): $${\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\geq 2,\quad |\cos(4\omega t)|\leq 1,}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)}}={\frac {\hbar }{2}}.}$$

Когерентные состояния

Когерентное состояние — это правое собственное состояние оператора уничтожения , которое может быть представлено в терминах состояний Фока как $${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle ,}$$ $${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle }$$

В картине, где когерентное состояние представляет собой массивную частицу в квантовом гармоническом осцилляторе, операторы положения и импульса могут быть выражены через операторы уничтожения в тех же формулах выше и использованы для вычисления дисперсий. Таким образом, каждое когерентное состояние насыщает границу Кеннарда с положением и импульсом, каждое из которых вносит свой вклад «сбалансированным» образом. Более того, каждое сжатое когерентное состояние также насыщает границу Кеннарда, хотя отдельные вклады положения и импульса не обязательно должны быть сбалансированы в целом. $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{2m\omega }},}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}={\frac {\hbar m\omega }{2}}.}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}\,{\sqrt {\frac {\hbar m\omega }{2}}}={\frac {\hbar }{2}}.}$$ ${\textstyle {\sqrt {\hbar /2}}}$

Частица в коробке

Рассмотрим частицу в одномерном ящике длины . Собственные функции в пространстве положения и импульса равны и где и мы использовали соотношение де Бройля . Дисперсии и могут быть вычислены явно: ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin(k_{n}x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}t},&0<x<L,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \varphi _{n}(p,t)={\sqrt {\frac {\pi L}{\hbar }}}\,\,{\frac {n\left(1-(-1)^{n}e^{-ikL}\right)e^{-i\omega _{n}t}}{\pi ^{2}n^{2}-k^{2}L^{2}}},}$$ ${\textstyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar n^{2}}{8L^{2}m}}}$ ${\displaystyle p=\hbar k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}.}$$

Произведение стандартных отклонений, следовательно, Для всех величина больше 1, поэтому принцип неопределенности никогда не нарушается. Для числовой конкретности наименьшее значение имеет место, когда , в этом случае $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}.}$$ ${\displaystyle n=1,\,2,\,3,\,\ldots }$ ${\textstyle {\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}}$ ${\displaystyle n=1}$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{3}}-2}}\approx 0.568\hbar >{\frac {\hbar }{2}}.}$$

Постоянный импульс

Плотность вероятности в пространстве положений изначально гауссовского состояния, движущегося с минимально неопределенным постоянным импульсом в свободном пространстве.

Предположим, что частица изначально имеет волновую функцию пространства импульса , описываемую нормальным распределением вокруг некоторого постоянного импульса p ₀ в соответствии с тем , где мы ввели эталонную шкалу , описывающую ширину распределения — ср. безразмерность . Если состояние может развиваться в свободном пространстве, то зависящие от времени волновые функции пространства импульса и положения являются $${\displaystyle \varphi (p)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}\right),}$$ ${\textstyle x_{0}={\sqrt {\hbar /m\omega _{0}}}}$ ${\displaystyle \omega _{0}>0}$ $${\displaystyle \Phi (p,t)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}-{\frac {ip^{2}t}{2m\hbar }}\right),}$$ $${\displaystyle \Psi (x,t)=\left({\frac {1}{x_{0}{\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}{\frac {e^{-x_{0}^{2}p_{0}^{2}/2\hbar ^{2}}}{\sqrt {1+i\omega _{0}t}}}\,\exp \left(-{\frac {(x-ix_{0}^{2}p_{0}/\hbar )^{2}}{2x_{0}^{2}(1+i\omega _{0}t)}}\right).}$$

Поскольку и , это можно интерпретировать как частицу, движущуюся с постоянным импульсом с произвольно высокой точностью. С другой стороны, стандартное отклонение положения таково , что произведение неопределенности может только увеличиваться со временем как ${\displaystyle \langle p(t)\rangle =p_{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}(t)=\hbar /({\sqrt {2}}x_{0})}$ $${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {x_{0}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}(t)\sigma _{p}(t)={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}}$$

Принцип неопределенности энергии-времени

Ширина линии энергетического спектра в зависимости от времени жизни

Соотношение неопределенности энергия-время, как и имеет долгую, противоречивую историю; значение и различается, и разные формулировки имеют разные области применимости. ^[12] Однако одно известное применение как хорошо известно ^{[13] [14]} , так и экспериментально проверено: ^{[15] [16]} связь между временем жизни резонансного состояния и его энергетической шириной : в физике элементарных частиц ширины, полученные в результате экспериментальных подгонок к распределению энергии Брейта-Вигнера, используются для характеристики времени жизни квазистабильных или распадающихся состояний. ^[17] $${\displaystyle \Delta E\Delta t\gtrsim \hbar /2,}$$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta E}$ ${\displaystyle \tau _{\sqrt {1/2}}}$ ${\displaystyle \Delta E}$ $${\displaystyle \tau _{\sqrt {1/2}}\Delta E=\pi \hbar /4.}$$

Неформальное, эвристическое значение принципа следующее: ^[18] Состояние, которое существует только в течение короткого времени, не может иметь определенную энергию. Чтобы иметь определенную энергию, частота состояния должна быть определена точно, и это требует, чтобы состояние существовало в течение многих циклов, что является обратной величиной требуемой точности. Например, в спектроскопии возбужденные состояния имеют конечное время жизни. Согласно принципу неопределенности времени и энергии, они не имеют определенной энергии, и каждый раз, когда они распадаются, энергия, которую они выделяют, немного отличается. Средняя энергия исходящего фотона имеет пик при теоретической энергии состояния, но распределение имеет конечную ширину, называемую естественной шириной линии . Быстро распадающиеся состояния имеют широкую ширину линии, в то время как медленно распадающиеся состояния имеют узкую ширину линии. ^[19] Тот же эффект ширины линии также затрудняет определение массы покоя нестабильных, быстро распадающихся частиц в физике частиц . Чем быстрее распадается частица (чем короче ее время жизни), тем менее определена ее масса (тем больше ширина частицы ).

Время в квантовой механике

Понятие «время» в квантовой механике создает много проблем. ^[20] Не существует квантовой теории измерения времени; относительность является фундаментальной для времени и ее трудно включить в квантовую механику. ^[12] В то время как положение и импульс связаны с одной частицей, время является системным свойством: у него нет оператора, необходимого для соотношения Робертсона-Шредингера. ^[1] Математическая обработка стабильных и нестабильных квантовых систем различается. ^[21] Сочетание этих факторов делает принципы неопределенности энергии-времени спорными.

Можно выделить три понятия «времени»: ^[12] внешнее, внутреннее и наблюдаемое. Внешнее или лабораторное время воспринимается экспериментатором; внутреннее время выводится из изменений динамических переменных, таких как стрелки часов или движение свободной частицы; наблюдаемое время касается времени как наблюдаемого, измерения разделенных во времени событий.

Принцип неопределенности энергии и времени во внешнем времени может гласить, что для измерения энергии квантовой системы с точностью требуется временной интервал . ^[14] Однако Якир Ааронов и Дэвид Бом ^{[22] [12]} показали, что в некоторых квантовых системах энергия может быть точно измерена в течение произвольно короткого времени: принципы неопределенности во внешнем времени не являются универсальными. ${\displaystyle \Delta E}$ ${\displaystyle \Delta t>h/\Delta E}$

Внутреннее время является основой для нескольких формулировок соотношений неопределенности энергия-время, включая соотношение Мандельштама-Тамма, обсуждаемое в следующем разделе. Физическая система с внутренним временем, близко соответствующим внешнему лабораторному времени, называется «часами». ^{[20] : 31}

Наблюдаемое время, измеряющее время между двумя событиями, остается проблемой для квантовых теорий; некоторый прогресс был достигнут с использованием концепций меры с положительным операторным значением . ^[12]

Мандельштам–Тамм

В 1945 году Леонид Мандельштам и Игорь Тамм вывели нерелятивистское соотношение неопределенности времени и энергии следующим образом. ^{[23] [12]} Из механики Гейзенберга обобщенная теорема Эренфеста для наблюдаемой B без явной зависимости от времени, представленная самосопряженным оператором, связывает временную зависимость среднего значения со средним значением его коммутатора с гамильтонианом: ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

$${\displaystyle {\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}={\frac {i}{\hbar }}\langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle .}$$

Значение затем подставляется в соотношение неопределенности Робертсона для оператора энергии и : давая (всякий раз, когда знаменатель не равен нулю). Хотя это универсальный результат, он зависит от выбранной наблюдаемой и от того, что отклонения и вычисляются для конкретного состояния. Определение и характерного времени дает соотношение энергия-время Хотя имеет размерность времени, оно отличается от параметра времени t , который входит в уравнение Шредингера . Это можно интерпретировать как время, для которого ожидаемое значение наблюдаемой изменяется на величину, равную одному стандартному отклонению. ^[24] Примеры: ${\displaystyle \langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle \sigma _{H}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle \right|,}$$ $${\displaystyle \sigma _{H}{\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$$ ${\displaystyle \sigma _{H}}$ ${\displaystyle \sigma _{B}}$ ${\displaystyle \Delta E\equiv \sigma _{E}}$ $${\displaystyle \tau _{B}\equiv {\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}}}$$ ${\displaystyle \Delta E\tau _{B}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$ ${\displaystyle \tau _{B}}$ ${\displaystyle \tau _{B}}$ ${\displaystyle \langle {\hat {B}}\rangle ,}$

• Время, в течение которого свободная квантовая частица проходит точку в пространстве, становится более неопределенным, поскольку энергия состояния контролируется более точно: поскольку разброс во времени связан с разбросом положения частицы, а разброс энергии связан с разбросом импульса, это соотношение напрямую связано с неопределенностью положения-импульса. ^{[25] : 144} ${\displaystyle \Delta T=\hbar /2\Delta E.}$
• Дельта -частица , квазистабильная композиция кварков, связанных с протонами и нейтронами, имеет время жизни 10−23 ^с  , поэтому ее измеренная масса ^, эквивалентная энергии , 1232 МэВ/ c2, изменяется на ±120 МэВ/c2 ; это ^{изменение} является внутренним и не вызвано ошибками измерений. ^{[25] : 144}
• Два энергетических состояния с наложенными энергиями для создания составного состояния ${\displaystyle \psi _{1,2}}$ ${\displaystyle E_{1,2},}$

$${\displaystyle \Psi (x,t)=a\psi _{1}(x)e^{-iE_{1}t/h}+b\psi _{2}(x)e^{-iE_{2}t/h}.}$$

Амплитуда вероятности этого состояния имеет зависящий от времени интерференционный член:

$${\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}=a^{2}|\psi _{1}(x)|^{2}+b^{2}|\psi _{2}(x)|^{2}+2ab\cos({\frac {E_{2}-E_{1}}{\hbar }}t).}$$

Период колебаний изменяется обратно пропорционально разнице энергий: . ^{[25] : 144} ${\displaystyle \tau =2\pi \hbar /(E_{2}-E_{1})}$

Каждый пример имеет разное значение для неопределенности времени в зависимости от используемых наблюдаемых и состояний.

Квантовая теория поля

Некоторые формулировки квантовой теории поля используют временные электрон-позитронные пары в своих расчетах, называемых виртуальными частицами . Масса-энергия и время жизни этих частиц связаны соотношением неопределенности энергия-время. Энергия квантовых систем не известна с достаточной точностью, чтобы ограничить их поведение одной простой историей. Таким образом, влияние всех историй должно быть включено в квантовые расчеты, включая те, у которых энергия намного больше или намного меньше среднего значения измеренного/вычисленного распределения энергии.

