закон Стокса

Уравнение скорости тела в вязкой жидкости

В гидродинамике закон Стокса является эмпирическим законом для силы трения (также называемой силой сопротивления ), действующей на сферические объекты с очень малыми числами Рейнольдса в вязкой жидкости . ^[1] Он был выведен Джорджем Габриэлем Стоксом в 1851 году путем решения предела потока Стокса для малых чисел Рейнольдса уравнений Навье–Стокса . ^[2]

Изложение закона

Сила вязкости, действующая на небольшую сферу, движущуюся через вязкую жидкость, определяется по формуле: ^{[3] [4]}

${\displaystyle F_{\rm {d}}=6\pi \mu Rv}$

где (в единицах СИ ):

• F _d — сила трения, известная как сопротивление Стокса , действующая на границе раздела между жидкостью и частицей ( ньютоны , кг м·с ⁻² );
• μ (некоторые авторы используют символ η ) — динамическая вязкость ( Паскаль -секунды, кг·м ^−1· с ⁻¹ );
• R — радиус сферического объекта (метры);
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle v}$ — скорость потока относительно объекта (метры в секунду).

Закон Стокса делает следующие предположения относительно поведения частицы в жидкости:

• Ламинарный поток
• Отсутствие инерционных эффектов (нулевое число Рейнольдса )
• Сферические частицы
• Однородный (однородный по составу) материал
• Гладкие поверхности
• Частицы не мешают друг другу.

В зависимости от желаемой точности, невыполнение этих предположений может потребовать или не потребовать использования более сложной модели. Например, для погрешности в 10% скорости должны быть ограничены теми, которые дают Re < 1.

Для молекул закон Стокса используется для определения их радиуса Стокса и диаметра .

В честь его работы единица кинематической вязкости в системе СГС была названа «стокс».

Приложения

Закон Стокса лежит в основе вискозиметра с падающей сферой , в котором жидкость неподвижна в вертикальной стеклянной трубке. Сфера известного размера и плотности опускается через жидкость. При правильном выборе она достигает конечной скорости, которую можно измерить по времени, необходимому для прохождения двух отметок на трубке. Электронное зондирование можно использовать для непрозрачных жидкостей. Зная конечную скорость, размер и плотность сферы и плотность жидкости, закон Стокса можно использовать для расчета вязкости жидкости . В классическом эксперименте обычно используется ряд стальных шарикоподшипников разного диаметра для повышения точности расчета. В школьном эксперименте в качестве жидкости используется глицерин или золотой сироп , и эта техника используется в промышленности для проверки вязкости жидкостей, используемых в процессах. Несколько школьных экспериментов часто включают изменение температуры и/или концентрации используемых веществ, чтобы продемонстрировать влияние этого на вязкость. Промышленные методы включают множество различных масел и полимерных жидкостей, таких как растворы.

Важность закона Стокса иллюстрируется тем фактом, что он сыграл решающую роль в исследованиях, приведших по меньшей мере к трем Нобелевским премиям. ^[5]

Закон Стокса важен для понимания плавания микроорганизмов и сперматозоидов , а также осаждения мелких частиц и организмов в воде под действием силы тяжести. ^[5]

В воздухе та же теория может быть использована для объяснения того, почему мелкие капли воды (или кристаллы льда) могут оставаться взвешенными в воздухе (в виде облаков) до тех пор, пока они не вырастут до критического размера и не начнут падать в виде дождя (или снега и града). ^[6] Аналогичное использование уравнения может быть сделано при осаждении мелких частиц в воде или других жидкостях. ^{[ необходима цитата ]}

Конечная скорость падения сферы в жидкости

Ползучий поток мимо падающей сферы в жидкости (например, капли тумана, падающей в воздухе): линии тока , сила сопротивления F _d и сила тяжести F _g .

