Треугольник Extouch

Треугольник, образованный точками касания вневписанных окружностей данного треугольника

  Произвольный треугольник △ ABC

  Вневписанные окружности , касающиеся сторон треугольника △ ABC в точках T _A , T _B , T _C

  Треугольник касания △ T _A T _B T _C

  Разделители периметра AT _A , BT _B , CT _C ; пересекаются в точке Нагеля N

В евклидовой геометрии треугольник вневписанных окружностей образуется путем соединения точек, в которых три вневписанные окружности касаются треугольника.

Координаты

Вершины треугольника касания задаются в трилинейных координатах следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}T_{A}=&0&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\T_{B}=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\T_{C}=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0\end{array}}}$$

или эквивалентно, где a, b, c — длины сторон, противолежащих углам A, B, C соответственно,

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}T_{A}=&0&:&{\frac {a\,-\,b\,+\,c}{b}}&:&{\frac {a\,+\,b\,-\,c}{c}}\\T_{B}=&{\frac {-a\,+\,b\,+\,c}{a}}&:&0&:&{\frac {a\,+\,b\,-\,c}{c}}\\T_{C}=&{\frac {-a\,+\,b\,+\,c}{a}}&:&{\frac {a\,-\,b\,+\,c}{b}}&:&0\end{array}}}$$

Связанные цифры

Разделители треугольника — это линии, соединяющие вершины исходного треугольника с соответствующими вершинами треугольника-выступа; они делят периметр треугольника пополам и встречаются в точке Нагеля . На схеме это показано синим цветом и обозначено буквой «N».

Эллипс Мандарта касается сторон исходного треугольника в трех вершинах треугольника касания. ^[1]

Область

Площадь треугольника касания K _T определяется по формуле:

${\displaystyle K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}}$

где K и r — площадь и радиус вписанной окружности , s — полупериметр исходного треугольника, а a, b, c — длины сторон исходного треугольника.

Это та же площадь, что и у треугольника Intouch . ^[2]

Ссылки

1. Юхас, Имре (2012), «Представление эллипсов треугольников на основе контрольных точек» (PDF) , Annales Mathematicae et Informaticae , 40 : 37–46, MR  3005114.
2. Weisstein, Eric W. "Extouch Triangle". Из MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ExtouchTriangle.html