Принцип неопределенности энергия-время временно не нарушает закон сохранения энергии ; он не подразумевает, что энергия может быть «позаимствована» из Вселенной, если она «возвращена» в течение короткого промежутка времени. ^{[25] : 145} Энергия Вселенной не является точно известным параметром во все времена. ^[1] Когда события происходят в очень короткие промежутки времени, существует неопределенность в энергии этих событий.

Внутренняя квантовая неопределенность

Исторически принцип неопределенности путали ^{[26] [27]} с родственным эффектом в физике , называемым эффектом наблюдателя , который отмечает, что измерения определенных систем не могут быть выполнены без воздействия на систему, ^{[28] [29]} то есть без изменения чего-либо в системе. Гейзенберг использовал такой эффект наблюдателя на квантовом уровне (см. ниже) в качестве физического «объяснения» квантовой неопределенности. ^[30] Однако с тех пор стало яснее, что принцип неопределенности присущ свойствам всех волнообразных систем , ^[31] и что он возникает в квантовой механике просто из-за волновой природы материи всех квантовых объектов. ^[32] Таким образом, принцип неопределенности фактически утверждает фундаментальное свойство квантовых систем и не является утверждением об успешности наблюдений современной технологии. ^[33]

Математический формализм

Начиная с вывода Кеннарда неопределенности положения-импульса, Говард Перси Робертсон разработал ^{[34] [1]} формулировку для произвольных эрмитовых операторов, выраженную в терминах их стандартного отклонения , где скобки указывают на математическое ожидание . Для пары операторов и , определим их коммутатор как ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$ $${\displaystyle \sigma _{\mathcal {O}}={\sqrt {\langle {\hat {\mathcal {O}}}^{2}\rangle -\langle {\hat {\mathcal {O}}}\rangle ^{2}}},}$$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {O}}\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}},}$$

а соотношение неопределенности Робертсона определяется как $${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|={\frac {1}{2}}\left|\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|,}$$

Эрвин Шредингер ^[35] показал, как учесть корреляцию между операторами, что дает более сильное неравенство, известное как соотношение неопределенности Робертсона-Шредингера , ^{[36] [1]}

${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|^{2},}$

где используется антикоммутатор . ${\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}={\hat {A}}{\hat {B}}+{\hat {B}}{\hat {A}}}$

Доказательство соотношения неопределенности Шредингера

Вывод, показанный здесь, включает и строится на выводах, показанных в работах Робертсона, ^[34] Шредингера ^[36] и стандартных учебниках, таких как Гриффитс. ^{[25] : 138} Для любого эрмитова оператора , основываясь на определении дисперсии , мы имеем мы позволяем и, таким образом, ${\displaystyle {\hat {A}}}$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle ({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi |({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi \rangle .}$$ ${\displaystyle |f\rangle =|({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi \rangle }$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle f\mid f\rangle \,.}$$

Аналогично, для любого другого эрмитова оператора в том же состоянии для ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle \sigma _{B}^{2}=\langle ({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle =\langle g\mid g\rangle }$$ ${\displaystyle |g\rangle =|({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle .}$

Таким образом, произведение двух отклонений можно выразить как

Чтобы связать два вектора и , мы используем неравенство Коши–Шварца ^[37] , которое определяется как и, таким образом, уравнение ( 1 ) можно записать в виде ${\displaystyle |f\rangle }$ ${\displaystyle |g\rangle }$ $${\displaystyle \langle f\mid f\rangle \langle g\mid g\rangle \geq |\langle f\mid g\rangle |^{2},}$$

Так как в общем случае является комплексным числом, мы используем тот факт, что квадрат модуля любого комплексного числа определяется как , где — комплексно сопряженное число . Квадрат модуля также может быть выражен как ${\displaystyle \langle f\mid g\rangle }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|^{2}=zz^{*}}$ ${\displaystyle z^{*}}$ ${\displaystyle z}$

мы позволяем и и подставляем их в уравнение выше, чтобы получить ${\displaystyle z=\langle f\mid g\rangle }$ ${\displaystyle z^{*}=\langle g\mid f\rangle }$

Скалярное произведение записывается явно как и, используя тот факт, что и являются эрмитовыми операторами, находим ${\displaystyle \langle f\mid g\rangle }$ $${\displaystyle \langle f\mid g\rangle =\langle ({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle ,}$$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle f\mid g\rangle &=\langle \Psi |({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle \\[4pt]&=\langle \Psi \mid ({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {A}}\langle {\hat {B}}\rangle -{\hat {B}}\langle {\hat {A}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle \\[4pt]&=\langle \Psi \mid {\hat {A}}{\hat {B}}\Psi \rangle -\langle \Psi \mid {\hat {A}}\langle {\hat {B}}\rangle \Psi \rangle -\langle \Psi \mid {\hat {B}}\langle {\hat {A}}\rangle \Psi \rangle +\langle \Psi \mid \langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \Psi \rangle \\[4pt]&=\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \\[4pt]&=\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle .\end{aligned}}}$$

Аналогично можно показать, что ${\displaystyle \langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle .}$

Таким образом, мы имеем и $${\displaystyle \langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle =\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle }$$ $${\displaystyle \langle f\mid g\rangle +\langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle +\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle =\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -2\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle .}$$

Теперь подставим два приведенных выше уравнения обратно в уравнение ( 4 ) и получим $${\displaystyle |\langle f\mid g\rangle |^{2}={\Big (}{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle {\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle {\Big )}^{2}\,.}$$

Подставляя вышесказанное в уравнение ( 2 ), получаем соотношение неопределенности Шредингера $${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq {\sqrt {{\Big (}{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle {\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle {\Big )}^{2}}}.}$$

Это доказательство имеет проблему ^[38], связанную с областями определения задействованных операторов. Чтобы доказательство имело смысл, вектор должен находиться в области определения неограниченного оператора , что не всегда так. Фактически, соотношение неопределенности Робертсона ложно, если — угловая переменная, а — производная по этой переменной. В этом примере коммутатор — ненулевая константа, как и в соотношении неопределенности Гейзенберга, и все же существуют состояния, в которых произведение неопределенностей равно нулю. ^[39] (См. раздел контрпримера ниже.) Эту проблему можно преодолеть, используя вариационный метод для доказательства, ^{[40] [41]} или работая с экспоненциальной версией канонических соотношений коммутации. ^[39] ${\displaystyle {\hat {B}}|\Psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Обратите внимание, что в общей форме соотношения неопределенности Робертсона–Шредингера нет необходимости предполагать, что операторы и являются самосопряженными операторами . Достаточно предположить, что они являются просто симметричными операторами . (Различие между этими двумя понятиями обычно замалчивается в физической литературе, где термин эрмитов используется для одного или обоих классов операторов. Подробное обсуждение этого важного, но технического различия см. в главе 9 книги Холла ^[42] .) ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Смешанные состояния

Соотношение неопределенностей Робертсона-Шредингера можно обобщить простым способом для описания смешанных состояний . $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left|{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\rho \{A,B\})-\operatorname {tr} (\rho A)\operatorname {tr} (\rho B)\right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\operatorname {tr} (\rho [A,B])\right|^{2}.}$$

Соотношения неопределенностей Макконе–Пати

Соотношение неопределенности Робертсона–Шредингера может быть тривиальным, если состояние системы выбрано в качестве собственного состояния одной из наблюдаемых. Более сильные соотношения неопределенности, доказанные Лоренцо Макконе и Аруном К. Пати, дают нетривиальные границы суммы дисперсий для двух несовместимых наблюдаемых. ^[43] (Более ранние работы по соотношениям неопределенности, сформулированным как сумма дисперсий, включают, например, ^[44] Йичэня Хуанга.) Для двух некоммутирующих наблюдаемых и первого более сильного соотношения неопределенности задается как где , , — нормализованный вектор, ортогональный состоянию системы , и следует выбрать знак , чтобы сделать эту действительную величину положительным числом. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq \pm i\langle \Psi \mid [A,B]|\Psi \rangle +\mid \langle \Psi \mid (A\pm iB)\mid {\bar {\Psi }}\rangle |^{2},}$$ ${\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle \Psi |A^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid A\mid \Psi \rangle ^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{B}^{2}=\langle \Psi |B^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid B\mid \Psi \rangle ^{2}}$ ${\displaystyle |{\bar {\Psi }}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle \pm i\langle \Psi \mid [A,B]\mid \Psi \rangle }$

Второе более сильное соотношение неопределенности задается как , где — состояние, ортогональное к . Форма подразумевает, что правая часть нового соотношения неопределенности не равна нулю, если только не является собственным состоянием . Можно отметить, что может быть собственным состоянием , не будучи собственным состоянием ни одного из них, ни . Однако, когда — собственное состояние одного из двух наблюдаемых, соотношение неопределенности Гейзенберга–Шредингера становится тривиальным. Но нижняя граница в новом соотношении не равна нулю, если только не является собственным состоянием обоих. $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq {\frac {1}{2}}|\langle {\bar {\Psi }}_{A+B}\mid (A+B)\mid \Psi \rangle |^{2}}$$ ${\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle (A+B)}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle (A+B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

Улучшение соотношения неопределенности Робертсона–Шредингера на основе разложения матрицы плотности

Неопределенность Робертсона-Шредингера можно улучшить, заметив, что она должна выполняться для всех компонентов в любом разложении матрицы плотности, заданном как Здесь для вероятностей и выполняются. Затем, используя соотношение для , следует, что ^[45] где функция в границе определяется Вышеуказанное соотношение очень часто имеет границу, большую, чем граница исходного соотношения неопределенности Робертсона-Шредингера. Таким образом, нам нужно вычислить границу неопределенности Робертсона-Шредингера для смешанных компонентов квантового состояния, а не для квантового состояния, и вычислить среднее значение их квадратных корней. Следующее выражение сильнее, чем соотношение неопределенности Робертсона-Шредингера, где в правой части находится вогнутая крыша над разложениями матрицы плотности. Улучшенное соотношение выше насыщено всеми однокубитовыми квантовыми состояниями. ^[45] ${\displaystyle \varrho _{k}}$ $${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}\varrho _{k}.}$$ ${\displaystyle p_{k}\geq 0}$ ${\displaystyle \sum _{k}p_{k}=1}$ $${\displaystyle \sum _{k}a_{k}\sum _{k}b_{k}\geq \left(\sum _{k}{\sqrt {a_{k}b_{k}}}\right)^{2}}$$ ${\displaystyle a_{k},b_{k}\geq 0}$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2},}$$ $${\displaystyle L(\varrho )={\sqrt {\left|{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\rho \{A,B\})-\operatorname {tr} (\rho A)\operatorname {tr} (\rho B)\right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\operatorname {tr} (\rho [A,B])\right|^{2}}}.}$$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\max _{p_{k},\varrho _{k}}\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2},}$$

Используя аналогичные аргументы, можно вывести соотношение с выпуклой крышей с правой стороны ^[45] , где обозначает квантовую информацию Фишера , а матрица плотности разлагается на чистые состояния как Вывод использует тот факт, что квантовая информация Фишера является выпуклой крышей дисперсии, умноженной на четыре. ^{[46] [47]} $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}F_{Q}[\varrho ,B]\geq 4\left[\min _{p_{k},\Psi _{k}}\sum _{k}p_{k}L(\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert )\right]^{2}}$$ ${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,B]}$ $${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert .}$$

Более простое неравенство следует без выпуклой крыши ^[48], которое сильнее соотношения неопределенности Гейзенберга, поскольку для квантовой информации Фишера мы имеем, тогда как для чистых состояний равенство выполняется. $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}F_{Q}[\varrho ,B]\geq \vert \langle i[A,B]\rangle \vert ^{2},}$$ $${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,B]\leq 4\sigma _{B},}$$

Фазовое пространство

В формулировке фазового пространства квантовой механики соотношение Робертсона–Шредингера следует из условия положительности действительной функции звезда-квадрат. При наличии функции Вигнера со звездным произведением ★ и функции f , в общем случае справедливо следующее: ^[49] ${\displaystyle W(x,p)}$ $${\displaystyle \langle f^{*}\star f\rangle =\int (f^{*}\star f)\,W(x,p)\,dx\,dp\geq 0~.}$$

Выбирая , мы приходим к ${\displaystyle f=a+bx+cp}$ $${\displaystyle \langle f^{*}\star f\rangle ={\begin{bmatrix}a^{*}&b^{*}&c^{*}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\geq 0~.}$$

Поскольку это условие положительности справедливо для всех a , b и c , то все собственные значения матрицы неотрицательны.