При конечной (или осаждающей) скорости избыточная сила F _e из-за разницы между весом и плавучестью сферы (оба вызваны гравитацией ^[7] ) определяется по формуле:

${\displaystyle F_{e}=(\rho _{p}-\rho _{f})\,g\,{\frac {4}{3}}\pi \,R^{3},}$

где (в единицах СИ ):

• ρ _p — плотность массы сферы [кг/м ³ ]
• ρ _f — массовая плотность жидкости [кг/м ³ ]
• g — ускорение свободного падения [м/с ² ]

Требуя баланса сил F _d = F _e и решая для скорости v, получаем конечную скорость v _s . Обратите внимание, что поскольку избыточная сила увеличивается как R ³ , а сопротивление Стокса увеличивается как R , конечная скорость увеличивается как R ² и, таким образом, сильно меняется с размером частицы, как показано ниже. Если частица испытывает только свой собственный вес при падении в вязкой жидкости, то конечная скорость достигается, когда сумма сил трения и выталкивающей силы на частице из-за жидкости точно уравновешивает силу тяжести . Эта скорость v [м/с] определяется по формуле: ^[7]

$${\displaystyle v={\frac {2}{9}}{\frac {\rho _{p}-\rho _{f}}{\mu }}g\,R^{2}\quad {\begin{cases}\rho _{p}>\rho _{f}&\implies {\vec {v}}{\text{ vertically downwards}}\\\rho _{p}<\rho _{f}&\implies {\vec {v}}{\text{ vertically upwards}}\end{cases}}}$$

где (в единицах СИ):

• g — напряженность гравитационного поля [м/с ² ]
• R — радиус сферической частицы [м]
• ρ _p — массовая плотность частицы [кг/м ³ ]
• ρ _f — массовая плотность жидкости [кг/м ³ ]
• μ — динамическая вязкость [кг/(м•с)].

Вывод

Устойчивый поток Стокса

В потоке Стокса при очень малых числах Рейнольдса члены конвективного ускорения в уравнениях Навье-Стокса игнорируются. Тогда уравнения потока становятся для несжимаемого стационарного потока : ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla p=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\mu \,\nabla \times \mathbf {\boldsymbol {\omega }} ,\\[2pt]&\nabla \cdot \mathbf {u} =0,\end{aligned}}}$

где:

• p — давление жидкости (в Па),
• u — скорость потока (в м/с), а
• ω — завихренность (в с ⁻¹ ), определяемая как  ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} .}$

Используя некоторые тождества векторного исчисления , можно показать, что эти уравнения приводят к уравнениям Лапласа для давления и каждого из компонентов вектора завихренности: ^[8]

${\displaystyle \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}=0}$   и   ${\displaystyle \nabla ^{2}p=0.}$

Дополнительные силы, такие как сила тяжести и плавучесть, не учитывались, но их можно легко добавить, поскольку приведенные выше уравнения линейны, поэтому можно применять линейную суперпозицию решений и связанных с ними сил.

Поперечное обтекание сферы

Линии тока ползущего потока около сферы в жидкости. Изоконтуры функции ψ (значения в контурных метках).

Для случая сферы в однородном потоке в дальнем поле выгодно использовать цилиндрическую систему координат ( r , φ , z ) . Ось z проходит через центр сферы и совпадает со средним направлением потока, а r — радиус, измеренный перпендикулярно оси z . Начало координат находится в центре сферы. Поскольку поток осесимметричен относительно оси z , он не зависит от азимута φ .

В этой цилиндрической системе координат несжимаемый поток можно описать функцией тока Стокса ψ , зависящей от r и z : ^{[9] [10]}

${\displaystyle u_{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}},\qquad u_{r}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}},}$

где u _r и u _z — компоненты скорости потока в направлениях r и z соответственно. Азимутальная компонента скорости в направлении φ равна нулю в этом осесимметричном случае. Объемный поток через трубку, ограниченную поверхностью некоторой постоянной величины ψ , равен 2 πψ и является постоянным. ^[9]

Для этого случая осесимметричного течения единственной отличной от нуля компонентой вектора завихренности ω является азимутальная φ –компонента ω _φ ^{[11] [12]}

${\displaystyle \omega _{\varphi }={\frac {\partial u_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}=-{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)-{\frac {1}{r}}\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}.}$

Оператор Лапласа , примененный к завихренности ω _φ , в этой цилиндрической системе координат с осесимметрией принимает вид: ^[12]

${\displaystyle \nabla ^{2}\omega _{\varphi }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\,{\frac {\partial \omega _{\varphi }}{\partial r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\omega _{\varphi }}{\partial z^{2}}}-{\frac {\omega _{\varphi }}{r^{2}}}=0.}$

Из предыдущих двух уравнений и с соответствующими граничными условиями для равномерной скорости потока в дальней зоне u в направлении z и сферы радиусом R решение получается следующим ^[13]:

${\displaystyle \psi (r,z)=-{\frac {1}{2}}\,u\,r^{2}\,\left[1-{\frac {3}{2}}{\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\right)^{3}\;\right].}$

Решение скорости в цилиндрических координатах и ​​компонентах выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}(r,z)&={\frac {3Rrzu}{4{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\left(\left({\frac {R}{r^{2}+z^{2}}}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}+z^{2}}}\right)\\[4pt]u_{z}(r,z)&=u+{\frac {3Ru}{4{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\left({\frac {2R^{2}+3r^{2}}{3(r^{2}+z^{2})}}-\left({\frac {rR}{r^{2}+z^{2}}}\right)^{2}-2\right)\end{aligned}}}$

Стоксо-поток вокруг сферы с параметрами скорости дальнего поля , радиуса сферы , вязкости воды (T = 20°C) . Показаны силовые линии поля скорости и амплитуды скорости, давления и завихренности с псевдоцветами. ${\displaystyle \mathbf {u} _{\infty }={\begin{pmatrix}6&0&6\end{pmatrix}}^{T}{\text{m/s}}}$ ${\displaystyle R=1\;{\text{m}}}$ ${\displaystyle \mu =1\;{\text{mPa}}\cdot {\text{s}}}$

Решение завихренности в цилиндрических координатах выглядит следующим образом:

${\displaystyle \omega _{\varphi }(r,z)=-{\frac {3Ru}{2}}\cdot {\frac {r}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}}$

Решение давления в цилиндрических координатах выглядит следующим образом:

${\displaystyle p(r,z)=-{\frac {3\mu Ru}{2}}\cdot {\frac {z}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}}$

Решение давления в сферических координатах выглядит следующим образом:

${\displaystyle p(r,\theta )=-{\frac {3\mu Ru}{2}}\cdot {\frac {\cos \theta }{r^{2}}}}$

Формула давления также называется дипольным потенциалом по аналогии с понятием в электростатике.

Более общая формулировка с произвольным вектором скорости в дальней зоне в декартовых координатах выглядит следующим образом: ${\displaystyle \mathbf {u} _{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)^{T}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=\underbrace {\underbrace {{\frac {R^{3}}{4}}\cdot \left({\frac {3\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{{\text{conservative: curl=0,}}\ \nabla ^{2}\mathbf {u} =0}+\underbrace {\mathbf {u} _{\infty }} _{\text{far-field}}} _{\text{Terms of Boundary-Condition}}\;\underbrace {-{\frac {3R}{4}}\cdot \left({\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|}}+{\frac {\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{{\text{non-conservative: curl}}={\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} ),\ \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla p}\\[8pt]&=\left[{\frac {3R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {x\otimes \mathbf {x} } }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {I} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbf {x} \otimes \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbf {I} }{\|\mathbf {x} \|}}+\mathbf {I} \right]\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )=-{\frac {3R}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {u} _{\infty }\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}}$

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} \right)=-{\frac {3\mu R}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}}$

В этой формулировке неконсервативный член представляет собой своего рода так называемый Стокса . Стокслет является функцией Грина уравнений течения Стокса. Консервативный член равен градиентному полю диполя . Формула вихря аналогична закону Био-Савара в электромагнетизме .

Альтернативно, более компактно, можно сформулировать поле скорости следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )=\left[\mathbf {I} +\mathrm {H} \left({\frac {R^{3}}{4}}{\frac {1}{\|\mathbf {x} \|}}\right)-\mathrm {S} \left({\frac {3R}{4}}\|\mathbf {x} \|\right)\right]\cdot \mathbf {u} _{\infty },\quad \|\mathbf {x} \|\geq R}$,

где — дифференциальный оператор матрицы Гессе, а — дифференциальный оператор, составленный как разность Лапласа и Гессе. Таким образом, становится явно ясно, что решение составлено из производных потенциала кулоновского типа ( ) и потенциала бигармонического типа ( ). Дифференциальный оператор , примененный к векторной норме, порождает Стокса. ${\displaystyle \mathrm {H} =\nabla \otimes \nabla }$ ${\displaystyle \mathrm {S} =\mathbf {I} \nabla ^{2}-\mathrm {H} }$ ${\displaystyle 1/\|\mathbf {x} \|}$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|}$ ${\displaystyle \mathrm {S} }$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|}$