Неотрицательные собственные значения тогда подразумевают соответствующее условие неотрицательности определителя , или , явно, после алгебраических преобразований, $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x^{2}\rangle &\left\langle xp+{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle \\\langle p\rangle &\left\langle xp-{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle &\langle p^{2}\rangle \end{bmatrix}}\geq 0~,}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\left(\langle x^{2}\rangle -\langle x\rangle ^{2}\right)\left(\langle p^{2}\rangle -\langle p\rangle ^{2}\right)\geq \left(\langle xp\rangle -\langle x\rangle \langle p\rangle \right)^{2}+{\frac {\hbar ^{2}}{4}}~.}$$

Примеры

Поскольку соотношения Робертсона и Шредингера предназначены для общих операторов, эти соотношения можно применять к любым двум наблюдаемым для получения конкретных соотношений неопределенности. Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных соотношений, встречающихся в литературе.

• Соотношение неопределенностей положения и линейного импульса : для операторов положения и линейного импульса каноническое коммутационное соотношение влечет неравенство Кеннарда сверху: ${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$$
• Соотношение неопределенности углового момента : Для двух ортогональных компонент оператора полного углового момента объекта: где i , j , k различны, а J _i обозначает угловой момент вдоль оси x _i . Это соотношение подразумевает, что если все три компонента не равны нулю вместе, то с произвольной точностью может быть определен только один компонент углового момента системы, обычно компонент, параллельный внешнему (магнитному или электрическому) полю. Более того, для , выбор , , в мультиплетах углового момента, ψ = | j , m ⟩, ограничивает инвариант Казимира (квадрат углового момента, ) снизу и, таким образом, дает полезные ограничения, такие как j ( j + 1) ≥ m ( m + 1) , и, следовательно, j ≥ m , среди прочих. $${\displaystyle \sigma _{J_{i}}\sigma _{J_{j}}\geq {\frac {\hbar }{2}}{\big |}\langle J_{k}\rangle {\big |},}$$ ${\displaystyle [J_{x},J_{y}]=i\hbar \varepsilon _{xyz}J_{z}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}=J_{x}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}=J_{y}}$ ${\displaystyle \langle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}\rangle }$

• Для числа электронов в сверхпроводнике и фазы его параметра порядка Гинзбурга–Ландау ^{[50] [51]} $${\displaystyle \Delta N\,\Delta \varphi \geq 1.}$$

Ограничения

Вывод неравенства Робертсона для операторов и требует определения и . Существуют квантовые системы, где эти условия недействительны. ^[52] Одним из примеров является квантовая частица на кольце , где волновая функция зависит от угловой переменной в интервале . Определим операторы «положения» и «импульса» и с помощью и с периодическими граничными условиями на . Определение зависит от диапазона от 0 до . Эти операторы удовлетворяют обычным коммутационным соотношениям для операторов положения и импульса, . Точнее, всякий раз , когда определены и и , а пространство таких является плотным подпространством квантового гильбертова пространства. ^[53] ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle {\hat {A}}\psi (\theta )=\theta \psi (\theta ),\quad \theta \in [0,2\pi ],}$$ $${\displaystyle {\hat {B}}\psi =-i\hbar {\frac {d\psi }{d\theta }},}$$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=i\hbar }$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi =i\hbar \psi }$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi }$ ${\displaystyle \psi }$

Теперь пусть будет любым из собственных состояний , которые задаются как . Эти состояния нормализуются, в отличие от собственных состояний оператора импульса на прямой. Кроме того, оператор ограничен, поскольку пробегает ограниченный интервал. Таким образом, в состоянии неопределенность равна нулю, а неопределенность конечна, так что Принцип неопределенности Робертсона в этом случае неприменим: не входит в область определения оператора , поскольку умножение на нарушает периодические граничные условия, наложенные на . ^[39] ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle \psi (\theta )=e^{2\pi in\theta }}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}=0.}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Для обычных операторов положения и импульса и на действительной прямой такие контрпримеры невозможны. Пока и определены в состоянии , принцип неопределенности Гейзенберга сохраняется, даже если не попадает в область или . ^[54] ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {X}}{\hat {P}}}$ ${\displaystyle {\hat {P}}{\hat {X}}}$

Дополнительные соотношения неопределенности

предел Гейзенберга

В квантовой метрологии , и особенно в интерферометрии , предел Гейзенберга — это оптимальная скорость, с которой точность измерения может масштабироваться с энергией, используемой при измерении. Обычно это измерение фазы (применяемой к одному плечу светоделителя ) , а энергия задается числом фотонов, используемых в интерферометре . Хотя некоторые утверждают, что нарушили предел Гейзенберга, это отражает разногласия по поводу определения ресурса масштабирования. ^[55] При соответствующем определении предел Гейзенберга является следствием основных принципов квантовой механики и не может быть преодолен, хотя слабый предел Гейзенберга может быть преодолен. ^[56]

Систематические и статистические ошибки

Неравенства выше фокусируются на статистической неточности наблюдаемых, количественно определяемой стандартным отклонением . Однако первоначальная версия Гейзенберга имела дело с систематической ошибкой , возмущением квантовой системы, производимым измерительным прибором, т. е. эффектом наблюдателя. ${\displaystyle \sigma }$

Если мы позволим представить ошибку (т. е. неточность ) измерения наблюдаемой величины A и возмущение, вызванное при последующем измерении сопряженной переменной B предыдущим измерением A , то неравенство, предложенное Масанао Одзавой, охватывающее как систематические, так и статистические ошибки, справедливо: ^[27] ${\displaystyle \varepsilon _{A}}$ ${\displaystyle \eta _{B}}$

${\displaystyle \varepsilon _{A}\,\eta _{B}+\varepsilon _{A}\,\sigma _{B}+\sigma _{A}\,\eta _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

Принцип неопределенности Гейзенберга, первоначально описанный в формулировке 1927 года, упоминает только первый член неравенства Одзавы, касающийся систематической ошибки . Используя обозначения выше для описания эффекта ошибки/возмущения последовательных измерений (сначала A , затем B ), его можно записать как

${\displaystyle \varepsilon _{A}\,\eta _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

Формальный вывод соотношения Гейзенберга возможен, но далек от интуитивного. Он не был предложен Гейзенбергом, но сформулирован математически последовательным образом только в последние годы. ^{[57] [58]} Также следует подчеркнуть, что формулировка Гейзенберга не учитывает внутренние статистические ошибки и . Появляется все больше экспериментальных доказательств ^{[31] [59] [60] [61]} того, что полная квантовая неопределенность не может быть описана одним только членом Гейзенберга, а требует присутствия всех трех членов неравенства Одзавы. ${\displaystyle \sigma _{A}}$ ${\displaystyle \sigma _{B}}$

Используя тот же формализм, ^[1] можно также ввести другой вид физической ситуации, часто путаемый с предыдущей, а именно случай одновременных измерений ( A и B одновременно):

${\displaystyle \varepsilon _{A}\,\varepsilon _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

Два одновременных измерения на A и B обязательно ^[62] нечеткие или слабые .

Также возможно вывести соотношение неопределенности, которое, как и соотношение Одзавы, объединяет как статистические, так и систематические компоненты погрешности, но сохраняет форму, очень близкую к исходному неравенству Гейзенберга. Добавляя Робертсона ^[1]

${\displaystyle \sigma _{A}\,\sigma _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

и соотношения Одзавы, получаем Четыре члена можно записать как: Определяя: как неточность в измеренных значениях переменной A и как результирующее колебание в сопряженной переменной B , Кадзуо Фудзикава ^[63] установил соотношение неопределенности, подобное оригинальному соотношению Гейзенберга, но справедливое как для систематических, так и для статистических ошибок : $${\displaystyle \varepsilon _{A}\eta _{B}+\varepsilon _{A}\,\sigma _{B}+\sigma _{A}\,\eta _{B}+\sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|.}$$ $${\displaystyle (\varepsilon _{A}+\sigma _{A})\,(\eta _{B}+\sigma _{B})\,\geq \,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|.}$$ $${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}_{A}\,\equiv \,(\varepsilon _{A}+\sigma _{A})}$$ $${\displaystyle {\bar {\eta }}_{B}\,\equiv \,(\eta _{B}+\sigma _{B})}$$

${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}_{A}\,{\bar {\eta }}_{B}\,\geq \,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

Квантовый энтропийный принцип неопределенности

Для многих распределений стандартное отклонение не является особенно естественным способом количественной оценки структуры. Например, соотношения неопределенности, в которых одна из наблюдаемых величин является углом, имеют мало физического смысла для флуктуаций, превышающих один период. ^{[41] [64] [65] [66]} Другие примеры включают в себя высоко бимодальные распределения или унимодальные распределения с расходящейся дисперсией.

Решение, которое преодолевает эти проблемы, — это неопределенность, основанная на энтропийной неопределенности вместо произведения дисперсий. Формулируя многомировую интерпретацию квантовой механики в 1957 году, Хью Эверетт III предположил более сильное расширение принципа неопределенности, основанное на энтропийной определенности. ^[67] Эта гипотеза, также изученная II Хиршманом ^[68] и доказанная в 1975 году В. Бекнером ^[69] и Иво Бялыницким-Бирулей и Ежи Мычельским ^[70], заключается в том, что для двух нормализованных пар безразмерных преобразований Фурье f ( a ) и g ( b ) , где

${\displaystyle f(a)=\int _{-\infty }^{\infty }g(b)\ e^{2\pi iab}\,db}$   и    ${\displaystyle \,\,\,g(b)=\int _{-\infty }^{\infty }f(a)\ e^{-2\pi iab}\,da}$

Информационные энтропии Шеннона подчиняются следующему ограничению: $${\displaystyle H_{a}=-\int _{-\infty }^{\infty }|f(a)|^{2}\log |f(a)|^{2}\,da,}$$ $${\displaystyle H_{b}=-\int _{-\infty }^{\infty }|g(b)|^{2}\log |g(b)|^{2}\,db}$$

${\displaystyle H_{a}+H_{b}\geq \log(e/2)}$

где логарифмы могут быть в любом основании.

Функции распределения вероятностей, связанные с волновой функцией положения ψ ( x ) и волновой функцией импульса φ ( x ), имеют размерности, обратные длине и импульсу соответственно, но энтропии могут быть сделаны безразмерными с помощью где x ₀ и p ₀ — некоторые произвольно выбранные длина и импульс соответственно, которые делают аргументы логарифмов безразмерными. Обратите внимание, что энтропии будут функциями этих выбранных параметров. Из-за соотношения преобразования Фурье между волновой функцией положения ψ ( x ) и волновой функцией импульса φ ( p ) указанное выше ограничение можно записать для соответствующих энтропий как $${\displaystyle H_{x}=-\int |\psi (x)|^{2}\ln \left(x_{0}\,|\psi (x)|^{2}\right)dx=-\left\langle \ln \left(x_{0}\,\left|\psi (x)\right|^{2}\right)\right\rangle }$$ $${\displaystyle H_{p}=-\int |\varphi (p)|^{2}\ln(p_{0}\,|\varphi (p)|^{2})\,dp=-\left\langle \ln(p_{0}\left|\varphi (p)\right|^{2})\right\rangle }$$

${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e\,h}{2\,x_{0}\,p_{0}}}\right)}$

где h — постоянная Планка .

В зависимости от выбора произведения x ₀ p ₀ выражение может быть записано многими способами. Если x ₀ p ₀ выбрано равным h , то $${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e}{2}}\right)}$$

Если вместо x ₀ p ₀ выбрано значение ħ , то $${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log(e\,\pi )}$$

Если x ₀ и p ₀ выбраны равными единице в любой используемой системе единиц, то где h интерпретируется как безразмерное число, равное значению постоянной Планка в выбранной системе единиц. Обратите внимание, что эти неравенства могут быть распространены на многомодовые квантовые состояния или волновые функции в более чем одном пространственном измерении. ^[71] $${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e\,h}{2}}\right)}$$

Квантовый энтропийный принцип неопределенности более ограничителен, чем принцип неопределенности Гейзенберга. Из обратных логарифмических неравенств Соболева ^[72] (эквивалентно, из того факта, что нормальные распределения максимизируют энтропию всех таковых с заданной дисперсией) легко следует, что этот энтропийный принцип неопределенности сильнее, чем тот, который основан на стандартных отклонениях , потому что $${\displaystyle H_{x}\leq {\frac {1}{2}}\log(2e\pi \sigma _{x}^{2}/x_{0}^{2})~,}$$ $${\displaystyle H_{p}\leq {\frac {1}{2}}\log(2e\pi \sigma _{p}^{2}/p_{0}^{2})~,}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}\exp \left(H_{x}+H_{p}-\log \left({\frac {e\,h}{2\,x_{0}\,p_{0}}}\right)\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}~.}$$

Другими словами, принцип неопределенности Гейзенберга является следствием квантового энтропийного принципа неопределенности, но не наоборот. Несколько замечаний по этим неравенствам. Во-первых, выбор основания e является вопросом популярного соглашения в физике. Логарифм может быть альтернативно в любом основании, при условии, что он будет согласован с обеих сторон неравенства. Во-вторых, напомним, что использовалась энтропия Шеннона , а не квантовая энтропия фон Неймана . Наконец, нормальное распределение насыщает неравенство, и это единственное распределение с этим свойством, потому что это распределение вероятности максимальной энтропии среди распределений с фиксированной дисперсией (см. здесь для доказательства).

Измерительный прибор будет иметь конечное разрешение, заданное дискретизацией его возможных выходов в ячейки, с вероятностью нахождения в одной из ячеек, заданной правилом Борна. Мы рассмотрим наиболее распространенную экспериментальную ситуацию, в которой ячейки имеют одинаковый размер. Пусть δx будет мерой пространственного разрешения. Мы берем нулевой бин, расположенный в центре около начала координат, с, возможно, некоторым небольшим постоянным смещением c . Вероятность нахождения в j-м интервале шириной δx равна $${\displaystyle \operatorname {P} [x_{j}]=\int _{(j-1/2)\delta x-c}^{(j+1/2)\delta x-c}|\psi (x)|^{2}\,dx}$$

Чтобы учесть эту дискретизацию, мы можем определить энтропию Шеннона волновой функции для данного измерительного прибора как $${\displaystyle H_{x}=-\sum _{j=-\infty }^{\infty }\operatorname {P} [x_{j}]\ln \operatorname {P} [x_{j}].}$$

Согласно данному выше определению, энтропийное соотношение неопределенности имеет вид $${\displaystyle H_{x}+H_{p}>\ln \left({\frac {e}{2}}\right)-\ln \left({\frac {\delta x\delta p}{h}}\right).}$$

Здесь мы отмечаем, что δx δp / h — типичный бесконечно малый объем фазового пространства, используемый при вычислении функции распределения . Неравенство также является строгим и ненасыщаемым. Усилия по улучшению этой границы являются активной областью исследований.

Соотношение неопределенностей с тремя компонентами момента импульса

Для частицы с полным угловым моментом справедливо следующее соотношение неопределенностей, где — компоненты углового момента. Соотношение можно вывести из и Соотношение можно усилить следующим образом ^{[45] [73]} где — квантовая информация Фишера. ${\displaystyle j}$ $${\displaystyle \sigma _{J_{x}}^{2}+\sigma _{J_{y}}^{2}+\sigma _{J_{z}}^{2}\geq j,}$$ ${\displaystyle J_{l}}$ $${\displaystyle \langle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}\rangle =j(j+1),}$$ $${\displaystyle \langle J_{x}\rangle ^{2}+\langle J_{y}\rangle ^{2}+\langle J_{z}\rangle ^{2}\leq j.}$$ $${\displaystyle \sigma _{J_{x}}^{2}+\sigma _{J_{y}}^{2}+F_{Q}[\varrho ,J_{z}]/4\geq j,}$$ ${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,J_{z}]}$

Гармонический анализ

В контексте гармонического анализа , раздела математики, принцип неопределенности подразумевает, что нельзя одновременно локализовать значение функции и ее преобразование Фурье. А именно, справедливо следующее неравенство: $${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \right)\geq {\frac {\|f\|_{2}^{4}}{16\pi ^{2}}}.}$$

Дальнейшие математические неравенства неопределенности, включая указанную выше энтропийную неопределенность , справедливы между функцией f и ее преобразованием Фурье ƒ̂ : ^{[74] [75] [76]} $${\displaystyle H_{x}+H_{\xi }\geq \log(e/2)}$$

Обработка сигнала

В контексте обработки сигналов и, в частности, частотно-временного анализа , принципы неопределенности называются пределом Габора , в честь Денниса Габора , или иногда пределом Гейзенберга–Габора . Основной результат, который следует из «теоремы Бенедикса» ниже, заключается в том, что функция не может быть одновременно ограниченной по времени и полосе пропускания (функция и ее преобразование Фурье не могут одновременно иметь ограниченную область) — см. ограниченная по полосе пропускания против ограниченного по времени . Точнее, произведение времени на полосу пропускания или длительности на полосу пропускания удовлетворяет условию , где и являются стандартными отклонениями временного и частотного энергетических или мощностных (т. е. квадратичных) представлений соответственно. ^[77] Минимум достигается для импульса гауссовой формы ( вейвлета Габора ) [Для неквадратированного гауссова (т. е. амплитуды сигнала) и его неквадратичной величины преобразования Фурье ; возведение в квадрат уменьшает каждое из них на коэффициент .] Другой распространенной мерой является произведение времени и частоты полной ширины на половине максимума (мощности/энергии), что для гауссова сигнала равно (см. импульс с ограниченной полосой пропускания ). $${\displaystyle \sigma _{{\text{energy}},t}\cdot \sigma _{{\text{energy}},f}\geq {\frac {1}{4\pi }}\approx 0.08{\text{ cycles}},}$$ ${\displaystyle \sigma _{{\text{energy}},t}}$ ${\displaystyle \sigma _{{\text{energy}},f}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}\sigma _{f}=1/2\pi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 2\ln 2/\pi \approx 0.44}$

Другими словами, «невозможно одновременно точно локализовать сигнал (функцию f ) как во временной области , так и в частотной области ( ƒ̂ , ее преобразование Фурье)».

Применительно к фильтрам результат означает, что невозможно одновременно достичь высокого временного и частотного разрешения; конкретным примером являются проблемы разрешения кратковременного преобразования Фурье — если использовать широкое окно, можно достичь хорошего частотного разрешения за счет временного разрешения, в то время как узкое окно имеет противоположный компромисс.

Альтернативные теоремы дают более точные количественные результаты, и в частотно-временном анализе вместо того, чтобы интерпретировать (1-мерные) временные и частотные области по отдельности, вместо этого интерпретируют предел как нижний предел на носителе функции в (2-мерной) частотно-временной плоскости. На практике предел Габора ограничивает одновременное разрешение по времени и частоте, которого можно достичь без помех; возможно достичь более высокого разрешения, но за счет того, что различные компоненты сигнала будут мешать друг другу.

В результате для анализа сигналов, где важны переходные процессы , вместо преобразования Фурье часто используют вейвлет-преобразование .

Дискретное преобразование Фурье

Пусть — последовательность из N комплексных чисел, а — ее дискретное преобразование Фурье . ${\displaystyle \left\{\mathbf {x_{n}} \right\}:=x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N-1}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {X_{k}} \right\}:=X_{0},X_{1},\ldots ,X_{N-1},}$

Обозначим через число ненулевых элементов во временной последовательности и через число ненулевых элементов в частотной последовательности . Тогда, ${\displaystyle \|x\|_{0}}$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N-1}}$ ${\displaystyle \|X\|_{0}}$ ${\displaystyle X_{0},X_{1},\ldots ,X_{N-1}}$ $${\displaystyle \|x\|_{0}\cdot \|X\|_{0}\geq N.}$$

Это неравенство является точным , причем равенство достигается, когда x или X являются массой Дирака, или, в более общем случае, когда x является ненулевым кратным гребня Дирака, поддерживаемого на подгруппе целых чисел по модулю N (в этом случае X также является гребнем Дирака, поддерживаемым на дополнительной подгруппе, и наоборот).

В более общем случае, если T и W являются подмножествами целых чисел по модулю N , то пусть обозначают оператор ограничения по времени и операторы ограничения по полосе соответственно. Тогда где норма является нормой оператора операторов в гильбертовом пространстве функций от целых чисел по модулю N. Это неравенство имеет последствия для реконструкции сигнала . ^[78] ${\displaystyle L_{T},R_{W}:\ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )\to \ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )}$ $${\displaystyle \|L_{T}R_{W}\|^{2}\leq {\frac {|T||W|}{|G|}}}$$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )}$

Когда N — простое число , выполняется более сильное неравенство: Открытое Теренсом Тао , это неравенство также является точным. ^[79] $${\displaystyle \|x\|_{0}+\|X\|_{0}\geq N+1.}$$

Теорема Бенедикта

Теорема Амрейна–Бертье ^[80] и Бенедикса ^[81] интуитивно утверждает, что множество точек, где f не равно нулю, и множество точек, где ƒ̂ не равно нулю, не могут быть одновременно малыми.

В частности, невозможно, чтобы функция f в L ² ( R ) и ее преобразование Фурье ƒ̂ оба поддерживались на множествах конечной меры Лебега . Более количественная версия ^{[82] [83]} $${\displaystyle \|f\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{d})}\leq Ce^{C|S||\Sigma |}{\bigl (}\|f\|_{L^{2}(S^{c})}+\|{\hat {f}}\|_{L^{2}(\Sigma ^{c})}{\bigr )}~.}$$

Можно ожидать, что фактор Ce ^{C | S || Σ |} можно заменить на Ce ^{C (| S || Σ |) 1/ d} , что известно только в том случае, если S или Σ являются выпуклыми.