Следующая формула описывает тензор вязких напряжений для частного случая течения Стокса. Он необходим при расчете силы, действующей на частицу. В декартовых координатах вектор-градиент идентичен матрице Якоби . Матрица I представляет собой единичную матрицу. ${\displaystyle \nabla \mathbf {u} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)}$

_{Силу, действующую на сферу ,} можно вычислить через интеграл тензора напряжений по поверхности сферы, где er представляет собой радиальный единичный вектор сферических координат :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \;{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}\mathbf {S} \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\frac {3\mu \cdot \mathbf {u} _{\infty }}{2R}}\cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=6\pi \mu R\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}}$

Вращательный поток вокруг сферы

Обтекание сферы потоком Стокса: , , ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{R}={\begin{pmatrix}0&0&2\end{pmatrix}}^{T}\;{\text{Hz}}}$ ${\displaystyle \mu =1\;{\text{mPa}}\cdot {\text{s}}}$ ${\displaystyle R=1\;{\text{m}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=-\;R^{3}\cdot {\frac {{\boldsymbol {\omega }}_{R}\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\\[8pt]{\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )&={\frac {R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R^{3}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}_{R}\cdot \mathbf {x} )\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}\\[8pt]p(\mathbf {x} )&=0\\[8pt]{\boldsymbol {\sigma }}&=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)\\[8pt]\mathbf {T} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \mathbf {x} \times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {S}}\right)\\&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }(R\cdot \mathbf {e_{r}} )\times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \right)\\&=8\pi \mu R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}\end{aligned}}}$

Другие типы течения Стокса

Хотя жидкость статична, а сфера движется с определенной скоростью, относительно системы отсчета сферы сфера находится в состоянии покоя, а жидкость течет в направлении, противоположном движению сферы.

Смотрите также

• Соотношение Эйнштейна (кинетическая теория)
• Научные законы названы в честь людей
• Уравнение сопротивления
• Вискозиметрия
• Эквивалентный сферический диаметр
• Отложения (геология)
• Число Стокса – определитель дополнительного влияния турбулентности на конечную скорость падения частиц в жидкостях ^[14]

Источники

• Бэтчелор, Г. К. (1967). Введение в гидродинамику . Cambridge University Press. ISBN 0-521-66396-2.
• Лэмб, Х. (1994). Гидродинамика (6-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-45868-9.Первоначально опубликованное в 1879 году, 6-е расширенное издание впервые появилось в 1932 году.

Ссылки

1. Стокс, ГГ (1856). «О влиянии внутреннего трения жидкостей на движение маятников». Труды Кембриджского философского общества . 9, часть ii: 8–106. Bibcode : 1851TCaPS...9....8S. Формула для конечной скорости (V) приведена на стр. [52], уравнение (127).
2. Бэтчелор (1967), стр. 233.
3. Laidler, Keith J. ; Meiser, John H. (1982). Физическая химия . Benjamin/Cummings. стр. 833. ISBN 0-8053-5682-7.
4. Роберт Байрон, Бёрд; Уоррен Э., Стюарт; Эдвин Н., Лайтфут (7 августа 2001 г.). Явления переноса (2-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. стр. 61. ISBN 0-471-41077-2.
5. Dusenbery, David (2009). Жизнь в микромасштабе: неожиданная физика того, чтобы быть маленьким . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-674-03116-6. OCLC  225874255.
6. Хэдли, Питер. «Почему облака не падают?». Институт физики твердого тела, Технический университет Граца . Архивировано из оригинала 12 июня 2017 года . Получено 30 мая 2015 года .
7. Lamb (1994), §337, стр. 599.
8. Batchelor (1967), раздел 4.9, стр. 229.
9. Batchelor (1967), раздел 2.2, стр. 78.
10. Лэмб (1994), §94, стр. 126.
11. Бэтчелор (1967), раздел 4.9, стр. 230.
12. Batchelor (1967), приложение 2, стр. 602.
13. Лэмб (1994), §337, стр. 598.
14. Дей, С.; Али, С.З.; Падхи, Э. (2019). «Конечная скорость падения: наследие Стокса с точки зрения речной гидравлики». Труды Королевского общества A. 475 ( 2228). doi : 10.1098/rspa.2019.0277 . PMC 6735480. 20190277.