Принцип неопределенности Харди

Математик GH Hardy сформулировал следующий принцип неопределенности: ^[84] невозможно, чтобы f и ƒ̂ оба были «очень быстро убывающими». В частности, если f в таково, что и ( целое число), то, если ab > 1, f = 0 , а если ab = 1 , то существует многочлен P степени ≤ N такой, что ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle |f(x)|\leq C(1+|x|)^{N}e^{-a\pi x^{2}}}$$ $${\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|\leq C(1+|\xi |)^{N}e^{-b\pi \xi ^{2}}}$$ ${\displaystyle C>0,N}$ $${\displaystyle f(x)=P(x)e^{-a\pi x^{2}}.}$$

Позднее это было улучшено следующим образом: если таково, что то где P — многочлен степени ( N − d )/2 , а A — действительная положительно определенная матрица размера d × d . ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)||{\hat {f}}(\xi )|{\frac {e^{\pi |\langle x,\xi \rangle |}}{(1+|x|+|\xi |)^{N}}}\,dx\,d\xi <+\infty ~,}$$ $${\displaystyle f(x)=P(x)e^{-\pi \langle Ax,x\rangle }~,}$$

Этот результат был сформулирован в полном собрании работ Берлинга без доказательства и доказан в ^[85] (случай ) и Бонами, Деманжем и Джемингом ^[86] для общего случая. Обратите внимание, что версия Хермандера–Берлинга подразумевает случай ab > 1 в теореме Харди, в то время как версия Бонами–Деманжем–Джеминга охватывает всю силу теоремы Харди. Другое доказательство теоремы Берлинга, основанное на теореме Лиувилля, появилось в ^{[87] .} ${\displaystyle d=1,N=0}$

Полное описание случая ab < 1 , а также следующее расширение для распределений класса Шварца приведено в ^{[88] .}

Теорема  —  Если умеренное распределение таково, что и тогда для некоторого удобного полинома P и действительной положительно определенной матрицы A типа d × d . ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})}$ $${\displaystyle e^{\pi |x|^{2}}f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})}$$ $${\displaystyle e^{\pi |\xi |^{2}}{\hat {f}}\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})~,}$$ $${\displaystyle f(x)=P(x)e^{-\pi \langle Ax,x\rangle }~,}$$

История

В 1925 году Гейзенберг опубликовал статью Umdeutung (переосмысление) , в которой он показал, что центральным аспектом квантовой теории является некоммутативность : теория подразумевала, что относительный порядок измерения положения и импульса имеет значение. Работая с Максом Борном и Паскуалем Джорданом , он продолжил разрабатывать матричную механику , которая стала первой современной формулировкой квантовой механики. ^[89]

Вернер Гейзенберг и Нильс Бор

В марте 1926 года, работая в институте Бора, Гейзенберг понял, что некоммутативность подразумевает принцип неопределенности. В письме к Вольфгангу Паули в феврале 1927 года он разработал основные концепции. ^[90]

В своей знаменитой статье 1927 года « Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik » («О воспринимаемом содержании квантовой теоретической кинематики и механики») Гейзенберг установил это выражение как минимальную величину неизбежного возмущения импульса, вызванного любым измерением положения, ^[2] но он не дал точного определения для неопределенностей Δx и Δ p . Вместо этого он дал некоторые правдоподобные оценки в каждом случае отдельно. В его статье был дан анализ в терминах микроскопа, который, как показал Бор, был неверным; Гейзенберг включил дополнение к публикации.

В своей лекции в Чикаго 1930 года ^[91] он уточнил свой принцип:

Более поздние работы расширили эту концепцию. Любые две переменные, которые не коммутируют, не могут быть измерены одновременно — чем точнее известна одна, тем менее точно может быть известна другая. Гейзенберг писал:

В простейшей форме это можно выразить следующим образом: Никогда нельзя знать с идеальной точностью оба этих важных фактора, которые определяют движение одной из мельчайших частиц — ее положение и ее скорость. Невозможно точно определить и положение, и направление, и скорость частицы в один и тот же момент . ^[92]

Кеннард ^{[6] [1] : 204} в 1927 году впервые доказал современное неравенство:

где ħ = ⁠час/2π​⁠ , и σ _x , σ _p являются стандартными отклонениями положения и импульса. (Гейзенберг доказал соотношение ( A2 ) только для частного случая гауссовых состояний. ^[91] ) В 1929 году Робертсон обобщил неравенство на все наблюдаемые, а в 1930 году Шредингер расширил форму, чтобы допустить ненулевую ковариацию операторов; этот результат называется неравенством Робертсона-Шредингера. ^{[1] : 204}

Терминология и перевод

В основной части своей оригинальной статьи 1927 года, написанной на немецком языке, Гейзенберг использовал слово «Ungenauigkeit», ^[2] чтобы описать основной теоретический принцип. Только в концевой заметке он перешел на слово «Unsicherheit». Позже он всегда использовал «Unbestimmtheit». Однако, когда в 1930 году была опубликована англоязычная версия учебника Гейзенберга « Физические принципы квантовой теории» , использовалось только английское слово «uncertainty», и оно стало термином в английском языке. ^[93]

Микроскоп Гейзенберга

Гамма-микроскоп Гейзенберга для обнаружения электрона (показан синим цветом). Входящий гамма-луч (показан зеленым цветом) рассеивается электроном в апертурный угол микроскопа θ . Рассеянный гамма-луч показан красным цветом. Классическая оптика показывает, что положение электрона может быть определено только с точностью до неопределенности Δ x , которая зависит от θ и длины волны входящего света λ .

Принцип совершенно контринтуитивен, поэтому ранние исследователи квантовой теории должны были быть уверены, что наивные измерения, нарушающие его, всегда будут неработоспособны. Один из способов, которым Гейзенберг изначально проиллюстрировал внутреннюю невозможность нарушения принципа неопределенности, — это использование эффекта наблюдателя воображаемого микроскопа в качестве измерительного прибора. ^[91]

Он представляет себе экспериментатора, пытающегося измерить положение и импульс электрона , стреляя в него фотоном . ^{[94] : 49–50}

• Проблема 1 – Если фотон имеет короткую длину волны , а значит, большой импульс, положение можно измерить точно. Но фотон рассеивается в случайном направлении, передавая электрону большое и неопределенное количество импульса. Если фотон имеет большую длину волны и малый импульс, столкновение не сильно нарушает импульс электрона, но рассеяние покажет его положение лишь смутно.
• Проблема 2 – Если для микроскопа используется большая апертура , местоположение электрона может быть хорошо разрешено (см. критерий Рэлея ); но по принципу сохранения импульса поперечный импульс входящего фотона влияет на импульс электрона в луче, и, следовательно, новый импульс электрона разрешается плохо. Если используется маленькая апертура, точность обоих разрешений обратная.

Сочетание этих компромиссов подразумевает, что независимо от того, какая длина волны фотона и размер апертуры используются, произведение неопределенности в измеренном положении и измеренном импульсе больше или равно нижнему пределу, который (с точностью до небольшого числового множителя) равен постоянной Планка . ^[95] Гейзенберг не позаботился сформулировать принцип неопределенности как точный предел и предпочел использовать его вместо этого как эвристическое количественное утверждение, корректное с точностью до небольших числовых множителей, что делает радикально новую некоммутативность квантовой механики неизбежной.

Критические реакции

Копенгагенская интерпретация квантовой механики и принцип неопределенности Гейзенберга изначально рассматривались недоброжелателями как две цели. Согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики, не существует фундаментальной реальности, которую описывает квантовое состояние , а есть лишь предписание для расчета экспериментальных результатов. Невозможно сказать, каково фундаментальное состояние системы, можно сказать только то, каким может быть результат наблюдений.

Альберт Эйнштейн считал, что случайность является отражением нашего незнания некоторых фундаментальных свойств реальности, в то время как Нильс Бор считал, что распределения вероятностей являются фундаментальными и неприводимыми и зависят от того, какие измерения мы выбираем выполнять. Эйнштейн и Бор спорили о принципе неопределенности в течение многих лет.

Идеальный сторонний наблюдатель

Вольфганг Паули назвал основное возражение Эйнштейна против принципа неопределенности «идеалом стороннего наблюдателя» (фраза в переводе с немецкого):

«Как у Луны есть определенное положение», — сказал мне Эйнштейн прошлой зимой, — «независимо от того, смотрим мы на Луну или нет, то же самое должно быть и для атомных объектов, поскольку между ними и макроскопическими объектами нет резкого различия. Наблюдение не может создать элемент реальности, подобный положению, должно быть что-то, содержащееся в полном описании физической реальности, что соответствует возможности наблюдения положения, еще до того, как наблюдение было фактически сделано». Надеюсь, что я правильно процитировал Эйнштейна; всегда трудно цитировать кого-то по памяти, с кем не согласен. Именно такой постулат я называю идеалом отстраненного наблюдателя.

—  Письмо Паули Нильсу Бору, 15 февраля 1955 г. ^[96]

щель Эйнштейна

Первый мысленный эксперимент Эйнштейна , оспаривающий принцип неопределенности, выглядел следующим образом:

Рассмотрим частицу, проходящую через щель шириной d . Щель вносит неопределенность в импульс приблизительно ⁠час/г⁠ потому что частица проходит сквозь стену. Но давайте определим импульс частицы, измерив отдачу стенки. При этом мы найдем импульс частицы с произвольной точностью по закону сохранения импульса.

Бор ответил, что стена также является квантово-механической, и что для измерения отдачи с точностью Δ p импульс стены должен быть известен с этой точностью до того, как частица пройдет через нее. Это вносит неопределенность в положение стены и, следовательно, положение щели, равное ⁠час/Δ п⁠ , и если импульс стенки известен достаточно точно, чтобы измерить отдачу, положение щели достаточно неопределенно, чтобы исключить возможность измерения положения.

Похожий анализ с частицами, дифрагирующими через несколько щелей, дан Ричардом Фейнманом . ^[97]

Ящик Эйнштейна

Бор присутствовал, когда Эйнштейн предложил мысленный эксперимент, который стал известен как ящик Эйнштейна . Эйнштейн утверждал, что «уравнение неопределенности Гейзенберга подразумевает, что неопределенность во времени связана с неопределенностью в энергии, а произведение этих двух связано с постоянной Планка». ^[98] Он сказал, что рассмотрим идеальный ящик, облицованный зеркалами, так что он может содержать свет бесконечно. Ящик можно взвесить, прежде чем часовой механизм откроет идеальный затвор в выбранный момент, чтобы позволить одному единственному фотону вырваться. «Теперь мы знаем, — объяснил Эйнштейн, — точное время, в которое фотон покинул ящик». ^[99] «Теперь взвесьте ящик снова. Изменение массы сообщает энергию испускаемого света. Таким образом, сказал Эйнштейн, можно измерить испускаемую энергию и время ее высвобождения с любой желаемой точностью, что противоречит принципу неопределенности». ^[98]

Бор провел бессонную ночь, размышляя над этим аргументом, и в конце концов понял, что он был ошибочным. Он указал, что если бы ящик был взвешен, скажем, пружиной и указателем на весах, «поскольку ящик должен двигаться вертикально с изменением своего веса, возникнет неопределенность в его вертикальной скорости и, следовательно, неопределенность в его высоте над столом. ... Более того, неопределенность относительно высоты над поверхностью Земли приведет к неопределенности в скорости хода часов» ^[100] из-за собственной теории Эйнштейна о влиянии гравитации на время . «С помощью этой цепочки неопределенностей Бор показал, что эксперимент Эйнштейна со световым ящиком не мог одновременно точно измерить как энергию фотона, так и время его выхода». ^[101]

Парадокс ЭПР для запутанных частиц

В 1935 году Эйнштейн, Борис Подольский и Натан Розен опубликовали анализ пространственно разделенных запутанных частиц (парадокс ЭПР). ^[102] Согласно ЭПР, можно измерить положение одной из запутанных частиц и импульс второй частицы, и из этих измерений вывести положение и импульс обеих частиц с любой точностью, нарушая принцип неопределенности. Чтобы избежать такой возможности, измерение одной частицы должно мгновенно изменить распределение вероятностей другой частицы, возможно, нарушая принцип локальности . ^[103]

В 1964 году Джон Стюарт Белл показал, что это предположение может быть фальсифицировано, поскольку оно подразумевает определенное неравенство между вероятностями различных экспериментов. Экспериментальные результаты подтверждают предсказания квантовой механики, исключая основное предположение ЭПР о локальных скрытых переменных .

Критика Поппера

Философ науки Карл Поппер подошел к проблеме неопределенности как логик и метафизический реалист . ^[104] Он не соглашался с применением соотношений неопределенности к отдельным частицам, а не к ансамблям идентично приготовленных частиц, называя их «статистическими соотношениями рассеяния». ^{[104] [105]} В этой статистической интерпретации конкретное измерение может быть выполнено с произвольной точностью, не нарушая квантовую теорию.

В 1934 году Поппер опубликовал « Критику соотношений неопределенности » ( Zur Kritik der Ungenauigkeitsrelationen ) в Naturwissenschaften [ ^106] и в том же году «Logik der Forschung» (переведенную и обновленную автором в 1959 году как «Логика научного открытия» ^[104] ), изложив свои аргументы в пользу статистической интерпретации. В 1982 году он развил свою теорию в квантовой теории и расколе в физике , написав:

Формулы [Гейзенберга], вне всякого сомнения, являются выводимыми статистическими формулами квантовой теории. Но они обычно неверно истолковывались теми квантовыми теоретиками, которые говорили, что эти формулы можно интерпретировать как определяющие некий верхний предел точности наших измерений . [первоначальный акцент] ^[107]

Поппер предложил эксперимент, чтобы опровергнуть соотношения неопределенности, хотя позже он отозвал свою первоначальную версию после обсуждений с Карлом Фридрихом фон Вайцзеккером , Гейзенбергом и Эйнштейном; Поппер отправил свою статью Эйнштейну, и она, возможно, повлияла на формулировку парадокса ЭПР. ^{[108] : 720}

Свободная воля

Некоторые ученые, включая Артура Комптона ^[109] и Мартина Гейзенберга ^[110], предположили, что принцип неопределенности или, по крайней мере, общая вероятностная природа квантовой механики могут быть доказательством двухэтапной модели свободы воли. Однако одна из критических замечаний заключается в том, что помимо базовой роли квантовой механики как основы химии, нетривиальные биологические механизмы, требующие квантовой механики , маловероятны из-за быстрого времени декогеренции квантовых систем при комнатной температуре. ^[111] Сторонники этой теории обычно говорят, что эта декогеренция преодолевается как экранированием, так и подпространствами, свободными от декогеренции, обнаруженными в биологических клетках. ^[111]

Термодинамика

Есть основания полагать, что нарушение принципа неопределенности также в значительной степени подразумевает нарушение второго закона термодинамики . ^[112] См. парадокс Гиббса .

Отказ от принципа

Принципы неопределенности связывают квантовые частицы – например, электроны – с классическими понятиями – положением и импульсом. Это предполагает, что квантовые частицы имеют положение и импульс. Эдвин К. Кембл указал ^[113] в 1937 году, что такие свойства не могут быть экспериментально проверены, и предположение об их существовании порождает множество противоречий; аналогично Рудольф Хааг отмечает, что положение в квантовой механике является атрибутом взаимодействия, скажем, между электроном и детектором, а не внутренним свойством. ^{[114] [115]} С этой точки зрения принцип неопределенности является не фундаментальным квантовым свойством, а концепцией, «перенесенной из языка наших предков», как говорит Кембл.

Приложения

Поскольку принцип неопределенности является таким базовым результатом в квантовой механике, типичные эксперименты в квантовой механике регулярно наблюдают его аспекты. Все формы спектроскопии , включая физику элементарных частиц, используют это соотношение для связи измеренной ширины линии энергии со временем жизни квантовых состояний. Однако некоторые эксперименты могут намеренно проверять определенную форму принципа неопределенности как часть своей основной исследовательской программы. К ним относятся, например, проверки соотношений неопределенности числа и фазы в сверхпроводящих ^[116] или квантовой оптике ^[117] системах. Приложения, зависящие от принципа неопределенности для их работы, включают чрезвычайно малошумящую технологию, такую ​​как та, которая требуется в гравитационно-волновых интерферометрах . ^[118]

Смотрите также

• Принцип соответствия  – физический принцип, сформулированный Нильсом Бором.
• Закон Гудхарта  – Пословица о статистических мерах — когда делается попытка использовать статистическую меру в целях контроля (управления), ее статистическая обоснованность рушится.
• Введение в квантовую механику  – Нематематическое введение
• Принцип неопределенности Кюпфмюллера  – концепция в электронной технике, сформулированная Карлом КюпфмюллеромPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Квантовая неопределенность  – Кажущееся отсутствие определенного состояния до измерения квантовых систем.
• Квантовая суперпозиция  – Принцип квантовой механики
• Квантовое туннелирование  – квантово-механическое явление
• Физика и дальше  – книга Вернера Гейзенберга, изданная в 1969 году (воспоминания Гейзенберга)
• Более сильные соотношения неопределенности  – Более поздние разработки принципа Гейзенберга

Ссылки

1. Sen, D. (2014). "Соотношения неопределенности в квантовой механике" (PDF) . Current Science . 107 (2): 203–218. Архивировано (PDF) из оригинала 2019-09-24 . Получено 2016-02-14 .
2. Гейзенберг, В. (1927) [1927-03-01]. «Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik». Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 43 (3): 172–198. Бибкод : 1927ZPhy...43..172H. дои : 10.1007/BF01397280. ISSN  0044-3328. S2CID  122763326.Гейзенберг, В. (1983) [1927]. «Актуальное содержание квантовой теоретической кинематики и механики». № НАН 1.15: 77379. 1983 г. 43 (3–4): 172. Бибкод : 1983ЖФиз..43..172Х. Архивировано из оригинала 2 сентября 2023 г. Проверено 28 августа 2023 г. Английский перевод Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik
3. Вернер Гейзенберг (1989), Встречи с Эйнштейном и другие эссе о людях, местах и ​​частицах , Princeton University Press , стр. 53. ^{[ ISBN отсутствует ]}
4. Доллинг, Лиза М.; Джианелли, Артур Ф.; Статайл, Гленн Н., ред. (2003). Испытания временем . doi : 10.1515/9781400889167. ISBN 978-1400889167.
5. Кумар, Манджит. Квант: Эйнштейн, Бор и великий спор о природе реальности. 1-е американское изд., 2008. Гл. 10, Примечание 37. ^{[ ISBN отсутствует ]}
6. Kennard, EH (1927), "Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen", Zeitschrift für Physik (на немецком языке), 44 (4–5): 326–352, Бибкод : 1927ZPhy... 44..326K, doi : 10.1007/ БФ01391200, S2CID  121626384.
7. Вейль, Х. (1928). Gruppentheorie und Quantenmechanik (на немецком языке). Лейпциг: Хирцель.^{[ нужна страница ]}
8. Jaeger, Gregg (сентябрь 2014 г.). «Что в (квантовом) мире является макроскопическим?». American Journal of Physics . 82 (9): 896–905. Bibcode : 2014AmJPh..82..896J. doi : 10.1119/1.4878358.
9. См. Приложение B в Bialynicki-Birula, Iwo; Bialynicka-Birula, Zofia (2009), "Почему фотоны не могут быть резко локализованы", Physical Review A , 79 (3): 7–8, arXiv : 0903.3712 , Bibcode : 2009PhRvA..79c2112B, doi : 10.1103/PhysRevA.79.032112, S2CID  55632217
10. Клод Коэн-Таннуджи; Бернар Диу; Франк Лалоэ (1996), Квантовая механика , Wiley-Interscience: Wiley, стр. 231–233, ISBN 978-0-471-56952-7
11. Ландау, Лев Давидович ; Лифшиц, Евгений Михайлович (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория. Т. 3 (3-е изд.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1.
12. Буш, Пол (2002). «Соотношение неопределенности времени и энергии». В Муга, Дж. Г.; Маято, Р. Сала; Эгускиса, И. Л. (ред.). Время в квантовой механике. Конспект лекций по физике. Том 72. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 69–98. doi :10.1007/3-540-45846-8_3. ISBN 978-3-540-43294-4.
13. Вигнер, Э. П. (1997). «О соотношении неопределенности времени и энергии». В Вайтмане, Артур С. (ред.). Часть I: Частицы и поля. Часть II: Основы квантовой механики . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 538–548. doi :10.1007/978-3-662-09203-3_58. ISBN 978-3-642-08179-8.
14. Hilgevoord, Jan (1996-12-01). "Принцип неопределенности для энергии и времени". American Journal of Physics . 64 (12): 1451–1456. Bibcode :1996AmJPh..64.1451H. doi :10.1119/1.18410. ISSN  0002-9505. Архивировано из оригинала 2024-02-23 . Получено 2023-11-12 .
15. Линч, Ф.Дж.; Холланд, Р.Э.; Хамермеш, М. (1960-10-15). «Временная зависимость резонансно отфильтрованных гамма-лучей от Fe 57». Physical Review . 120 (2): 513–520. doi :10.1103/PhysRev.120.513. ISSN  0031-899X.
16. Фрауэнфельдер, Х. (1962). Эффект Мёссбауэра. В. А. Бенджамин . п. 66. ЛЦН  61018181.
17. Бом, Арно Р.; Сато, Ёсихиро (28.04.2005). «Релятивистские резонансы: их массы, ширина, время жизни, суперпозиция и причинная эволюция». Physical Review D. 71 ( 8): 085018. arXiv : hep-ph/0412106 . Bibcode : 2005PhRvD..71h5018B. doi : 10.1103/PhysRevD.71.085018. ISSN  1550-7998. S2CID  119417992.
18. Карплус, Мартин и Портер, Ричард Нидхэм (1970). Атомы и молекулы . Калифорния: Бенджамин Каммингс. стр. 68 ISBN 978-0805352184 . OCLC  984466711 
19. Широкая ширина линии быстро распадающихся состояний затрудняет точное измерение энергии состояния, и исследователи даже использовали расстроенные микроволновые резонаторы, чтобы замедлить скорость распада и получить более острые пики. Gabrielse, Gerald; H. Dehmelt (1985). "Observation of Inhibited Spontaneous Emission". Physical Review Letters . 55 (1): 67–70. Bibcode :1985PhRvL..55...67G. doi :10.1103/PhysRevLett.55.67. PMID  10031682.
20. Hilgevoord, Jan (март 2005). «Время в квантовой механике: история путаницы». Исследования по истории и философии науки Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 36 (1): 29–60. Bibcode :2005SHPMP..36...29H. doi :10.1016/j.shpsb.2004.10.002. Архивировано из оригинала 23.10.2022 . Получено 28.01.2024 .
21. Bohm, Arno (январь 2011). «Резонансы/распадные состояния и математика квантовой физики». Reports on Mathematical Physics . 67 (3): 279–303. Bibcode :2011RpMP...67..279B. doi :10.1016/S0034-4877(11)60018-9. Архивировано из оригинала 2023-12-04 . Получено 2024-01-24 .
22. Ааронов, Ю.; Бом, Д. (1 июня 1961 г.). «Время в квантовой теории и соотношение неопределенности для времени и энергии» (PDF) . Physical Review . 122 (5): 1649–1658. Bibcode :1961PhRv..122.1649A. doi :10.1103/PhysRev.122.1649. Архивировано из оригинала (PDF) 2014-01-09 . Получено 2012-01-21 .
23. Л. И. Мандельштам, И. Е. Тамм, Соотношение неопределенностей между энергией и временем в нерелятивистской квантовой механике. Архивировано 07.06.2019 в Wayback Machine , 1945.
24. Набер, Грегори Л. (2021). Квантовая механика: введение в физические основы и математическую структуру. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. стр. 230. ISBN 978-3-11-075194-9. Архивировано из оригинала 2024-02-23 . Получено 2024-01-20 .
25. Гриффитс, Дэвид Дж.; Шрётер, Даррелл Ф. (2018). Введение в квантовую механику (3-е изд.). Cambridge University Press. Bibcode : 2018iqm..book.....G. doi : 10.1017/9781316995433. ISBN 978-1-316-99543-3. Архивировано из оригинала 2024-02-23 . Получено 2024-01-27 .
26. Фурута, Ая (2012), «Одно несомненно: принцип неопределенности Гейзенберга не умер», Scientific American , заархивировано из оригинала 2022-04-01 , извлечено 2018-10-20
27. Ozawa, Masanao (2003), "Универсально допустимая переформулировка принципа неопределенности Гейзенберга относительно шума и помех в измерениях", Physical Review A , 67 (4): 42105, arXiv : quant-ph/0207121 , Bibcode : 2003PhRvA..67d2105O, doi : 10.1103/PhysRevA.67.042105, S2CID  42012188
28. Уилер, Джон Арчибальд (1978-01-01), Марлоу, AR (ред.), «Прошлое» и эксперимент с двойной щелью «отложенного выбора», Математические основы квантовой теории , Academic Press, стр. 9–48, doi :10.1016/b978-0-12-473250-6.50006-6, ISBN 978-0-12-473250-6, заархивировано из оригинала 2022-12-10 , извлечено 2023-07-19
29. Уилер, Джон Арчибальд (1977), Лопес, Хосе Лейте; Пати, Мишель (ред.), «Включить наблюдателя в волновую функцию?», Квантовая механика, полвека спустя: доклады коллоквиума, посвященного пятидесяти годам квантовой механики, состоявшегося в Университете Луи Пастера, Страсбург, 2–4 мая 1974 г. , Episteme, Дордрехт: Springer Netherlands, стр. 1–18, doi :10.1007/978-94-010-1196-9_1, ISBN 978-94-010-1196-9, заархивировано из оригинала 2024-02-23 , извлечено 2023-07-19
30. Вернер Гейзенберг, Физические принципы квантовой теории , стр. 20
31. Rozema, LA; Darabi, A.; Mahler, DH; Hayat, A.; Soudagar, Y.; Steinberg, AM (2012). «Нарушение связи измерения и возмущения Гейзенберга слабыми измерениями». Physical Review Letters . 109 (10): 100404. arXiv : 1208.0034v2 . Bibcode :2012PhRvL.109j0404R. doi :10.1103/PhysRevLett.109.100404. PMID  23005268. S2CID  37576344.
32. Де Бройль, Луи (октябрь 1923 г.). «Волны и кванты». Nature . 112 (2815): 540. Bibcode : 1923Natur.112..540D. doi : 10.1038/112540a0 . ISSN  1476-4687. S2CID  186242764.
33. Индийский технологический институт Мадраса, профессор В. Балакришнан, Лекция 1 – Введение в квантовую физику; Принцип неопределенности Гейзенберга, Национальная программа технологического усовершенствованного обучения на YouTube
34. Robertson, HP (1929), «Принцип неопределенности», Phys. Rev. , 34 (1): 163–164, Bibcode : 1929PhRv...34..163R, doi : 10.1103/PhysRev.34.163
35. Шрёдингер, Э., Zum Heisenbergschen Unschärfeprinzip, Berliner Berichte, 1930, стр. 296–303.
36. Schrödinger, E. (1930), "Zum Heisenbergschen Unschärfeprinzip", Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse , 14 : 296–303
37. Райли, К.Ф.; М.П. Хобсон и С.Дж. Бенс (2006), Математические методы для физики и техники , Кембридж, стр. 246^{[ ISBN отсутствует ]}
38. Дэвидсон, Э. Р. (1965), «О выводах принципа неопределенности», J. Chem. Phys. , 42 (4): 1461–1462, Bibcode : 1965JChPh..42.1461D, doi : 10.1063/1.1696139
39. Hall, BC (2013), Квантовая теория для математиков , Springer, стр. 245, Bibcode : 2013qtm..book.....H
40. Джекив, Роман (1968), «Минимальное произведение неопределенности, произведение неопределенности числа и фазы и когерентные состояния», J. Math. Phys. , 9 (3): 339–346, Bibcode : 1968JMP.....9..339J, doi : 10.1063/1.1664585
41. Carruthers, P.; Nieto, MM (1968), "Фазовые и угловые переменные в квантовой механике", Rev. Mod. Phys. , 40 (2): 411–440, Bibcode : 1968RvMP...40..411C, doi : 10.1103/RevModPhys.40.411
42. Холл, BC (2013), Квантовая теория для математиков , Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H
43. Maccone, Lorenzo; Pati, Arun K. (31 декабря 2014 г.). «Более сильные соотношения неопределенности для всех несовместимых наблюдаемых». Physical Review Letters . 113 (26): 260401. arXiv : 1407.0338 . Bibcode : 2014PhRvL.113z0401M. doi : 10.1103/PhysRevLett.113.260401. PMID  25615288. S2CID  21334130.
44. Хуан, Ичен (10 августа 2012 г.). "Соотношения неопределенности на основе дисперсии". Physical Review A. 86 ( 2): 024101. arXiv : 1012.3105 . Bibcode : 2012PhRvA..86b4101H. doi : 10.1103/PhysRevA.86.024101. S2CID  118507388.
45. Tóth, Géza; Fröwis, Florian (31 января 2022 г.). «Соотношения неопределенности с дисперсией и квантовой информацией Фишера на основе выпуклых разложений матриц плотности». Physical Review Research . 4 (1): 013075. arXiv : 2109.06893 . Bibcode : 2022PhRvR...4a3075T. doi : 10.1103/PhysRevResearch.4.013075. S2CID  237513549.
46. Tóth, Géza; Petz, Dénes (20 марта 2013 г.). "Экстремальные свойства дисперсии и квантовой информации Фишера". Physical Review A. 87 ( 3): 032324. arXiv : 1109.2831 . Bibcode : 2013PhRvA..87c2324T. doi : 10.1103/PhysRevA.87.032324. S2CID  55088553.
47. Ю, Сиксия (2013). «Квантовая информация Фишера как выпуклая крыша дисперсии». arXiv : 1302.5311 [quant-ph].
48. Fröwis, Florian; Schmied, Roman; Gisin, Nicolas (2 июля 2015 г.). «Более строгие квантовые соотношения неопределенности, вытекающие из общей вероятностной границы». Physical Review A . 92 (1): 012102. arXiv : 1409.4440 . Bibcode :2015PhRvA..92a2102F. doi :10.1103/PhysRevA.92.012102. S2CID  58912643.
49. Curtright, T.; Zachos, C. (2001). «Отрицательная вероятность и неопределенность отношений». Modern Physics Letters A. 16 ( 37): 2381–2385. arXiv : hep-th/0105226 . Bibcode : 2001MPLA...16.2381C. doi : 10.1142/S021773230100576X. S2CID  119669313.
50. Лихарев, КК; А. Б. Зорин (1985), "Теория блоховских колебаний в малых джозефсоновских переходах", J. Low Temp. Phys. , 59 (3/4): 347–382, Bibcode : 1985JLTP...59..347L, doi : 10.1007/BF00683782, S2CID  120813342
51. Андерсон, П. У. (1964), «Специальные эффекты в сверхпроводимости», в Caianiello, ER (ред.), Лекции по проблеме многих тел, т. 2 , Нью-Йорк: Academic Press
52. Дэвидсон, Эрнест Р. (1965-02-15). «О выводах принципа неопределенности». Журнал химической физики . 42 (4): 1461–1462. Bibcode : 1965JChPh..42.1461D. doi : 10.1063/1.1696139. ISSN  0021-9606. Архивировано из оригинала 2024-02-23 . Получено 2024-01-20 .
53. Холл, BC (2013), Квантовая теория для математиков , Springer, стр. 245, Bibcode : 2013qtm..book.....H
54. Холл, BC (2013), Квантовая теория для математиков , Springer, стр. 246, Bibcode : 2013qtm..book.....H
55. Джованнетти, В.; Ллойд, С.; Макконе, Л. (2011). «Достижения в квантовой метрологии». Nature Photonics . 5 (4): 222. arXiv : 1102.2318 . Bibcode : 2011NaPho...5..222G. doi : 10.1038/nphoton.2011.35. S2CID  12591819.; arXiv Архивировано 2020-08-06 в Wayback Machine
56. Луис, Альфредо (2017-03-13). «Преодоление слабого предела Гейзенберга». Physical Review A. 95 ( 3): 032113. arXiv : 1607.07668 . Bibcode : 2017PhRvA..95c2113L. doi : 10.1103/PhysRevA.95.032113. ISSN  2469-9926. S2CID  55838380.
57. Буш, П.; Лахти, П.; Вернер, РФ (2013). «Доказательство соотношения Гейзенберга между ошибкой и возмущением». Physical Review Letters . 111 (16): 160405. arXiv : 1306.1565 . Bibcode : 2013PhRvL.111p0405B. doi : 10.1103/PhysRevLett.111.160405. PMID  24182239. S2CID  24507489.
58. Буш, П.; Лахти, П.; Вернер, РФ (2014). «Неопределенность Гейзенберга для измерений кубитов». Physical Review A. 89 ( 1): 012129. arXiv : 1311.0837 . Bibcode : 2014PhRvA..89a2129B. doi : 10.1103/PhysRevA.89.012129. S2CID  118383022.
59. Erhart, J.; Sponar, S.; Sulyok, G.; Badurek, G.; Ozawa, M.; Hasegawa, Y. (2012). «Экспериментальная демонстрация универсально допустимого соотношения неопределенности ошибки и возмущения в спиновых измерениях». Nature Physics . 8 (3): 185–189. arXiv : 1201.1833 . Bibcode :2012NatPh...8..185E. doi :10.1038/nphys2194. S2CID  117270618.
60. Baek, S.-Y.; Kaneda, F.; Ozawa, M.; Edamatsu, K. (2013). "Экспериментальное нарушение и переформулирование соотношения неопределенности "ошибка-возмущение" Гейзенберга". Scientific Reports . 3 : 2221. Bibcode :2013NatSR...3E2221B. doi :10.1038/srep02221. PMC 3713528 . PMID  23860715. 
61. Рингбауэр, М.; Биггерстафф, Д. Н.; Брум, МА; Федрицци, А.; Бранчиард, К.; Уайт, АГ (2014). «Экспериментальные совместные квантовые измерения с минимальной неопределенностью». Physical Review Letters . 112 (2): 020401. arXiv : 1308.5688 . Bibcode : 2014PhRvL.112b0401R. doi : 10.1103/PhysRevLett.112.020401. PMID  24483993. S2CID  18730255.
62. Бьорк, Г.; Сёдерхольм, Й.; Трифонов, А.; Цегайе, Т.; Карлссон, А. (1999). «Дополнительность и соотношения неопределенности». Physical Review . A60 (3): 1878. arXiv : quant-ph/9904069 . Bibcode : 1999PhRvA..60.1874B. doi : 10.1103/PhysRevA.60.1874. S2CID  27371899.
63. Фудзикава, Казуо (2012). «Универсально допустимое соотношение неопределенности Гейзенберга». Physical Review A. 85 ( 6): 062117. arXiv : 1205.1360 . Bibcode : 2012PhRvA..85f2117F. doi : 10.1103/PhysRevA.85.062117. S2CID  119640759.
64. Джадж, Д. (1964), «О соотношении неопределенностей для угловых переменных», Il Nuovo Cimento , 31 (2): 332–340, Bibcode : 1964NCim...31..332J, doi : 10.1007/BF02733639, S2CID  120553526
65. Bouten, M.; Maene, N.; Van Leuven, P. (1965), «О соотношении неопределенности для угловых переменных», Il Nuovo Cimento , 37 (3): 1119–1125, Bibcode : 1965NCim...37.1119B, doi : 10.1007/BF02773197, S2CID  122838645
66. Louisell, WH (1963), «Соотношения неопределенности амплитуды и фазы», ​​Physics Letters , 7 (1): 60–61, Bibcode : 1963PhL.....7...60L, doi : 10.1016/0031-9163(63)90442-6
67. ДеВитт, Б. С.; Грэм, Н. (1973), Многомировая интерпретация квантовой механики , Принстон: Princeton University Press , стр. 52–53, ISBN 0-691-08126-3
68. Хиршман, II младший (1957), «Заметка об энтропии», Американский журнал математики , 79 (1): 152–156, doi :10.2307/2372390, JSTOR  2372390.
69. Бекнер, В. (1975), «Неравенства в анализе Фурье», Annals of Mathematics , 102 (6): 159–182, doi :10.2307/1970980, JSTOR  1970980, PMC 432369 , PMID  16592223. 
70. Bialynicki-Birula, I.; Mycielski, J. (1975), "Соотношения неопределенности для информационной энтропии в волновой механике", Communications in Mathematical Physics , 44 (2): 129–132, Bibcode : 1975CMaPh..44..129B, doi : 10.1007/BF01608825, S2CID  122277352, архивировано из оригинала 2021-02-08 , извлечено 2021-08-17
71. Хуан, Ичен (24 мая 2011 г.). "Энтропийные соотношения неопределенности в многомерных пространствах положения и импульса". Physical Review A . 83 (5): 052124. arXiv : 1101.2944 . Bibcode :2011PhRvA..83e2124H. doi :10.1103/PhysRevA.83.052124. S2CID  119243096.
72. Chafaï, D. (2003), «Гауссовский максимум энтропии и обратное логарифмическое неравенство Соболева», Séminaire de Probabilités XXXVI , Lecture Notes in Mathematics, т. 1801, стр. 194–200, arXiv : math/0102227 , doi :10.1007/978-3-540-36107-7_5, ISBN 978-3-540-00072-3, S2CID  17795603
73. Чиу, Шао-Хен; Гесснер, Мануэль (31 января 2022 г.). «Улучшение соотношений суммарной неопределенности с помощью квантовой информации Фишера». Physical Review Research . 4 (1): 013076. arXiv : 2109.06900 . Bibcode : 2022PhRvR...4a3076C. doi : 10.1103/PhysRevResearch.4.013076. S2CID  237513883.
74. Хавин, В.; Йорике, Б. (1994), Принцип неопределенности в гармоническом анализе , Springer-Verlag
75. Фолланд, Джеральд; Ситарам, Аллади (май 1997 г.), «Принцип неопределенности: математический обзор», Журнал анализа Фурье и приложений , 3 (3): 207–238, doi :10.1007/BF02649110, MR  1448337, S2CID  121355943
76. Ситарам, А (2001) [1994], «Принцип неопределенности, математический», Энциклопедия математики , EMS Press
77. Мэтт Холл, «Что такое принцип неопределенности Габора?» Архивировано 09.02.2018 на Wayback Machine
78. Донохо, Д. Л.; Старк, П. Б. (1989). «Принципы неопределенности и восстановление сигнала». Журнал SIAM по прикладной математике . 49 (3): 906–931. doi :10.1137/0149053.
79. Теренс Тао (2005), «Принцип неопределенности для циклических групп простого порядка», Mathematical Research Letters , 12 (1): 121–127, arXiv : math/0308286 , doi : 10.4310/MRL.2005.v12.n1.a11, S2CID  8548232
80. Амрейн, У.О.; Бертье, А.М. (1977), «О свойствах поддержки L ^p -функций и их преобразованиях Фурье», Журнал функционального анализа , 24 (3): 258–267, doi : 10.1016/0022-1236(77)90056-8 .
81. Бенедикс, М. (1985), «О преобразованиях Фурье функций, поддерживаемых множествами конечной меры Лебега», J. Math. Anal. Appl. , 106 (1): 180–183, doi : 10.1016/0022-247X(85)90140-4
82. Назаров, Ф. (1994), «Локальные оценки для экспоненциальных полиномов и их приложения к неравенствам типа принципа неопределенности», Санкт-Петербургский математический журнал , 5 : 663–717
83. Jaming, Ph. (2007), «Принципы неопределенности Назарова в высшей размерности», J. Approx. Theory , 149 (1): 30–41, arXiv : math/0612367 , doi : 10.1016/j.jat.2007.04.005, S2CID  9794547
84. Харди, Г. Х. (1933), «Теорема о преобразованиях Фурье», Журнал Лондонского математического общества , 8 (3): 227–231, doi :10.1112/jlms/s1-8.3.227
85. Хермандер, Л. (1991), «Теорема единственности Берлинга для пар преобразований Фурье», Ark. Mat. , 29 (1–2): 231–240, Bibcode : 1991ArM....29..237H, doi : 10.1007/BF02384339 , S2CID  121375111
86. Бонами, А .; Деманж, Б.; Джеминг, Ф. (2003), «Функции Эрмита и принципы неопределенности для преобразований Фурье и оконных преобразований Фурье», Rev. Mat. Iberoamericana , 19 : 23–55, arXiv : math/0102111 , Bibcode : 2001math......2111B, doi : 10.4171/RMI/337, S2CID  1211391
87. Хеденмальм, Хаакан (2012), «Принцип неопределенности Гейзенберга в смысле Берлинга», Journal d'Analyse Mathématique , 118 (2): 691–702, arXiv : 1203.5222 , Bibcode : 2012arXiv1203.5222H, doi : 10.1007/s11854-012-0048-9 , S2CID  54533890
88. Деманж, Бруно (2009), Принципы неопределенности, связанные с невырожденными квадратичными формами , Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-297-6
89. Уиттекер, Эдмунд Т. (1989). История теорий эфира и электричества . Том II: Современные теории, 1900–1926 (Переиздание). Нью-Йорк: Dover Publ. стр. 267. ISBN 978-0-486-26126-3.
90. "Этот месяц в истории физики". www.aps.org . Архивировано из оригинала 2011-01-30 . Получено 2023-11-04 .
91. Гейзенберг, В. (1930), Physikalische Prinzipien der Quantentheorie (на немецком языке), Лейпциг: ХирзельПеревод на английский язык Физические принципы квантовой теории . Чикаго: Издательство Чикагского университета, 1930.
92. Гейзенберг, В., Die Physik der Atomkerne , Тейлор и Фрэнсис, 1952, с. 30.
93. Кэссиди, Дэвид; Саперштейн, Элвин М. (2009), «За пределами неопределенности: Гейзенберг, квантовая физика и бомба», Physics Today , 63 (1), Нью-Йорк: Bellevue Literary Press: 185, Bibcode : 2010PhT....63a..49C , doi : 10.1063/1.3293416 , архивировано из оригинала 4 января 2024 г.
94. Гринстейн, Джордж; Зайонц, Артур (2006). Квантовый вызов: современные исследования основ квантовой механики . Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-2470-2.
95. Типлер, Пол А.; Ллевеллин, Ральф А. (1999), Современная физика, т. 3, WH Freeman & Co., стр. 3, ISBN 978-1572591646, LCCN  98046099
96. Энц, Чарльз Пауль; фон Мейенн, Карл (1994). Сочинения по физике и философии Вольфганга Паули. Перевод Роберта Шлаппа. Springer-Verlag. стр. 43. ISBN 3-540-56859-X. Архивировано из оригинала 2020-08-19 . Получено 2018-02-10 .
97. Лекции Фейнмана по физике, том 3, 2–2
98. Гамов, Г., Великие физики от Галилея до Эйнштейна , Courier Dover, 1988, стр. 260.
99. Кумар, М., Квант: Эйнштейн, Бор и великий спор о природе реальности , Icon, 2009, стр. 282.
100. Гамов, Г., Великие физики от Галилея до Эйнштейна , Courier Dover, 1988, стр. 260–261. ^{[ ISBN отсутствует ]}
101. Кумар, М., Квант: Эйнштейн, Бор и великий спор о природе реальности , Icon, 2009, стр. 287.
102. Эйнштейн, А.; Подольский, Б.; Розен, Н. (1935-05-15). «Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным?». Physical Review . 47 (10): 777–780. Bibcode :1935PhRv...47..777E. doi : 10.1103/PhysRev.47.777 .
103. Кумар, Манджит (2011). Квант: Эйнштейн, Бор и великий спор о природе реальности (1-е изд.). Нью-Йорк: Нортон. ISBN 978-0-393-33988-8.
104. Поппер, Карл (1959), Логика научного открытия , Hutchinson & Co.
105. Джарви, Ян Чарльз; Милфорд, Карл; Миллер, Дэвид В. (2006), Карл Поппер: оценка столетия , т. 3, Ashgate Publishing, ISBN 978-0-7546-5712-5
106. Поппер, Карл; Карл Фридрих фон Вайцзеккер (1934), «Zur Kritik der Ungenauigkeitsrelationen (Критика отношений неопределенности)», Naturwissenschaften , 22 (48): 807–808, Бибкод : 1934NW.....22..807P, doi : 10.1007/ BF01496543, S2CID  40843068.
107. Поппер, К. Квантовая теория и раскол в физике , Unwin Hyman Ltd, 1982, стр. 53–54.
108. Мехра, Джагдиш ; Рехенберг, Хельмут (2001), Историческое развитие квантовой теории , Springer, ISBN 978-0-387-95086-0
109. Комптон, AH (1931). «Принцип неопределенности и свободная воля». Science . 74 (1911): 172. Bibcode :1931Sci....74..172C. doi :10.1126/science.74.1911.172. PMID  17808216. S2CID  29126625.
110. Гейзенберг, М. (2009). «Является ли свободная воля иллюзией?». Nature . 459 (7244): 164–165. Bibcode : 2009Natur.459..164H. doi : 10.1038/459164a . PMID  19444190. S2CID  4420023.
111. Davies, PCW (2004). «Играет ли квантовая механика нетривиальную роль в жизни?». Biosystems . 78 (1–3): 69–79. Bibcode : 2004BiSys..78...69D. doi : 10.1016/j.biosystems.2004.07.001. PMID  15555759.
112. Хэнги, Эстер; Венер, Стефани (2013). «Нарушение принципа неопределенности подразумевает нарушение второго закона термодинамики». Nature Communications . 4 : 1670. arXiv : 1205.6894 . Bibcode : 2013NatCo...4.1670H. doi : 10.1038/ncomms2665. PMID  23575674. S2CID  205316392.
113. Кембл, EC, 1937, Основные принципы квантовой механики (McGraw-Hill, Нью-Йорк; перепечатано Dover), стр. 244
114. Хааг, Р. (1996), Локальная квантовая физика: поля, частицы, алгебры , (Берлин: Springer). ^{[ нужна страница ] [ ISBN отсутствует ]}
115. Перес, Эшер; Терно, Дэниел Р. (2004-01-06). «Квантовая информация и теория относительности». Reviews of Modern Physics . 76 (1): 93–123 [111]. arXiv : quant-ph/0212023 . Bibcode :2004RvMP...76...93P. doi :10.1103/RevModPhys.76.93. ISSN  0034-6861. S2CID  7481797. Архивировано из оригинала 2024-02-23 . Получено 2024-01-25 .
116. Элион, WJ; Материя, М.; Гейгенмюллер, У.; Mooij, JE (1994), «Прямая демонстрация принципа неопределенности Гейзенберга в сверхпроводнике», Nature , 371 (6498): 594–595, Bibcode : 1994Natur.371..594E, doi : 10.1038/371594a0, S2CID  4240085
117. Смити, Д.Т.; М. Бек, Дж. Купер, М.Г. Реймер; Купер, Дж.; Реймер, М.Г. (1993), "Измерение соотношений неопределенности числа и фазы оптических полей", Phys. Rev. A , 48 (4): 3159–3167, Bibcode : 1993PhRvA..48.3159S, doi : 10.1103/PhysRevA.48.3159, PMID  9909968{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
118. Кейвс, Карлтон (1981), «Квантово-механический шум в интерферометре», Phys. Rev. D , 23 (8): 1693–1708, Bibcode : 1981PhRvD..23.1693C, doi : 10.1103/PhysRevD.23.1693

Внешние ссылки

• «Принцип неопределенности», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Запись в Стэнфордской энциклопедии философии